长岛冰茶

物理版主

最新动态 8小时前

  1. 2天前
    2019-01-17 16:39:15
    长岛冰茶 发表了帖子 Kane-Mele Model

    本文是“凝聚态中的拓扑相变”这课的课程报告的论坛版。大部分内容是这篇文章 的展开计算(细节来自学长提供的某个讲义),少部分是我自己的理解“我感觉是这样的”系列搬完了感觉自己啥都没写orz如果想要计算部分的代码可以私聊

    首先将给出石墨烯中的紧束缚模型(二次量子化版本)。

    石墨烯是典型的二维材料,其晶格为蜂窝状晶格,原胞中有两个原子。其布拉维格子的正格矢和对应的倒格矢分别为(如图)

    \begin{equation}
        \vec { a } _ { 1 } = \frac { a } { 2 } ( \hat { x } + \sqrt { 3 } \hat { y } ) , \quad \vec { a } _ { 2 } = \frac { a } { 2 } ( - \hat { x } + \sqrt { 3 } \hat { y } )
    \end{equation}

    \begin{equation}
        \vec { b } _ { 1 } = \frac { 1 } { a } \left( \hat { x } + \frac { \hat { y } } { \sqrt { 3 } } \right) , \quad \vec { b } _ { 2 } = \frac { 1 } { a } \left( - \hat { x } + \frac { \hat { y } } { \sqrt { 3 } } \right)
    \end{equation}

    [attachment:5c4043861d33a]

    依此可以很容易地写出其紧束缚模型下的哈密顿量:

    \begin{equation}
        H = - t \sum _ { \langle i \alpha , j \beta \rangle } \left( c _ { i \alpha } ^ { \dagger } c _ { j \beta } + h . c . \right) + \sum _ { i \alpha } m _ { \alpha } c _ { i \alpha } ^ { \dagger } c _ { i \alpha }
    \end{equation}

    式中\(i,j\)代表原胞的位置,\(\alpha ,\beta =1,2 \)代表了原胞中两个原子。这里令\(m_\alpha =(-1)^\alpha m\)加入了原胞中两原子的差异性。

    利用傅里叶变换

    \begin{equation}
        c _ { i \alpha } ^ { \dagger } = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \sum _ { \mathrm { k } \alpha } c _ { \mathrm { k } \alpha } ^ { \dagger } e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { R } _ { i } }
    \end{equation}

    并在紧束缚模型中仅考虑最邻近作用,有

    \begin{equation}
        \begin{aligned}
        H = & - t \sum _ { i } \left( c _ { i 1 } ^ { \dagger } c _ { i 2 } + c _ { i 1 } ^ { \dagger } c _ { i - \vec { a } _ { 1 } , 2 } + c _ { i 1 } ^ { \dagger } c _ { i - \vec { a } _ { 2 } , 2 } + h . c . \right) + \sum _ { i \alpha } m _ { \alpha } c _ { i \alpha } ^ { \dagger } c _ { i \alpha } \\ = & - t \sum _ { \mathbf { k } } \left[ c _ { \mathbf { k } 1 } ^ { \dagger } c _ { \mathbf { k } 2 } \left( 1 + e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 1 } } + e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 2 } } \right) + c _ { \mathbf { k } 2 } ^ { \dagger } c _ { \mathbf { k } 1 } \left( 1 + e ^ { i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 1 } } + e ^ { i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 2 } } \right) \right] \\ & + \sum _ { \mathbf { k } \alpha } m _ { \alpha } c _ { \mathrm { k } \alpha } ^ { \dagger } c _ { \mathbf { k } \alpha }
        \end{aligned}
        \label{Hamiltonian_TBA}
    \end{equation}

    为了让\(\alpha ,\beta \)的物理意义更为鲜明,引入代表原胞中两个原子的二自由度赝自旋\(\vec \sigma\),因为

    \[\sigma ^+ =\begin{pmatrix}
        0&2\\
        0&0
    \end{pmatrix},
    \sigma ^- =\begin{pmatrix}
        0&0\\
        2&0
    \end{pmatrix}\]

