非欧几何是向量空间不

  1. 上周

    如题

  2. 非欧几何和线性空间是两种不同的东西,不能这样问。同样的你也不能说欧式几何是线性空间啊。要判断一个东西是不是线性空间,它至少得是个空间(空间基本相当于集合加上集合上的结构)吧,不是空间至少得是个集合吧。而非欧几何是一种由公理体系构建起的几何结构。其与欧式几何的区别在于第五公设的不同。在刚体运动的不变量角度来看是曲率不同。建议楼主先弄明白这些数学概念的定义。

  3. [quote=47309:@埘光之沙]向量空间是满足线性性的空间吧,方向性和线性性。非欧几何和欧式几何难道都不是空间?

  4. 线性空间指集合上有加法和乘法两种运算,并且运算满足那八个运算律的集合。可能是我所学尚浅,我不是很懂。非欧几何和欧式几何是空间么?如果是的话,那集合里分别都有啥啊?

  5. [quote=47317:@埘光之沙]向量空间可以等价于矢量空间吧

  6. baishuxu

    6楼 1月12日 天文版主
    上周baishuxu 重新编辑

    @自然法师之神 向量空间可以等价于矢量空间吧

    搬运一下维基百科对『向量空间』的定义……

    【顺便:『向量』和『矢量』都是对『Vector』的翻译】

    对域$F$定义的向量空间是一个集合$V$以及对$V$定义的两种二元运算,这两种运算要满足八条公理。

    运算一 向量加法(Vector Addition) $+: V\times V\rightarrow V$
    把$V$中两元素$\mathrm{\bf{v}}$和$\mathrm{\bf{w}}$映射到$V$中另一元素,记作$\mathrm{\bf{v}}+\mathrm{\bf{w}}$。

    运算二 标量乘法(Scalar Multiplication) $\cdot: F\times V\rightarrow V$
    把$F$中的一个元素$a$和$V$中的一个元素$\mathrm{\bf{v}}$映射到$V$中另一元素,记作$a\cdot\mathrm{\bf{v}}$或者$a\mathrm{\bf{v}}$。

    $V$中的元素称为向量(Vector),$F$中的元素称为标量(Scalar)。

    这两种运算要满足以下八条公理。下面的$\mathrm{\bf{u}}$、$\mathrm{\bf{v}}$和$\mathrm{\bf{w}}$都是$V$中元素,$a$和$b$则是$F$中元素。

    1、向量加法的结合律:$\mathrm{\bf{u}}+\left(\mathrm{\bf{v}}+\mathrm{\bf{w}}\right)=\left(\mathrm{\bf{u}}+\mathrm{\bf{v}}\right)+\mathrm{\bf{w}}$;
    2、向量加法的交换律:$\mathrm{\bf{u}}+\mathrm{\bf{v}}=\mathrm{\bf{v}}+\mathrm{\bf{u}}$;
    3、向量加法的单位元:$\exists\mathrm{\bf{0}}\in V\ \mathrm{s.t.}\ \forall \mathrm{\bf{v}}\in V, \mathrm{\bf{v}}+\mathrm{\bf{0}}=\mathrm{\bf{v}}$,其中$\mathrm{\bf{0}}$称为零向量(Zero Vector);
    4、向量加法的逆元素:$\forall\mathrm{\bf{v}}\in V,\exists -\mathrm{\bf{v}}\in V\ \mathrm{s.t.}\ \mathrm{\bf{v}}+\left(\mathrm{\bf{-v}}\right)=\mathrm{\bf{0}}$,其中$\mathrm{\bf{-v}}$称为$\mathrm{\bf{v}}$的加法逆元(Additive Inverse);
    5、标量乘法与标量的域乘法相容:$a\left(b\mathrm{\bf{v}}\right)=\left(ab\right)\mathrm{\bf{v}}$;
    6、标量乘法的单位元:$\exists 1\in F\ \mathrm{s.t.}\ \forall \mathrm{\bf{v}}\in V, 1\mathrm{\bf{v}}=\mathrm{\bf{v}}$;
    7、标量乘法对向量加法的分配律:$a\left(\mathrm{\bf{u}}+\mathrm{\bf{v}}\right)=a\mathrm{\bf{u}}+a\mathrm{\bf{v}}$;
    8、标量乘法对域加法的分配律:$\left(a+b\right)\mathrm{\bf{v}}=a\mathrm{\bf{v}}+b\mathrm{\bf{v}}$。

    前四个公理说明装备了向量加法的$V$是交换群,余下的四个公理应用于标量乘法。需要注意的是向量之间的加法『$+$』和标量之间的加法『$+$』是不一样的,标量与向量之间的标量乘法$\cdot$和两个标量之间的乘法(域$F$中自带的乘法)也是不一样的。

    简而言之,向量空间是一个$F-$模。这句我并看不懂
    -image-

    A Euclidean space is not technically a vector space but rather an affine space, on which a vector space acts by translations, or, conversely, a Euclidean vector is the difference (displacement) in an ordered pair of points, not a single point.

