ShongLee

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最新动态 1天前

  1. 3天前
    2019-01-12 20:01:54

        根据第六次人口普查,全国0~4岁婴幼儿的男女性别比达到$121:100$,失衡程度相当高了。社会普遍认为,重男轻女的观念是导致新生儿性别失衡的主要原因,甚至有部分人将性别失衡归咎于曾经的“一孩半政策”。

    一孩半政策:农村夫妇第一孩为男孩时不得再生育,第一孩为女孩时则可以在一段时间间隔后生育第二孩。

        在此我不打算讨论“一孩半政策”是否有违男女平等,我们要探讨的是,单单是观念原因,是否会导致新生儿性别比例失衡?考虑观念的直接作用,夫妇会根据已生育的孩子性别来决定接下来的生育规划。
        举“一孩半政策”来为例,假设正常生育男孩和女孩的概率分别为$p$和$q$,(注:这里以及后文都忽略多胞胎的情况)$p+q=1$,单次生育的性别比为$\text{男}:\text{女}=p:q$。在此政策之下存在三种孩子出生序列:男、女男、女女,概率分别为$p$,$qp$$q^2$,根据此概率可以计算男孩女孩数量的期望值:
    \begin{align*} E(\text{女孩})&=\rm 2\cdot P(\text{女女})+1\cdot P(\text{女男})\\ &=2\cdot q^2+1\cdot qp=q(2q+p)=q(1+q)\\ E(\text{男孩})&=\rm 1\cdot P(\text{男})+1\cdot P(\text{女男})\\ &=1\cdot p+1\cdot qp=p(1+q)\\ \end{align*}
        可见,在数学期望的意义上,男女性别比等于单次生育的性别比,“一孩半政策”并没有导致新生儿性别失衡。
        换一种更极端的生育观念来看看:假设第一孩为男孩,就不再生育,否则持续生育,直到生育得到一个男孩为止。初步来看,每一对夫妇都生育到男孩时停止生育,那么每一对夫妇都有一个儿子,于是直观上认为总体的男孩数量将比女孩的多。但是我们忽视了另一些情况,当第一孩不是男孩时,必定是女孩,再次生育得到男孩和女孩的概率和第一孩时一样。
        更严格地说,连续生育了$n$个女孩并且生育一个男孩的概率是$pq^n$,此时将有$n$个女孩,而仅仅一个男孩。计算两者数量的期望值:
    \begin{align*} E(\text{女孩})&=\sum_{n=0}^{\infty}n\cdot {\rm P}(\text{n女1男})\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}n\cdot pq^n=\frac{pq}{(1-q)^2}=\frac{q}{p}\\ E(\text{男孩})&=\sum_{n=0}^{\infty}1\cdot {\rm P}(\text{n女1男})\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}1\cdot pq^n=\frac{p}{1-q}=1\\ \end{align*}
        我们再次看到,在数学期望的意义上,男女性别比等于单次生育的性别比。
        我们还可以使用更通用更普遍的生育观念模型:生育意愿不仅会受到已有的孩子的影响,还会受到经济因素等等的影响,生不生不再是确定的,而是具有某个概率分布的。用一个由$g$和$b$组成的有限序列表示已经生育了的孩子,$g$表示女孩,$b$表示男孩,例如$gbb$表示第一孩为女孩,后两孩为男孩。所有由$g$和$b$组成的有限序列构成集合${\rm T}$。对于$\omega\in{\rm T}$,$Q(\omega)$表示在孩子序列为$\omega$的情况下这对夫妇还会生育孩子的概率,$n(\omega)$表示$\omega$的长度,$G(\omega)$表示孩子序列$\omega$下女孩的个数,$B(\omega)$表示孩子序列$\omega$下男孩的个数。例如,$n(gbb)=3$,$G(gbb)=1$,$B(gbb)=2$。
        为了讨论方便,继续定义一些符号概念。对于$\omega\in{\rm T}$,正整数$i\leq n(\omega)$,则$\omega_i$表示截取序列$\omega$的前$i$位得到的新序列。定义:
    \[P(\omega):=\begin{cases} 1-Q(\omega), &\text{if }n(\omega)=1;\\ (1-Q(\omega))\prod_{i=1}^{n(\omega)-1}Q(\omega_i),&\text{else}. \end{cases} \]
        为了使此模型有意义,当$n(\omega)\rightarrow\infty$时,$Q(\omega)$必须以足够快的速度趋向于$0$,因为现实中生孩子的意愿必定会随着已有的孩子数量的增加而减少。所以下文假设遇到的无穷级数都是收敛的。
    那么,可得:
    \[\begin{align*} E(\text{男孩})&=\sum_{\omega\in\rm T}B(\omega)P(\omega)p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}\\ &=p\frac{\partial}{\partial p}(\sum_{\omega\in\rm T}P(\omega)p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}){\Large\mid}_{p+q=1} \end{align*}\tag{1}\]
