kkxq123987

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  1. 4月前
    2018-09-16 15:20:49

    @DTSIo (在下面的讨论中为方便而省略非本质的常数因子)

    要想证明这个等式, 函数$U$得满足一些附加的局部正则性条件才行, 比如Dini条件: 若令$\omega(t)=\sup_{0<s\leq t}|U(s)-U(0)|$, 则
    $$\int_0^1\frac{\omega(t)}{t}dt<\infty.$$
    在逼近 delta function 的函数序列里$\sin Nx/x$并不是性质最好的. 最好的可能是 Gauss 函数的序列$e^{-x^2/N}$. 如果是Gauss函数的序列的话, 就只需要连续而不需要Dini条件了(Dini条件比连续要强). 这是调和分析之中所谓的approximate identity的问题.

    $\sin Nx/x$与函数卷积的收敛性问题, 或者说截断Fourier变换
    $$\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin Ny}{y}f(x-y)dy=\int_{-N}^N\hat{f}(\xi)e^{i\xi x}d\xi$$
    的收敛性问题是经典的调和分析中一个非常核心的问题. 这方面最强的结果是六十年代的Carleson-Hunt定理: 如果$f$是平方可积函数, 则上面的截断Fourier变换对几乎一切$x$收敛至$f(x)$. 这是一个非常困难的定理. 当然, 据此我们还是不能确定到底在哪一个点$x$处它是收敛的. 但假若$f$在点$x$满足Dini条件, 则的确就可以得到收敛性.

    如果是物理问题的话, 这些数学讨论的意义其实不大.

    天哪大D出动了 /O!O 我根本没想到这个问题后面还有这种事情在的 /O!O

  2. 2018-09-15 15:54:40

    @tyj518 物理上能遇到的绝大多数函数不都可以假定有很好的性质么。而且由于物理理论的近似性以及测量上的限制,很多情况下即使遇到性质不好的函数也可以用性质好的函数去逼近。
    物理上用$\delta$函数的方式经常是不怎么规范的,不过导出的结果经前人验证都是正确的。
    另外勒贝格可积其实是个不怎么高的要求,你不用选择公理甚至构造不出闭区间上有界而勒贝格不可积的函数。

    恩恩,那就好啦,现在心里就有底了

  3. 2018-09-15 09:01:40

    @tyj518 在广义函数的定义中,测试函数$U$都具有很好的性质,例如$U$任意阶可微且有紧支撑集,或是$U$任意阶可微且对任意$k\in\mathbb{N}$,$\alpha>0$有$\sup_{x\in\mathbb{R}}|x^\alpha\cdot d^kU(x)/dx^k|<+\infty$。因此你如果想从广义函数的意义上证明$\sin(N\pi x)/(\pi x)\rightarrow\delta(x)$,你也只需证明对那些性质足够好的$U$,有
    $$
    \lim_{N\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(N\pi x)}{\pi x}U(x)\,dx=U(0).
    $$
    实际上很容易构造反例看出上式也没办法对任意的函数$U$都成立。由于$\sin(N\pi x)/(\pi x)$是平方可积的,且$U(x)$性质足够好,故可以用傅里叶变换的帕塞瓦尔定理证明上式。

    另外,$\sin(N\pi x)/(\pi x)$在$x\neq 0$时也并不是逐点收敛到$0$的,你可以在wolframalpha里面画一下图像来理解一下$\sin(N\pi x)/(\pi x)$为什么能“收敛”到$\delta(x)$。

    啊,谢谢……我其实凌晨写的时候我就觉得好像把收敛的地方搞错了……丢人啦 /O!O
    不过其实发现这个以后我挺害怕的,就这是不是意味着我们物理上用delta函数有时候用的其实不太规范,就是性质不那么好的测试函数也直接拿过来算了……所以我很纠结对测试函数到底有什么样的要求,物理上遇到的函数是不是都满足这些要求,要不然的话好多地方算起来都不放心了…… /TT