    Ref: Euclidean space - Wikipedia
    -image-
    希望能提供一丢丢帮助吧……也希望各位大佬不要嫌太水把我的回复删了(捂脸)

  7. 长岛冰茶

    7楼 1月12日 物理版主

    主要大概是欧氏几何并不是一个集合吧

  8. @自然法师之神 [quote=47317:@埘光之沙]向量空间可以等价于矢量空间吧

    对的,不是等价,完全就是一个意思。

  9. 矢量是物理中的说法,向量是数学中的叫法,不过两者可以混用。这个高中就应该知道的啊

  10. @长岛冰茶 主要大概是欧氏几何并不是一个集合吧

    难道是欧式几何(欧式空间)作为一个整体,而向量空间只是它当中的元素(或者真子集)的原因。

  11. 古典的(三维)欧氏几何理论是非常典型的公理化理论,其公理系统仅用到了基础的数理逻辑概念,甚至可以做到不依赖于集合论。因此“欧氏几何是向量空间”这种说法没什么意义。
    不过另一方面,我们可以用集合论给欧氏几何构造一个“模型”:任取一维数为$3$、其上定义有内积的实数域上的线性空间$V$,将$V$中的元素作为“点”,$V$的形如$\{s\mathbf{t}+\mathbf{b}:s\in\mathbb{R}\}$(其中$\mathbf{t},\mathbf{b}\in V$)的集合作为“线”,$V$中形如$\{\mathbf{x}\in V:(\mathbf{a},\mathbf{x})=b\}$(其中$\|\mathbf{a}\|=1$)的集合作为“面”,“点在线上”对应于集合的属于关系,“线在面上”对应于集合的包含关系等等。那么可以证明,古典欧氏几何中的各个公理与定理,均可转化为关于线性空间$V$的定理。这实际上就是解析几何干的事情。
    随着$3$维实内积空间成为古典欧氏几何的标准模型,数学家便把任意有限维的实内积空间称作“欧氏空间”,并且反过来用高维的欧氏空间来研究高维的欧氏几何,将其看作是古典欧氏几何的推广。

    类似于古典欧氏几何,非欧几何理论在创立之初同样是典型的公理化理论,公理系统仅用到基础的数理逻辑概念,并可以做到不依赖于集合论。因此“非欧几何是否是向量空间”这种说法同样没有什么意义。
    但我们同样可以在集合论的框架下给常见的非欧几何理论构造模型。与欧氏几何不同的是,非欧几何的模型一般不再能单纯建立在有限维线性空间之上,而通常是建立在更一般的微分流形之上。

  12. @折木 奉太郎 ,谢谢你的精彩回答!

  13. FatFish

    13楼 1月13日 物理版主, 优秀回答者

    楼主这个问题在我看来仿佛是在问“爆米花是不是阿兹特克历法”。答案:当然不是,但是是什么知识背景驱动你问出这么奇怪的问题?阿兹特克人崇拜玉米之神?

    一般说欧几里得几何、非欧几何,说的是一个公理框架,或者满足这个公理框架的模型,一个整套的推理体系和相关结果。而向量空间是满足若干性质的一个集合。就我能想到的,他们之间那么点关系,不比玉米和阿兹特克人的关系多:欧几里得空间$\mathbb{R}^n$可以是一个向量空间,且这个空间可以作为一个欧几里得几何模型的背景。但是这个空间本身不是“欧几里得几何”,最多说是某个欧几里得几何模型的一部分。从你10楼的回复来看,你似乎是把欧几里得空间和欧几里得几何搞混了。

    另:
     楼主如果只是概念不清,则问题不大。但在发现有概念分歧的时候应该立刻说出来,然而你看2~5楼的对话,完全就没构成任何有效信息交流。2楼和我表达了差不多的意见,而楼主在3楼的回复除了念一遍线性空间的定义外,完全没有谈对2楼有关“非欧几何”的定义什么看法。根本不清楚你是没看懂这个定义还是不认同这个定义。而5楼更是和4楼的内容牛头不对马嘴,之前的讨论完全没出现“矢量空间”这个词,也看不出这个“等价”对于4楼的疑问有任何帮助,更何况矢量和向量本来只是一个东西的两个名字,就是一回事,而不只是个“可以等价……吧”,楼主在这里的概念也有些奇怪的错误认识。
         总之我是不明白这个交流是怎么变成这个样子的,楼主3楼和5楼的回复给我感觉就是完全没能理解2楼和4楼在说什么,而不只是概念不清。(如果概念不清至少应该有一些针对性的发问或反驳)这种交流风格完全无助于搞清问题关键。楼主应该好好想一下为什么会出现这种交流障碍,不然以后这种场合还会出问题。

  14. @FatFish,我就是认为欧几里得几何就是欧几里得空间,几何和空间等价

  15. 照我理解, 楼主实际上想要表达的是欧几里得几何的度量结构与其底空间的向量空间结构之间的相容性, 也就是说, 尽管$\mathbb{R}^n$上可以赋予各种各样的黎曼度量, 但是在平移变换之下不变的黎曼度量只能是欧氏度量.