    同理有:
    \[E(\text{女孩})=q\frac{\partial}{\partial q}(\sum_{\omega\in\rm T}P(\omega)p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}){\Large\mid}_{p+q=1}\tag{2}\]
    其中,
    \begin{align*} &\sum_{\omega\in\rm T}P(\omega)p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}\\ &=q(1-Q(g))+p(1-Q(b))+\sum_{n(\omega)>1}{\Large(}p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}(1-Q(\omega))\prod_{i=1}^{n(\omega)-1}Q(\omega_i){\Large)}\\ &=p+q+\sum_{n(\omega)>1}{\Large(}p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}\prod_{i=1}^{n(\omega)-1}Q(\omega_i){\Large)}-\sum_{\omega\in\rm T}{\Large(}p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}\prod_{i=1}^{n(\omega)}Q(\omega_i){\Large)} \end{align*}
        因为每一个长为$n-1$的(属于$\rm T$的)序列都可以由两个长为$n$的序列通过截断最后一个符号得到,并且这两个长为$n$的序列最后一个符号分别为$g$和$b$,所以:
    \[\sum_{n(\omega)>1}{\Large(}p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}\prod_{i=1}^{n(\omega)-1}Q(\omega_i){\Large)}=(p+q)\sum_{\omega\in\rm T}{\Large(}p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}\prod_{i=1}^{n(\omega)}Q(\omega_i){\Large)}\]
    所以:
    \begin{align*} &\sum_{\omega\in\rm T}P(\omega)p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}\\ &=p+q+(p+q-1)\sum_{\omega\in\rm T}{\Large(}p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}\prod_{i=1}^{n(\omega)}Q(\omega_i){\Large)}\\ &=p+q+(p+q-1)F(p,q) \end{align*}
    其中$F(p,q)=\sum_{\omega\in\rm T}{\Large(}p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}\prod_{i=1}^{n(\omega)}Q(\omega_i){\Large)}$ 。
    于是:
    \begin{align*} &\frac{\partial}{\partial p}(\sum_{\omega\in\rm T}P(\omega)p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}){\Large\mid}_{p+q=1}\\ &={\Large(}1+F(p,q)+(p+q-1)\frac{\partial}{\partial p}F(p,q){\Large)}{\Large\mid}_{p+q=1}\\ &=1+F(p,q) \end{align*}
        将此结果代回$(1)$式可得$E(\text{男孩})=p(1+F(p,q))$,同理,根据$(2)$式经过相同运算可得$E(\text{女孩})=q(1+F(p,q))$。我们再次看到,男孩女孩的数学期望之比等于单次生育的男女概率比。
        对于这个结果,我们可以这样理解:影响男孩女孩数量比值的不是生不生,而是每次生育得到男孩、女孩的概率。如果生育次数有限,那么可以通过数学归纳法来证明上文的结论。只要每次生男生女的概率相等,在数学期望上来看,新生儿男女比例都不会失衡太多。(不过,不同的生育观念,男孩女孩数量的方差会不同。)
        所以,重男轻女的观念虽然可能是我国新生儿男女比例失衡的主要原因,但绝不是直接原因。所有影响生还是不生的,都不会直接导致男女比例变化。
        那为什么我国新生儿男女比例失调这么严重呢?我手上没有各方面的数据,这个问题我解决不了。或许有很多夫妇暗地里做了胎儿性别鉴定继而选择性流产,又或者某个民间生男孩偏方确实产生了疗效,甚至可能是因为五千年的人工选择,生男孩比较多的女性有机会产生更多后代(这就要扯进化论了……)。无论怎么说,导致$p$和$q$发生改变的,才可能是直接原因。