    其中\(\sigma ^ { \pm } = \sigma ^ { x } \pm i \sigma ^ { y }\),所以\eqref{Hamiltonian_TBA}可写成

    \begin{equation}
    \begin{aligned}
        H = & - \frac { t } { 2 } \sum _ { \mathbf { k } \alpha \beta } \left[ \sigma _ { \alpha \beta } ^ { + } c _ { \mathbf { k } \alpha } ^ { \dagger } c _ { \mathbf { k } \beta } \left( 1 + e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 1 } } + e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 2 } } \right) + \sigma _ { \alpha \beta } ^ { - } c _ { \mathbf { k } \alpha } ^ { \dagger } c _ { \mathbf { k } \beta } \left( 1 + e ^ { i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 1 } } + e ^ { i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 2 } } \right) \right] + \\ & + m \sum _ { \mathbf { k } \alpha } \sigma _ { \alpha \alpha } ^ { z } c _ { \mathbf { k } \alpha } ^ { \dagger } c _ { \mathbf { k } \alpha }
    \end{aligned}
    \end{equation}

    该形式已经足够用于计算,但为了让计算更为简洁,并引入一种有用的技巧,定义

    \begin{equation}
    \begin{aligned}
        d ^ { z } ( \mathbf { k } ) & = m \\
        d ^ { \pm } ( \mathbf { k } ) & = - t \left( 1 + e ^ { \mp i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 1 } } + e ^ { \mp i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 2 } } \right) \\
        d ^ { x } ( \mathbf { k } ) & = \frac { 1 } { 2 } \left( d ^ { + } ( \mathbf { k } ) + d ^ { - } ( \mathbf { k } )\right) = - t \left( 1 + \cos \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 1 } + \cos \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 2 } \right) \\
        d ^ { y } ( \mathbf { k } ) & = \frac { 1 } { 2 i } \left( d ^ { + } ( \mathbf { k } ) - d ^ { - } ( \mathbf { k } )\right) = - t \left( \sin \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 1 } + \sin \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 2 } \right)
    \end{aligned}
    \end{equation}

    考虑到\(\sigma ^\pm d^\pm (\mathbf k)= d ^x (\mathbf k) \sigma ^x + d ^y (\mathbf k) \sigma ^y\),哈密顿量可以写成

    \begin{equation}
        H = \sum _ { \mathbf { k } , \alpha , \beta } \mathbf { d } ( \mathbf { k } ) \cdot \vec { \sigma } _ { \alpha \beta } c _ { \mathbf { k } \alpha } ^ { \dagger } c _ { \mathbf { k } \beta }
        \label{Hamiltonian_ compact}
    \end{equation}

    要计算其本征值,只需要对角化

    \begin{equation}
        H ( \mathbf { k } ) = \mathbf { d } ( \mathbf { k } ) \cdot \vec { \sigma }
        \label{Hamiltonian_ matrix}
    \end{equation}

    考虑到泡利自旋矩阵的特性\(\sigma ^i \sigma ^j =\epsilon_{ijk} \sigma ^k ,(i\neq j) ,\sigma ^i \sigma ^i = \bm 1 ,(i = j)\)

    \begin{equation}
        {H(\mathbf k)}^2 = d^i d^j \sigma ^i \sigma ^j =d^i d^i +\epsilon_{ijk} d^i d^j \sigma ^k = \mathbf { d } ( \mathbf { k } ) \cdot \mathbf { d } ( \mathbf { k } )
    \end{equation}

    其中第二项因其为对称张量和反对称张量的乘积为零。因\({H(\mathbf k)}^2\)对角,本征值可以容易地看出

    \begin{equation}
        \epsilon _ { \pm } ( \mathbf { k } ) = \pm \sqrt { \mathbf { d } ( \mathbf { k } ) \cdot \mathbf { d } ( \mathbf { k } ) }
    \end{equation}

    作为一个广为人知的结论,当原胞中的原子相同,即\(m=0\)时,石墨烯的能带中将出现狄拉克锥,狄拉克锥的顶点被称作狄拉克点,可以由能带的零点给出。在本文的坐标下,狄拉克点的坐标为:

    \begin{equation}
    \begin{aligned}
        k _ { x } & = \frac { 4 \pi } { 3 a } , k _ { y } = 0 \\ k _ { x } & = \frac { - 4 \pi } { 3 a } , k _ { y } = 0
    \end{aligned}
    \end{equation}

    在这两点附近展开\eqref{Hamiltonian_ matrix}可得到狄拉克点附近的哈密顿量

    \begin{equation}
    \begin{aligned}
        H _ { + } ( \mathbf { k } ) & = v \left( k _ { x } \sigma ^ { x } + k _ { y } \sigma ^ { y } \right) + m \sigma ^ { z } \\ H _ { - } ( \mathbf { k } ) & = v \left( - k _ { x } \sigma ^ { x } + k _ { y } \sigma ^ { y } \right) + m \sigma ^ { z }
    \end{aligned}
    \end{equation}