  16. N_a_O_H_

    16楼 1月14日 数学版主
    上周N_a_O_H_ 重新编辑

    @海龙 , @但是法官…… 的批准下,公布以下决议:
    在前几楼提供如此详尽回答的情况下,楼主的回答未能表现出对其他任何人回复的理解。14楼的发言中可见一斑。
    本着有效交流的原则,在此将楼主封禁。
    此举也可告诫论坛内的诸位,学而不思则罔,思而不学则殆。

  17. @N_a_O_H_@海龙 , @但是法官…… 的批准下,公布以下决议:
    在前几楼提供如此详尽回答的情况下,楼主的回答未能表现出对其他任何人回复的理解。14楼的发言中可见一斑。
    本着有效交流的原则,在此将楼主封禁。
    此举也可告诫论坛内的诸位,学而不思则罔,思而不学则殆。

    建议明确告知封禁的期限,因为封禁的作用毕竟应该是警告,而不是清除。

  18. Phantom_Ghost

    18楼 1月14日 数学版主, 物理版主, 优秀回答者
    上周Phantom_Ghost 重新编辑

    这也要封?我认为只要是没有逾越理性讨论这点原则都不可以实施封禁处罚,别人能不能理解那是他自己的事,你解释得好不好也是你自己的事情,自由理性讨论是每个用户在学术论坛上应享有的基本权利。如果觉得对方不能理解而懒得进一步交流你完全可以不回复不再参与讨论。

  19. baishuxu

    19楼 1月14日 天文版主

    @Phantom_Ghost 我认为只要是没有逾越理性讨论这点原则都不可以实施封禁处罚

    悄悄说一句,版主都有解封和封禁的权限……

  20. 蔡家麒

    20楼 1月14日 物理版主

    @折木 奉太郎 古典的(三维)欧氏几何理论是非常典型的公理化理论,其公理系统仅用到了基础的数理逻辑概念,甚至可以做到不依赖于集合论。因此“欧氏几何是向量空间”这种说法没什么意义。
    不过另一方面,我们可以用集合论给欧氏几何构造一个“模型”:任取一维数为$3$、其上定义有内积的实数域上的线性空间$V$,将$V$中的元素作为“点”,$V$的形如$\{s\mathbf{t}+\mathbf{b}:s\in\mathbb{R}\}$(其中$\mathbf{t},\mathbf{b}\in V$)的集合作为“线”,$V$中形如$\{\mathbf{x}\in V:(\mathbf{a},\mathbf{x})=b\}$(其中$\|\mathbf{a}\|=1$)的集合作为“面”,“点在线上”对应于集合的属于关系,“线在面上”对应于集合的包含关系等等。那么可以证明,古典欧氏几何中的各个公理与定理,均可转化为关于线性空间$V$的定理。这实际上就是解析几何干的事情。
    随着$3$维实内积空间成为古典欧氏几何的标准模型,数学家便把任意有限维的实内积空间称作“欧氏空间”,并且反过来用高维的欧氏空间来研究高维的欧氏几何,将其看作是古典欧氏几何的推广。

    类似于古典欧氏几何,非欧几何理论在创立之初同样是典型的公理化理论,公理系统仅用到基础的数理逻辑概念,并可以做到不依赖于集合论。因此“非欧几何是否是向量空间”这种说法同样没有什么意义。
    但我们同样可以在集合论的框架下给常见的非欧几何理论构造模型。与欧氏几何不同的是,非欧几何的模型一般不再能单纯建立在有限维线性空间之上,而通常是建立在更一般的微分流形之上。

    事实上,几何是一门学科分支的名字。题主问得类似“量子物理是希尔伯特空间不?”。什么是几何?按照通常的说法,几何就是研究流形及其上结构的一个数学分支。

    补充一个最近看到的和楼主的问题有关的事情,觉得很有趣。
    确定了几何之后,我们应该用什么样的办法去研究几何?下面一个纲领给出了回答:

    埃尔兰根纲领:
    https://en.wikipedia.org/wiki/Erlangen_program
    1、要利用变换群及其不变量去刻画几何性质。
    2、进一步,由变换群分类出所有可能的几何分类

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