    假装有脚注:
    讨论男女比例失衡干嘛呢?生育率过低才是当前最主要的人口问题啊,加把劲啊各位。

    本文原创,禁止未经授权的转载,禁止抄袭。

    本文来自于本人的知乎专栏“数学物理原理”,原文链接:重男轻女是男女比例失衡的直接原因吗? - 知乎专栏[数学物理原理]
    亦可在微信公众号“数学物理原理”查看此文,不过因为微信公众号无法编辑公式,所以省去了后面的证明过程。链接:重男轻女是男女比例失衡的直接原因吗?-微信[数学物理原理]

  2. 6天前
    2019-01-09 09:05:23

    @涂效灰 看到标题想起来,以前不知道在哪看到过,国外“数学危机”这种说法只用在集合论悖论上,而三次数学危机的说法基本上只有国内在用。有谁也见过这种说法吗?

    我不太理解你说的“可以穷尽地”是什么意思……不过如果我没理解错,这个应该是可以确定不可能的。因为一个有限的语言的只有可数个(有限的)语句,当然不能唯一定义一个实数。

    另外很期待楼主说的和选择公理有关的内容,是和实数集的结构有关的内容吗?

    我之前也看过类似说法,第几次数学危机更像是国内民间的叫法。不过这种语言学上的东西,用的人多了就会变成正统叫法了。
    第二点就是,我起先是这样认为的,有个超限归纳法和相应的超限归纳定义法,从而使得我们可以用有限语言定义(具有任何基数的)集合的所有元素。但是我想了想,这里确实有争议。因为使用超限归纳定义的前提是存在一个足够大的良序集,而这个良序集是怎么定义来的呢?
    最后就是,和选择公理有关的内容,我想从哲学方面来谈论,可能你不会喜欢这方面论题吧。不过我还没想好怎么写,因为好像无论怎么写,都无法将心里所想的东西准确表达出来……看来我还得加把劲练习表达能力啊

  3. 上周
    2019-01-09 08:43:48

    @行人一棹天涯 一处笔误:

    谢谢指正 /^^

  4. 2019-01-06 19:54:39

    原文链接:从第一次数学危机来看无理数

  5. 2019-01-06 19:52:03
    ShongLee 发表了帖子 从第一次数学危机来看无理数

    这是我在自己公众号发的第一篇文章,现在来看,缺点还是不少,很多地方并没有把自己的意思完全表达出来。在这里发一份,各位也可以看一看,给些建议。往后写了新的文章,(如果空余时间充足的话)也会发一份在这里,给各位指点指点。喜欢的话可以关注“数学物理原理”。

    本文原创,谢绝转载。

    无理数无论在古代还是现代,都是一个古怪的存在物。无理数的引入,给我们带来了很多方便,但是也引发了不少哲学问题。

    历史回顾

    毕达哥拉斯学派作为一个宗教式哲学学派,大约发迹于公元前530年的意大利半岛南端。毕达哥拉斯学派认为,事物的度量属性是个自然属性,任何事物都是可以度量的。举线段为例,多条线段摆在一起,必定可以新作一条小线段作为度量单位使得原先那些线段的长度成为整数。这就是毕达哥拉斯学派的“可公度”假设——或者将“假设”改为“信条”更恰当一点。根据可公度假设,任何两条线段的比值必定是有理数。换言之,毕达哥拉斯学派(起初)是不知道无理数的存在的。
    直到该学派内部人员希帕索斯发现正方形的边和对角线是不可公度的,危机才开始显现出来。作为异教徒,希帕索斯被投了海。该学派本来想掩盖这件事的,但是随着越来越多的无理数(不可公度的线段组)被发现,真理最终冲破了宗教势力的封锁。