    其中\(v=\frac{\sqrt{3}ta}{2}\),类似于上面引入\(\vec \sigma\),引入代表两个狄拉克点的谷自旋\(\vec \tau\),上式可以写成

    \begin{equation}
        H ( \mathbf { k } ) = v \left( k _ { x } \tau ^ { z } \sigma ^ { x } + k _ { y } \sigma ^ { y } \right) + m \sigma ^ { z }
    \end{equation}

    Kane-Mele Model

    首先我们将讨论宇称变换\((\mathcal { P } : \mathbf { k } \rightarrow - \mathbf { k })\)以及时间反演\(( \mathcal { T } : \mathbf { k } \rightarrow - \mathbf { k } , \quad \mathbf { S } \rightarrow - \mathbf { S } )\)下哈密顿量中各项的行为。

    宇称变换通俗来说是一个空间反演变换,在这个变换下原胞中的两原子将互换,所以\(\vec \sigma\)将由下式给出:

    \begin{equation}
        \mathcal { P } : \vec \sigma \rightarrow
        \begin{pmatrix}
            0&1\\
            1&0
        \end{pmatrix} \vec \sigma
        \begin{pmatrix}
            0&1\\
            1&0
        \end{pmatrix}
    \end{equation}

    所以有\(\mathcal { P } : \sigma ^ { x } \rightarrow \sigma ^ { x },\sigma ^ { y } \rightarrow - \sigma ^ { y },\sigma ^ { z } \rightarrow - \sigma ^ { z }\)动量空间的反演显然会让两个狄拉克点交换,故\(\vec \tau\)在\(\mathcal { P }\)下变换同上。而时间反演下动量的变换关系和宇称变换相同,故\(\vec \tau \)的变换也相同。时间反演下原胞中两原子显然不会变化,故\(\vec \sigma\)不变。电子自旋\(\vec S\)显然在宇称变换下不变。以上总结为表。


        \begin{array}{c|c|c}
              &\mathcal { P }&\mathcal { T }\\
            \hline
            \sigma ^x&\sigma ^x&\sigma ^x\\
            \sigma ^y&-\sigma ^y&\sigma ^y\\
            \sigma ^z&-\sigma ^z&\sigma ^z\\
            \tau ^x&\tau ^x&-\tau ^x\\
            S ^z&S ^z&-S ^z
        \end{array}

    自旋轨道耦合是经典的电磁相互作用,故必然满足电荷共轭对称,所以也必然满足PT联合对称,(看不懂了开始瞎写)由上表可以容易地猜到一个满足PT联合对称的自旋轨道耦合哈密顿量:

    \begin{equation}
        \sigma ^ { z } \tau ^ { z } \left( S ^ { z } \right) _ { \alpha \beta }
    \end{equation}

    下面将考虑进次近邻相互作用得到这一表达式。

    如图为次近邻的所有的正的可能跃迁,对应的哈密顿量为

    [attachment:5c4045a7e0c69]

    \begin{equation}
        H _ { S O } = i t _ { 2 } \sum _ { \langle \langle i , j \rangle \rangle \alpha \beta } \nu _ { i j } \left( S ^ { z } \right) _ { \alpha \beta } c _ { i \alpha } ^ { \dagger } c _ { j \beta }
    \end{equation}

    其中\(v_{ij}=\pm 1\)取决于跃迁时是向左拐还是向右拐(图中即为左拐),这对应于电子顺逆时针的旋转。由于A位原子得到次近邻仍为A位原子,且容易看出A,B两位置的对应的次近邻跃迁的拐弯方向相反,\(v_{ij}\)的贡献可以用\(\sigma^z\)描述,故自旋轨道耦合哈密顿量如下,对其进行傅里叶变换得