  4. 2018-09-15 03:05:12

    问题其实看上去很简单,完全等价于证明delta function的一种写法:
    Proof:
    $\frac{1}{\pi}\lim_{N->\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin Nx}{x}U(x)dx=U(0)$
    问题在于,我们是想,不说明$\frac{1}{\pi}\lim_{N->\infty}\frac{\sin Nx}{x}=\delta(x)$的前提下,直接证明这个结论。换句话说,不证明整体积分为1,非0处为0,0处发散,而直接证明上面的这一个极限成立,一个如何做。
    我曾想能不能利用复变函数里围道积分+留数定理的方法去证明,后来发现这种证明太依赖于U的形式了。如果他不是我们常见的那种带有离散的奇点的函数,或者U在无穷远处不能满足大圆弧定理什么的,甚至连围道积分的形式都写不出来。
    后来尝试了许多次,虽然有一种方法,看上去虽然挺“合情合理”的:把积分和极限交换顺序,先在x有限大的时候取好N趋于无穷大的极限,再积分,会得到这个结果。可是问题又来了,我们毕竟不是讨论QFT的问题,积分与求和的顺序问题还是应该注意的。本来数学分析有个一致收敛情况下的结果,但是还是因为U是任意函数,所以这个条件太难满足了。
    于是我请教了我数学系的朋友,他们说在实变函数里,有专门的勒贝格控制收敛定理,可以检验这一点。所以我就带进去看了一下。
    $\lim_{N->\infty}\frac{\sin Nx}{x}$这个函数如果真的按逐点收敛的话,虽然确实是能诸点分别收到一个数上,但最后这个函数好像就是delta函数自己呀……当然我管不了那么多了,套控制收敛定理,这个时候只要U是勒贝格可积的就行了。但是勒贝格可积虽然已经比我们本科微积分的黎曼可积要宽松了,但是还是没有达到我们一般认为的,是个函数带进去都是U0的样子。
    这个时候我就突然发现这么一个问题了。您看我们定义的那些趋近于delta函数的,又带极限又带积分的函数,如果都用这种方法检验他们是否是delta函数,都会遇到跟这个例子一样的疑难。而似乎在所有这些例子里,都不约而同的做了积分和极限的交换 ——即便是从“几何”意义上讲,似乎也是一样的。所以我有这么几个问题:

    1,这种积分有没有一种合适的求解方法?
    2,假如我们套用控制收敛定理没问题的话,那是不是意味着,在使用delta函数的时候,本身就对前面参与积分的函数有一定的限制?

    (顺带一提我已经受不了了,然后给我能找到最近的“如来佛祖”吴崇试先生发邮件了 /TT

  5. 去年
    2018-01-06 22:35:36

    这写法会不会给人一种进了nga的fgo版的感觉
    本来想放到茶馆里,但是一想也不算灌水,放到别的版面又觉得我也没说非得要规定要什么方向的,想了想还是随便点了个物理算了 /ii
    大概就是说,以前大家都说学什么什么东西看什么书很好,那要不要搞一个研究什么什么东西看这个综述特别好的列表
    算不算突然午夜尬聊 /<<

  6. 2017-12-19 00:48:39

    @munuxi 没关系呀,你从哪里看到有关系了?证明中只是用来给出流形上的整体度规。

    哦哦,我明白问题出在哪里了……这样的话就对了,谢谢了

  7. 2017-12-18 23:00:37

    @munuxi 流形的仿紧性是可以证明的,从第二可数+Hausdorff+局部欧式,当然一般为了方便也顺便把它加到流形的定义里了。仿紧的定义可以参看wiki,最重要的一点是,有了仿紧性我们就有单位分解(partition of unity)。

    这里仿紧性只用在了第一句话上,即 ``Since M is paracompact, we can choose a smooth Riemannian metric on M.'' 因为仿紧性保证了单位分解的存在,使用单位分解可以保证在流形肯定存在一个度规。如果没有仿紧性,在一个局部欧式的空间上可能没法找到一个整体的度规。他就是想表达这个。