    可公度假设的起源

    毕达哥拉斯学派对待无理数,就像亚里士多德对待物体的本原运动状态一样,遭到现代人的唾弃。然而,站在巨人的肩膀上嘲笑地面上的人视力狭隘,是不对的。我们最早在小学就被灌输了无理数概念,如果我们不思考一下无理数的合理性,那么在宗教性上我们和毕达哥拉斯学派没有什么区别。
    人类的数学始于正整数计数,自然而然,通过等份分割可以理解两个正整数的除法,也就相当于理解了有理数。如果将当时还不存在的负数概念引入进来,有理数构成一个数域,在当时最常用的加减乘除四个运算下,两个有理数的结果仍然是有理数,所以引入无理数并不是一件十分紧迫的事情。在古希腊,数学的绝大部分内容都是几何,通过几何来得到无理数无非两个途径:已知面积求一边、已知体积求一边,换言之就是开平方和开立方运算。根号2的无理性,差不多就是利用第一个途径证明的。
    另一方面,仅仅处理有理数,你会发现比例理论的创建是非常简单的,两个有理数相除可以等价为两个整数相除,也就等价为某个整数被平均分为整数份,这在没有形式系统的年代很容易让人理解。然而,两个无理数相除,该怎么理解呢?举例来说,将一条线段分成根号2份,究竟是什么意思?
    同时代的德谟克利特的原子论或许可以给我们理解可公度假设提供一点帮助。我们不知道德谟克利特的原子论思想来源于何处,但是一个人的思想往往反映着同时代同地域的大众的思想。如果德谟克利特认为物质的构成单位是原子,那么毕达哥拉斯认为两个线段存在可公度的小单位,也不足为奇了。
    总而言之,如果我们生活在古希腊,受制于当时的环境,我们估计也认识不到无理数的存在。

    毕达哥拉斯学派的错误

    按毕达哥拉斯学派的观点,数的本质是客体相对于度量单位的大小。一个数a是否存在,就在于是不是有某两个同类的东西A和B,使得A刚好是B的a倍,在此可以将B看做一个度量单位。从这方面来看,正整数和正有理数的存在性不容置疑。
    另一方面,毕达哥拉斯学派承认几何构造。详细地说,直线是存在的,于是平分直线也是存在的,从而得到直角的存在性。由直角的存在性,可以构造腰为1单位的等腰直角三角形,于是得到了底边和腰这一组不可公度线段组。
    所以说,毕达哥拉斯学派的错误不在于不承认无理数,而在于公理系统的不相容性。完全可以根据可公度假设来创建一个新的代数系统,只要不考虑和几何的符合程度,当然,这就是纯数学的范畴了。

