关于已知方程根构造整系数方程的问题

  1. 5周前

    今天在数学吧看到一道题:写出以根号2,3,5,7,11五个根式之和为根的整系数代数方程。

    通常使用的最笨的解法是不停的移项以及平方。
    比较代数的方法是构造其他根:\(X=\varepsilon \sqrt{2}+\varepsilon \sqrt{3}+\varepsilon \sqrt{5}+\varepsilon \sqrt{7}+\varepsilon \sqrt{11}\), 这里 \(\varepsilon = 1 or-1\). 这样一共有2的五次方=32个根,乘在一起就构造出了一个32次的代数方程。

    我还看到了一种方法:就是以\(\lambda =\sum a_i\times \sqrt{p} \)的形式,\(\lambda ^{n} =a+\sum a_i\times \sqrt{p}+\sum CrossTerms. \)算上所有交错相乘的项,它张成了一个以各个根式的系数为分量的线性空间。经过求算所有相异的根式相乘项,得到了一个32维的向量空间。接下来我们求n次方对应的线性空间的变换矩阵,这些矩阵M_i的线性组合\(M =\sum \zeta_i M_i\)作用于单位向量上就得到了一个只有“有理常系数项”分量不等于0的向量,接下来求线性组合的各个系数\(\zeta \)即可.


    那么,如果以此法求以两个一元三次方程根X+Y之和为根的整系数方程。
    设\(s =X+Y+1\)这里多了1是因为要确定各种项(所以用了s而不是lamda),\(s ^{2}\)含有X^2, Y^2, X, Y, XY 项,它们线性不相关。
    \(s^{3}\)含有X^3, Y^3, X^2Y, XY^2异于s的二次方中的项,其中两个根的三次方都可表示为根的二次以下的多项式【因为\(X^{3}=aX^{2}+bX+c\)】;
    S的四次方含有X^4,Y^4, X^3Y, XY^3,以及X^2Y^2多出来的项。两个四次可以化简为二次,三次乘一次可以化简为二次乘一次,双二次不可约简。
    五次方、六次方也是同样的道理。
    如果记数对中前一个数是X的次数,后一个是Y的次数,我们可以把项写作:【00】,【10】,【01】,【20】,【02】,【11】,【30】,【03】(因为约简为二次),【21】,【12】,【22】. 数对里每个大于2的数都可以化为2,因此不存在其他的项。这里一共是9项9个维度,跟两个三次方程构造根(9个)是一样的数目。
    这里可以看出,要解决线性空间的维度,要先确定最多会有哪些项。这是一个很重要的子问题。
    接下来我们要确定各个次方矩阵的值。但是这里要思考一下可不可能存在递推的方式,即\(\lambda ^{n}=\lambda ^{1}\cdot \lambda ^{n-1}\), 矩阵能不能M_n=M_(n-1)*M_1=M_1*M_(n-1). 如果存在,那么计算会大大简化。但是看起来基本不可能;有可能超过n(即维度数、方程次数)这个阶的可以表示为n阶内的某个变换矩阵,就是类似n个一循环。
    我的水平基本只够看到这一步。下面对应来对应去的地方我在猜,不确定对不对。
    接下来要做的是赋待定系数,求解什么时候只有有理常数分量有值别的没有。因为一共n次,方程的首项系数设为1就是有n个待定系数;又因为常数分量与根式项分量无关,因此设n-1个待定系数即可,此时相对应的多项式方程的常数项就是我们有理常数分量的相反数。或者如果设定整个式子右端=0向量,那么左端要多出来一个设了待定系数的有理常数分量。
    这样算出来的每一个待定系数,就是构造出的多项式方程的对应项系数。

  2. 4周前

    我就做个翻译,虽然我没看懂你想做什么。

    设$k$是一个域,$p$和$q$是两个代数元,方便起见,设$k$是特征零的。于是,我们可以计算$k$-代数
    \[
    R=k[x,y]/(\min(p),\min(q))
    \]作为$k$-矢量空间的维度(以及其基),其中$\min(p)\in k[x]$, $\min(q)\in k[y]$是相应的极小多项式。很容易知道,它的维数是$\deg(\min(p))\deg(\min(q))$,基可以选做 $\{x^iy^j\}$,其中$0\leq i\leq \deg(\min(p))-1$以及$0\leq j\leq \deg(\min(q))-1$.

    现在,我们考虑所有形如$\lambda = \sum_{i,j} a_{ij}x^iy^j\in R$,然后我们计算得到 $\lambda^n \in R$ 对应的系数
    \[
    \lambda^n = \sum_{i,j} a'_{ij}x^iy^j,
    \]于是我们得到一个“矩阵”$ M_n:\{a_{ij}\}\to \{a'_{ij}\}$. (这是线性的吗?)
    然后我们考虑可能的线性组合$M=\sum_i c_i M_i$,作用在哪个矢量上,使得只有$1$的分量,然后求系数$c_i$即可。(是不是就是求$c_i$使得$\sum_i c_i\lambda^i\in k$.)

    (总之就是待定系数法求极小多项式?)

  3. 2周前

    @unsinn 我就做个翻译,虽然我没看懂你想做什么。
    ……
    (总之就是待定系数法求极小多项式?)

    确实是极小多项式。例如说求p+q的极小多项式。

 

后才能发言