    \begin{equation}
        \begin{aligned}
            H _ { S O } &= i t _ { 2 } \sum _{i \alpha \beta} \sigma^z _{\alpha \beta} \left( S ^ { z } \right) _ { \alpha \beta } \left(c^{\dagger}_{i+\vec c_1 , \alpha} c_{i \beta}-c^{\dagger}_{i+\vec c_2 , \alpha} c_{i \beta}-c^{\dagger}_{i-\vec c_1 , \alpha} c_{i \beta}+c^{\dagger}_{i-\vec c_2 , \alpha} c_{i \beta}\right.\\
            &\left. -c^{\dagger}_{i+\vec c_1-\vec c_2 , \alpha} c_{i \beta} + c^{\dagger}_{i-\vec c_1+\vec c_2 , \alpha} c_{i \beta} \right)\\
            &= i t _ { 2 } \sum _{k \alpha \beta}\sigma^z _{\alpha \beta} \left( S ^ { z } \right) _ { \alpha \beta } c^{\dagger} _{k \alpha}c_{k \beta} \left( e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 1 } } - e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 2 } } - e ^ { i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 2 } } + e ^ { i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 2 } }\right. \\
            &\left. - e ^ { - i \mathbf { k } \cdot (\vec { a } _ { 1 } - \vec { a } _ { 2 }) } + e ^ { i \mathbf { k } \cdot (\vec { a } _ { 1 } - \vec { a } _ { 2 }) } \right)\\
            &= - 4 t _ { 2 } \sum _{k \alpha \beta}\sigma^z _{\alpha \beta} \left( S ^ { z } \right) _ { \alpha \beta } c^{\dagger} _{k \alpha}c_{k \beta} \sin \frac{a k_x}{2} \left( \cos\frac{a k_x}{2}- \cos \frac{\sqrt{3} a k_y }{2}\right)
        \end{aligned}
    \end{equation}

    在两个狄拉克点处展开至一阶可以得到

    \begin{equation}
        H_{SO}^{\pm}= \pm 3\sqrt{3}t_2 \sigma^z S ^z
    \end{equation}

    \begin{equation}
        H_{SO}= \Delta _{SO} \sigma^z \tau ^z S ^z
    \end{equation}

    边缘态

    (该部分计算来自学长大力帮助拖延症.jpg)为考虑石墨烯的边缘态,这里考虑一个石墨烯条带,\(x\)方向无限长,\(y\)方向有限,写出哈密顿量如下:(四个下标含义依次为\(x\)坐标,\(y\)坐标,原胞内A/B原子,自旋)

    \begin{equation}
        \begin{aligned}
            H& =\sum_{s=0,1}\sum_{i=-\infty}^\infty\Big[\sum_{j=2}^{n}t(c_{i,j,1,s}^\dagger c_{i,j,2,s}
            +c_{i,j,1,s}^\dagger c_{i-1,j,2,s}+c_{i,j,1,s}^\dagger c_{i,j-1,2,s})\\
            & +it_2 \sum_{j=2}^{n-1} (-1)^s(c_{i,j,1,s}^\dagger c_{i,j+1,1,s}
            +c_{i,j,1,s}^\dagger c_{i+1,j-1,1,s}+c_{i,j,1,s}^\dagger c_{i-1,j,1,s}\\
            &+c_{i,j,2,s}^\dagger c_{i,j-1,2,s}
            +c_{i,j,2,s}^\dagger c_{i-1,j+1,2,s}+c_{i,j,2,s}^\dagger c_{i+1,j,2,s})+h.c.\Big]\\
            & +\sum_{s=0,1}\sum_{i=-\infty}^\infty\Big[t(c_{i,1,1,s}^\dagger c_{i,1,2,s}+c_{i,1,1,s}^\dagger c_{i-1,1,2,s})\\
            & +it_2(-1)^{s} (c_{i,n,1,s}^\dagger c_{i+1,n-1,1,s}+
            c_{i,n,1,s}^\dagger c_{i-1,n,1,s}+c_{i,n,2,s}^\dagger c_{i+1,n,2,s}\\
            & +c_{i,n,2,s}^\dagger c_{i,n-1,2,s}+c_{i,1,1,s}^\dagger c_{i,2,1,s}
            +c_{i,1,1,s}^\dagger c_{i-1,1,1,s}\\
            & +c_{i,1,2,s}^\dagger c_{i+1,1,2,s}+c_{i,1,2,s}^\dagger c_{i-1,2,2,s})
            +h.c.\Big]
        \end{aligned}
    \end{equation}

