如何证明向量$\alpha$满足$(\alpha,\alpha_k)>0$?

  1. 7周前

    设$V$是$n$维欧氏空间,其内积为$(,)$。设向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\in V$满足如下条件:

    如果非负实数$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m$使得$\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\cdots+\lambda_n\alpha_m=0$,那么必有$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_m=0$。

    证明:必然存在向量$\alpha \in V$,使得$(\alpha,\alpha_i)>0$,$i=1,\cdots,m$。

    这个问题主要的难点在于条件很难用上去。如果向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性相关,我们可以用施密特正交化过程来构造符合要求的$\alpha$。现在的条件明显不符;有一种无从下手的感觉,求助,谢谢!

  2. tyj518

    2楼 12月2日 优秀回答者
    7周前tyj518 重新编辑

    这是Gordan’s theorem of alternative的一部分,应该是要用凸集分离定理的。

  3. @tyj518 这是Gordan’s theorem of alternative的一部分,应该是要用凸集分离定理的。

    大概明白了,多谢分享!

 

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