    无理数与实数

    在现代数学中,接纳无理数会带来很多方便,但是也会引起不少问题。
    在今天,我们有了集合论这个强大的工具,几何不再是数学大厦的基础。相反,我们可以先构建实数理论,再借助实数理论构建欧氏几何空间。原始的集合对象就像一盘散沙,实数也不例外。通过给集合里边的元素引入关系和运算,就可以使它们形成一定的结构,散沙就能砌成房屋。
    在此可以简述一下实数的构建过程,先构建整数,再构建有理数。通过有理数构建实数可以有很多方法,其中一种方法是有理数逼近。如果引入小数记号,那么实数的构建就更容易理解了,比如可以将[0,1]上的实数定义为一个小数序列:0.abcd……,在十进制下,a,b,c,d等等表示0至9这十个数字。为了满足实数公理,必须将某些序列看作同一个实数,例如0.09999……和0.10000……应该看作同一个数。
    但是事情远没有这么简单。一个合理的数学对象,必须是可以通过有限语言来定义的。无论是使用有理数逼近,还是通过序列来定义,我们都不可能穷尽地定义每一个实数。在什么情况下可以穷尽地定义集合内的每一个元素呢?有限元素的集合是可以的,整数集和有理数集也是可以的,我们有归纳法和超限归纳法,这就使得我们可以穷尽地定义很多无限集合的元素。但是实数集,我们不知道是否可以这样做。我们可以定义根号2,也可以定义圆周率,但是无法对每个实数作出定义。幸运的是,我们可以定义实数集这一个整体,比如通过无限笛卡尔积来定义——当然这要和选择公理扯上一点关系。这里面涉及的哲学讨论非常多,有机会我会展开来讲,本质上就是选择公理的合理性问题。但是在这里,我会说,我们确实可以定义整个实数集,但是实数集里大部分元素并不是确切的数学对象,你可以随便从实数集里边抓一个元素出来,假如它是0.3578……,小数点后第5位呢?哦,是2,那就是0.35782……,那小数点后第6位呢?第7位呢?你为了完整确定你抓取的实数值,你必须提供无限的信息,这在数学上是毫无意义的。相反,为什么根号2就是确定的数学对象?因为我们通过2的正平方根来定义根号2,并没有使用无限多的语言,也没有提供无限多的信息。圆周率的定义也一样。
    不得不说,无理数对于修补直线上的“漏洞”功不可没。每个柯西序列皆有极限,从而使得直线成为连续的一个客体——曲线由一边穿过直线另一边,必然和直线相交。这符合我们的几何直观。以往那种朴素的几何观点,现已被严密的实数理论所取代。

    自然本身是怎样的?

    数学越来越形式化、理想化,这是否意味着数学背离现实世界了呢?古时候的数学大多建立在几何之上,多少带有点实证主义,现代数学则更强调逻辑。然而,自然界真的存在无理数吗?或者更宽泛地问,自然空间是否以连续统为基础?我们目前不得而知。或许时间连续性和空间连续性只是人自身的幻觉,观察的分辨率限制了人类的直接认识。但是时空变换的复杂关系提醒着我们,就算时间和空间是离散的,也不会是电影的帧、图像的像素那样简单的离散。

     一些拓展

    1、$\sqrt{2}$无理性的原始证明:准确的原始证明已经无法确定,但是可以肯定的是,原始证明是基于几何方法的。有一种可能的原始证明可参见于《数学史通论》(第2版)Victor J.Katz,高等教育出版社,P43.

    2、无理性与小数循环性:这是从小学就开始学习的了,无理数是无限不循环小数,等等这些结论。学过微积分之后,可以用无穷级数证明循环小数必是有理数。两个整数相除,将除法竖式写下来,如果是除不尽的,就必然有无穷个得到余数的过程。余数是大于0且小于被除数的,所以肯定会出现重复的余数,从重复的余数开始,除法结果的小数位也出现重复,这就是为什么除不尽的有理数必是循环小数的原因(光看没用的,绝知此事要躬行!动手算一算)。

    3、一个无理数定理:首项系数为$1$的$n$次($n>=2$)整系数方程的根不是整数的话,必定是无理数。有兴趣的朋友可以证明一下。

    4、$e$和$\pi$的无理性:目前我找到的最简单的证明在哈代的《数论导引》(第5版)上,该书证明了$e$的有理次方和$\pi^{2}$是无理数,还给出了$e$和$\pi$是超越数的证明。

  6. 2019-01-05 19:43:33

    曾谨言《量》卷1,第五版,12.4 能量-时间不确定度关系。该式的意义和其他不确定度关系的是不一样的。

  7. 2019-01-05 19:34:54
    ShongLee 更新于 请教一个拓扑群问题

    @DTSIo 划线的部分不影响下面的证明, 而且它本身也不对. 考虑最简单的例子即有限维向量空间, 赋以标准的欧氏内积, 则其中的对称邻域就是开球. 命$\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$为$\varphi(x)=x$, 取$U=(-\delta,\delta)$, 则$\varphi(U)=(-\delta,\delta)$, 而不管怎样的原点开邻域$V$都无法满足$\varphi(U)=V+\varphi(U)$的要求.