    傅里叶变换后变为:

    \begin{equation}
        \begin{aligned}
            H_{k_x}& =\sum_{s=0,1}\Big[\sum_{j=2}^{n}t(c_{j,1,s}^\dagger c_{j,2,s}
            +c_{j,1,s}^\dagger c_{j-1,2,s}+e^{-i ak_x}c_{j,1,s}^\dagger c_{j,2,s})\\
            & +i t_2 \sum_{j=2}^{n-1} (-1)^s(c_{j,1,s}^\dagger c_{j+1,1,s}
            +e^{-i ak_x}c_{j,1,s}^\dagger c_{j,1,s}+e^{i ak_x}c_{j,1,s}^\dagger c_{j-1,1,s}\\
            &+c_{j,2,s}^\dagger c_{j-1,2,s}
            +e^{i ak_x}c_{j,2,s}^\dagger c_{j,2,s}+e^{-i ak_x}c_{j,2,s}^\dagger c_{j+1,2,s})+\mathrm{h.c}\Big]\\
            & +\sum_{s=0,1}\Big[t(
            c_{1,1,s}^\dagger c_{1,2,s}+e^{-i ak_x}c_{1,1,s}^\dagger c_{1,2,s})\\
            & +i t_2(-1)^{s}(e^{i ak_x}c_{n,1,s}^\dagger c_{n-1,1,s}+
            e^{-i ak_x}c_{n,1,s}^\dagger c_{n,1,s}+e^{i ak_x}c_{n,2,s}^\dagger c_{n,2,s}\\
            & +c_{n,2,s}^\dagger c_{n-1,2,s}+c_{1,1,s}^\dagger c_{2,1,s}
            +e^{-i ak_x}c_{1,1,s}^\dagger c_{1,1,s}\\
            & +e^{i ak_x}c_{1,2,s}^\dagger c_{1,2,s}+e^{-i ak_x}c_{1,2,s}^\dagger c_{2,2,s})
            +h.c.\Big]
        \end{aligned}
        \label{Hamiltonian_ SO}
    \end{equation}

    对\eqref{Hamiltonian_ SO}对角化绘制能谱如图,可以看到\(k=\frac{\pi }{a}\)处的能带交叉,这两条能带代表边缘态。

    [attachment:5c4046ecac23b]

    如果有人看到这里,显然这篇辣鸡报告烂尾了,接下去的部分直到考前我也没有写(装死)

  2. 上周
    2019-01-12 22:28:46
    长岛冰茶 更新于 非欧几何是向量空间不

    主要大概是欧氏几何并不是一个集合吧

  3. 2月前
    2018-10-24 13:03:05
    京斯 把 长岛冰茶 移到了 物理版主
  4. 3月前
    2018-10-14 22:53:25
    长岛冰茶 更新于 如何获得真正的随机数?

    @ShongLee 不是蒙特卡罗 /:( 我这个需要10万*几百万个随机数,想想自己都不乐意干了

    这种量级的个数线性同余大概还能用吧(我们计算物理课检验了一下16807随机数的前$10^9$个

  5. 7月前
    2018-05-29 16:34:37
    长岛冰茶 更新于 【求助】英语单词怎么背

    同意楼上_(:з」∠)_

  6. 2018-05-24 21:28:57

    大概是等式右边也在等压线上积分吧

  7. 2018-05-23 08:36:12
    长岛冰茶 更新于 光经过反射的相位跃变问题

    半透半反镜和普通的介质面好像不太一样?(半波损失是有掠入射或垂直入射的条件的

  8. 8月前
    2018-05-03 14:23:09

    @hyp_cos 我的意思是,从这部分相图来看,不能判断形成密度1994 \(\text{kg}/\text{m}^3\)的固相需要多大的压力,也就不能解决“体积从1 \(\text{cm}^3\)压缩到0.5 \(\text{cm}^3\)要做多少功”的问题。

    emmmmm你没有理解我们什么意思,我们是想说既然都发生相变了,这个做功就会很难计算了。事实上固体的状态方程似乎没有很好的理论来着?

  9. 2018-05-03 02:24:17

    @hyp_cos 可是,p-V图上,沿着液固分界线,随着压强增加,体积并没有明显减小啊。按照这图去外推,很不确定1994 \(\text{kg}/\text{cm}^3\)的固态水需要多大的压力才能形成。

    正是因为需要很大压强所以直接认为已经发生固液相变了吧。

    压力已经沿着等温线上升得非常快,以至于直接来到了固液相变点

    可以看3楼第二张图的pT投影辅助理解。

  10. 2018-05-03 02:10:28
    长岛冰茶 更新于 一道积分题

    @aleph0 @长岛冰茶 可是mathematica里\( \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} \)在区间\( (0,\frac{\pi}{2}) \)上是可积的呀......比较一下可知题中的积分也是收敛的

    emmmm窝口算算错了抱歉

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