    这是一个非常经典的结论,任何流形方面的入门书都会介绍这个。类似的技术还会用在比如流形上一定存在联络,同伦的光滑化等等。

    还有后面这句话的意思是,在所有满足$k_{ab}v^av^b=1$的$v$中,有一个$t$使得$g_{ab}t^at^b$最小。

    好的……但是我还是不太明白仿紧性和时间的可定向性有什么关系……

  8. 2017-12-18 18:14:36

    见于Wald广相的因果结构的部分,有这样一个引理和它的证明:

    Let ($M$,$g_{ab}$) be time orientable. Then there exists a (highly nonunique) smooth nonvanishing timelike vector field $t^a$ on $M$
    Proof Since $M$ is paracompact, we can choose a smooth Riemannian metric $k_{ab}$ on M. At each point $p \in M$ there will be a unique future directed timelike vector $t^a$ which minimizes the value of $g_{ab}v^a v^b$ for vectors $v^a$ subject to the condition that $k_{ab}v^a v^b=1$. This $t^a$ will vary smoothly over $M$ and thus provide the desired vector field.

    我不太清楚对于流形的仿紧性的要求是从哪里出来的,上下文比对下来的话,似乎是说时间可定向性就是仿紧性。但是我所知道的时间可定向性的概念是说在这个流形上能对所有的类空与类时矢量连续的做分类,分出是指向过去还是指向未来的。我的拓扑学知识也仅限于梁书和Wald里的那些,没看出来这个和流形的仿紧性关联在哪儿。再就是这个证明是不是有印刷错误啊……里面的$g_{ab}v^a v^b$是不是想说$g_{ab}t^a v^b$呀……总之这个很短的证明就很迷……

  9. 2017-10-20 17:30:36

    虽然说闵式度规的微扰做线性近似以后满足波动方程,按光速传播是肯定的。但是一般情况下的度规的微扰满足的方程是挺难得到的,除非这个度规的对称性特别好。我自己知道的Schwartzchild metric的微扰的线性近似下会有一个带着附加的球对称势的波动方程;听别人提到过的,Kerr的和dS时空上也能算出带着势函数的波动方程。那么有没有什么方法,能够不用微扰,解释引力的传播速度这回事。(梁书上册倒是有一个不做线性近似得到的非平直的满足真空爱因斯坦场方程的度规,但我总觉得这个度规凑得太巧了……)

  10. 2017-09-19 01:07:38
    kkxq123987 发表了帖子 来一波尬问

    先说看上去很玄学的问题: 怎么样才能说明两个东西间有相互作用
    问题: 全同粒子之间的交换对称性作为QM的一个附加条件,能否看做是由什么相互作用引起的。

    接下来是讲故事。
    室友看全同粒子散射的问题时,他说,当你考虑全同粒子散射问题的时候,导致的直接结果就是散射微分截面跟不记自旋的结果不一样,那能否认为这是某种相互作用导致的。
    我说如果考虑两个东西之间有相互作用,那反应在拉氏量或者哈密顿量上,肯定是两个东西的某些量耦合在一块了,才能叫相互作用。
    后来他说,那有没有什么方法就是不把两粒子的交换对称性作为附加条件,而是你一算这个方程两个粒子就一定有相应的交换对称性,比如说我们搞个两体dirac方程。
    我说我见过的dirac方程都是单粒子方程,牵扯到他这个算法的时候是不是就要诉诸场论了。
    后面聊的就没什么值得说的了。不过说起来,我印象里是记得,波函数计入相关的统计上的限制以后是可以等效出某种势函数来描述排除或是吸引的作用的。在热统里也是采用的这种说法。可是相应的,你在qm里考虑的话,也确实不存在两个粒子的自旋耦合到一起导致相应的统计限制的情况。
    大概就是这种感觉。
    一波尬问。 /><

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