从第一次数学危机来看无理数

  1. 2周前
    上周ShongLee 重新编辑

    这是我在自己公众号发的第一篇文章,现在来看,缺点还是不少,很多地方并没有把自己的意思完全表达出来。在这里发一份,各位也可以看一看,给些建议。往后写了新的文章,(如果空余时间充足的话)也会发一份在这里,给各位指点指点。喜欢的话可以关注“数学物理原理”。

    本文原创,谢绝转载。

    无理数无论在古代还是现代,都是一个古怪的存在物。无理数的引入,给我们带来了很多方便,但是也引发了不少哲学问题。

    历史回顾

    毕达哥拉斯学派作为一个宗教式哲学学派,大约发迹于公元前530年的意大利半岛南端。毕达哥拉斯学派认为,事物的度量属性是个自然属性,任何事物都是可以度量的。举线段为例,多条线段摆在一起,必定可以新作一条小线段作为度量单位使得原先那些线段的长度成为整数。这就是毕达哥拉斯学派的“可公度”假设——或者将“假设”改为“信条”更恰当一点。根据可公度假设,任何两条线段的比值必定是有理数。换言之,毕达哥拉斯学派(起初)是不知道无理数的存在的。
    直到该学派内部人员希帕索斯发现正方形的边和对角线是不可公度的,危机才开始显现出来。作为异教徒,希帕索斯被投了海。该学派本来想掩盖这件事的,但是随着越来越多的无理数(不可公度的线段组)被发现,真理最终冲破了宗教势力的封锁。

    可公度假设的起源

    毕达哥拉斯学派对待无理数,就像亚里士多德对待物体的本原运动状态一样,遭到现代人的唾弃。然而,站在巨人的肩膀上嘲笑地面上的人视力狭隘,是不对的。我们最早在小学就被灌输了无理数概念,如果我们不思考一下无理数的合理性,那么在宗教性上我们和毕达哥拉斯学派没有什么区别。
    人类的数学始于正整数计数,自然而然,通过等份分割可以理解两个正整数的除法,也就相当于理解了有理数。如果将当时还不存在的负数概念引入进来,有理数构成一个数域,在当时最常用的加减乘除四个运算下,两个有理数的结果仍然是有理数,所以引入无理数并不是一件十分紧迫的事情。在古希腊,数学的绝大部分内容都是几何,通过几何来得到无理数无非两个途径:已知面积求一边、已知体积求一边,换言之就是开平方和开立方运算。根号2的无理性,差不多就是利用第一个途径证明的。
    另一方面,仅仅处理有理数,你会发现比例理论的创建是非常简单的,两个有理数相除可以等价为两个整数相除,也就等价为某个整数被平均分为整数份,这在没有形式系统的年代很容易让人理解。然而,两个无理数相除,该怎么理解呢?举例来说,将一条线段分成根号2份,究竟是什么意思?
    同时代的德谟克利特的原子论或许可以给我们理解可公度假设提供一点帮助。我们不知道德谟克利特的原子论思想来源于何处,但是一个人的思想往往反映着同时代同地域的大众的思想。如果德谟克利特认为物质的构成单位是原子,那么毕达哥拉斯认为两个线段存在可公度的小单位,也不足为奇了。
    总而言之,如果我们生活在古希腊,受制于当时的环境,我们估计也认识不到无理数的存在。

    毕达哥拉斯学派的错误

    按毕达哥拉斯学派的观点,数的本质是客体相对于度量单位的大小。一个数a是否存在,就在于是不是有某两个同类的东西A和B,使得A刚好是B的a倍,在此可以将B看做一个度量单位。从这方面来看,正整数和正有理数的存在性不容置疑。
    另一方面,毕达哥拉斯学派承认几何构造。详细地说,直线是存在的,于是平分直线也是存在的,从而得到直角的存在性。由直角的存在性,可以构造腰为1单位的等腰直角三角形,于是得到了底边和腰这一组不可公度线段组。
    所以说,毕达哥拉斯学派的错误不在于不承认无理数,而在于公理系统的不相容性。完全可以根据可公度假设来创建一个新的代数系统,只要不考虑和几何的符合程度,当然,这就是纯数学的范畴了。

