【求反例】傅里叶系数不是绝对可和的连续周期函数

  1. 2月前

    想说明存在这样的连续函数,其不在Wiener 代数(傅里叶级数绝对收敛的周期函数)中。

  2. 8周前

    只需要证明存在 Fourier 级数在某点不收敛的连续函数就可以了. 这可以由共鸣定理立刻得到, 核心想法是三角级数的 Lebesgue 函数无界.

  3. @DTSIo 只需要证明存在 Fourier 级数在某点不收敛的连续函数就可以了. 这可以由共鸣定理立刻得到, 核心想法是三角级数的 Lebesgue 函数无界.

    你是想说 Dirichlet 核的 \(L^1\) 范数无界吗?我还想找一些别的方法,比如这个习题:

    对任意 $M>0$ 存在三角多项式 $p(x) = \sum_{n=-N}^N a_n \mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}nx}$ 使得 \[ \sum_{n=-N}^N |a_n| > M \| p\|_\infty \,. \]

  4. 7周前

    @icesheep 你是想说 Dirichlet 核的 \(L^1\) 范数无界吗?我还想找一些别的方法,比如这个习题:

    对任意 $M>0$ 存在三角多项式 $p(x) = \sum_{n=-N}^N a_n \mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}nx}$ 使得 \[ \sum_{n=-N}^N |a_n| > M \| p\|_\infty \,. \]

    可以通过举例来证明. 取$p_N(x):=\sum_{k=1}^N\frac{\sin kx}{k}$, 则根据分部求和容易看出$$
    \begin{aligned}
    |p_N(x)|&\leq\left|\sum_{1\leq k\leq 1/|x|}\right|+\left|\sum_{1/|x|<k\leq N}\right|\\
    &\leq\sum_{1\leq k\leq 1/|x|}\frac{k|x|}{k}+\frac{|x|}{|\sin(x/2)|}\\
    &\leq 4.
    \end{aligned}
    $$但是当$N$趋于无穷时, $p_N$的诸 Fourier 系数绝对值的和渐近于$\log N$.

 

后才能发言