    这个证明很明显是仿照拓扑线性空间中的开映像定理而得到的. 在一般的拓扑群中没有 Frechet 空间那样自然的半范数结构, 就只好凑出使用 Baire 纲定理所需要的结构. 可以参考任何一本泛函分析的书. 这个证明没有写清楚哪里用到了$U^{-1}=U$, 实际上用到的并不是它, 而是$W^{-1}=W$, 由此可得对于$x\in W$, 有$x^{-1}W\subset U$.

    由于$W^{-1}W\subset U$,从而得到对于$x\in W$, 有$x^{-1}W\subset U$吧。
    如果不要证明过程中的第一段,那么最后证得$y^{-1}V\in -V$(那个形式的V不知道怎么输入)的作用究竟是什么?这并不能说明$\varphi(U)$是开集。

  8. 4周前
    2018-12-18 12:17:54

    @h295107585 "盒匣"指两边无粒子漏出,当然就是无限深方势阱啊,这个思路也就是箱归一化的思路。
    动量本征态是粒子作为行波的态,此题考查粒子动量本征态的结构,定态的确动量平均值为零,但加上第一激发态的要求,实际上组合系数可以被唯一确定...

    此外第一问你这是概念问题,波函数边界值为0不能确保概率流在边界的连续性,它能确保概率流在边界为0但是不连续的,这个是有一个定理叫Bxxxx定理给出来的。所以必须有波函数边界值为0,波函数导函数为0.
    我记得你是跨考?

    我翻了曾谨言的书。箱归一化和无限深方势阱还是有区别的,无限深方势阱的空间仍然是-∞<x<∞,只不过势在0<x<L外为无穷大。而箱归一化的思想是,把0<x<L作为整个空间(理想化概型),为了确保动量算符的厄米性,波函数必须满足周期边界条件——这和无限深方势阱是不同的。而且,在求内积的时候,积分范围是0<x<L,动量本征值是离散的等等。
    第二问,第一激发态是某两个动量本征态的组合,适当规定系数条件,可以使<p>为0。
     
    确实是跨考啊,瑟瑟发抖。

  9. 2018-12-17 15:31:47

    @h295107585 第一问很显然,首先\(\psi(0)=\psi(L)=0\)这是从统计诠释给出来的,然后\(\psi'(0)=\psi'(L)\)实际上上来源于概率流密度\(j=\Re[\dfrac{\hbar}{im}\psi^* \nabla \psi]\)的连续性。
    第二问就是拿动量本征态展开波函数啊,就是Fourir变换。

    五天了,得抓紧了...

    如果是限制在盒子里,波函数边界值为0已经确保概率流在边界的连续性了。
    另外,如果单单考虑定态,<p>不是恒为零的吗?第二问应该问的不是这个。
    其实我不明白一维的“盒匣”指的是什么?应该不是无限深方势阱吧……

  10. 2018-12-16 14:34:30

    如图,中科院15年量子力学题一。
    1、在0<x<L上运动怎么满足的是周期边界条件?
    2、第二问那里,什么叫“归一化动量本征态的组合形式”?将波函数进行傅里叶变换?

    感觉该题就是箱归一化的简化版。归一化动量本征态也应该是在0<x<L范围上的谐波,所以第二问应该进行的是傅里叶级数展开。不知道这样理解对不对?

    30分啊,理解偏差一点就没了30分,提心吊胆。

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