    无理数与实数

    在现代数学中,接纳无理数会带来很多方便,但是也会引起不少问题。
    在今天,我们有了集合论这个强大的工具,几何不再是数学大厦的基础。相反,我们可以先构建实数理论,再借助实数理论构建欧氏几何空间。原始的集合对象就像一盘散沙,实数也不例外。通过给集合里边的元素引入关系和运算,就可以使它们形成一定的结构,散沙就能砌成房屋。
    在此可以简述一下实数的构建过程,先构建整数,再构建有理数。通过有理数构建实数可以有很多方法,其中一种方法是有理数逼近。如果引入小数记号,那么实数的构建就更容易理解了,比如可以将[0,1]上的实数定义为一个小数序列:0.abcd……,在十进制下,a,b,c,d等等表示0至9这十个数字。为了满足实数公理,必须将某些序列看作同一个实数,例如0.09999……和0.10000……应该看作同一个数。
    但是事情远没有这么简单。一个合理的数学对象,必须是可以通过有限语言来定义的。无论是使用有理数逼近,还是通过序列来定义,我们都不可能穷尽地定义每一个实数。在什么情况下可以穷尽地定义集合内的每一个元素呢?有限元素的集合是可以的,整数集和有理数集也是可以的,我们有归纳法和超限归纳法,这就使得我们可以穷尽地定义很多无限集合的元素。但是实数集,我们不知道是否可以这样做。我们可以定义根号2,也可以定义圆周率,但是无法对每个实数作出定义。幸运的是,我们可以定义实数集这一个整体,比如通过无限笛卡尔积来定义——当然这要和选择公理扯上一点关系。这里面涉及的哲学讨论非常多,有机会我会展开来讲,本质上就是选择公理的合理性问题。但是在这里,我会说,我们确实可以定义整个实数集,但是实数集里大部分元素并不是确切的数学对象,你可以随便从实数集里边抓一个元素出来,假如它是0.3578……,小数点后第5位呢?哦,是2,那就是0.35782……,那小数点后第6位呢?第7位呢?你为了完整确定你抓取的实数值,你必须提供无限的信息,这在数学上是毫无意义的。相反,为什么根号2就是确定的数学对象?因为我们通过2的正平方根来定义根号2,并没有使用无限多的语言,也没有提供无限多的信息。圆周率的定义也一样。
    不得不说,无理数对于修补直线上的“漏洞”功不可没。每个柯西序列皆有极限,从而使得直线成为连续的一个客体——曲线由一边穿过直线另一边,必然和直线相交。这符合我们的几何直观。以往那种朴素的几何观点,现已被严密的实数理论所取代。

    自然本身是怎样的?

    数学越来越形式化、理想化,这是否意味着数学背离现实世界了呢?古时候的数学大多建立在几何之上,多少带有点实证主义,现代数学则更强调逻辑。然而,自然界真的存在无理数吗?或者更宽泛地问,自然空间是否以连续统为基础?我们目前不得而知。或许时间连续性和空间连续性只是人自身的幻觉,观察的分辨率限制了人类的直接认识。但是时空变换的复杂关系提醒着我们,就算时间和空间是离散的,也不会是电影的帧、图像的像素那样简单的离散。

     一些拓展

    1、$\sqrt{2}$无理性的原始证明:准确的原始证明已经无法确定,但是可以肯定的是,原始证明是基于几何方法的。有一种可能的原始证明可参见于《数学史通论》(第2版)Victor J.Katz,高等教育出版社,P43.

    2、无理性与小数循环性:这是从小学就开始学习的了,无理数是无限不循环小数,等等这些结论。学过微积分之后,可以用无穷级数证明循环小数必是有理数。两个整数相除,将除法竖式写下来,如果是除不尽的,就必然有无穷个得到余数的过程。余数是大于0且小于被除数的,所以肯定会出现重复的余数,从重复的余数开始,除法结果的小数位也出现重复,这就是为什么除不尽的有理数必是循环小数的原因(光看没用的,绝知此事要躬行!动手算一算)。

    3、一个无理数定理:首项系数为$1$的$n$次($n>=2$)整系数方程的根不是整数的话,必定是无理数。有兴趣的朋友可以证明一下。

    4、$e$和$\pi$的无理性:目前我找到的最简单的证明在哈代的《数论导引》(第5版)上,该书证明了$e$的有理次方和$\pi^{2}$是无理数,还给出了$e$和$\pi$是超越数的证明。

  2. 2周前ShongLee 重新编辑

    原文链接:从第一次数学危机来看无理数

  3. 一处笔误:

    无理数是无限循环小数

  4. 看到标题想起来,以前不知道在哪看到过,国外“数学危机”这种说法只用在集合论悖论上,而三次数学危机的说法基本上只有国内在用。有谁也见过这种说法吗?

    有限元素的集合是可以的,整数集和有理数集也是可以的,我们有归纳法和超限归纳法,这就使得我们可以穷尽地定义很多无限集合的元素。但是实数集,我们不知道是否可以这样做。

    我不太理解你说的“可以穷尽地”是什么意思……不过如果我没理解错,这个应该是可以确定不可能的。因为一个有限的语言的只有可数个(有限的)语句,当然不能唯一定义一个实数。

    另外很期待楼主说的和选择公理有关的内容,是和实数集的结构有关的内容吗?

  5. 上周

    @行人一棹天涯 一处笔误:

    谢谢指正 /^^

  6. @涂效灰 看到标题想起来,以前不知道在哪看到过,国外“数学危机”这种说法只用在集合论悖论上,而三次数学危机的说法基本上只有国内在用。有谁也见过这种说法吗?

    我不太理解你说的“可以穷尽地”是什么意思……不过如果我没理解错,这个应该是可以确定不可能的。因为一个有限的语言的只有可数个(有限的)语句,当然不能唯一定义一个实数。

    另外很期待楼主说的和选择公理有关的内容,是和实数集的结构有关的内容吗?

    我之前也看过类似说法,第几次数学危机更像是国内民间的叫法。不过这种语言学上的东西,用的人多了就会变成正统叫法了。
    第二点就是,我起先是这样认为的,有个超限归纳法和相应的超限归纳定义法,从而使得我们可以用有限语言定义(具有任何基数的)集合的所有元素。但是我想了想,这里确实有争议。因为使用超限归纳定义的前提是存在一个足够大的良序集,而这个良序集是怎么定义来的呢?
    最后就是,和选择公理有关的内容,我想从哲学方面来谈论,可能你不会喜欢这方面论题吧。不过我还没想好怎么写,因为好像无论怎么写,都无法将心里所想的东西准确表达出来……看来我还得加把劲练习表达能力啊

 

后才能发言