两个版本的stokes公式是一样的还是有区别的?

  1. 2月前

    我看到两种stokes公式,一种是流形上的链上的stokes公式,一种是带边流形上的stokes公式。后者复杂许多,两者是等价的吗,若有区别,区别是什么?

  2. 2月前DTSIo 重新编辑

          其实没有区别. 对于奇异同调来说, 任何一个闭链都与光滑闭链同调, 即如果$\sum_{i}c_i\sigma_i$是$q$维闭链, 那么存在光滑映射$\tilde\sigma_i:\Delta_q\to M$使得$\sum_{i}c_i\sigma_i$同调于$\sum_{i}c_i\tilde\sigma_i$. 根据定义, $q$-微分形式$\eta$在光滑$q$维复形$\sigma:\Delta_q\to M$上的积分是$$
    \int_\sigma\eta:=\int_{\Delta_q}\sigma^*\eta.
    $$它可以直接延拓为整个$q$维链群到实数加群的同态. 按照带边流形的 Stokes 公式, 如果$\omega$是$q-1$-微分形式, 那么$$
    \int_\sigma d\omega=\int_{\Delta_q}\sigma^*d\omega=\int_{\Delta_q}d\sigma^*\omega=\int_{\partial\Delta_q}\sigma^*\omega=\int_{\partial\sigma}\omega.
    $$最后一个等号是根据$\partial\sigma$的定义得到的. 注意, 由于$\partial\Delta_q$只是 Lipschitz 曲面 (因为有角点), 所以在$\partial\Delta_q$上的积分的定义非要使用对 Hausdorff 测度的 Lebesgue 积分不可, 而且需要用到 Lipschitz 映射的面积公式 (可以参考 https://www.chaoli.club/index.php/4309 ), 但最终的结果与光滑带边流形的 Stokes 公式不会有任何区别.

          如果接下来想了解 de Rham 定理, 不妨直接进入层论, 了解一下层的上同调, 层的分解, 以及抽象的 de Rham 定理.

  3. Phantom_Ghost

    3楼 11月5日 数学版主, 物理版主, 优秀回答者
    2月前Phantom_Ghost 重新编辑

    @DTSIo 如果接下来想了解 de Rham 定理, 不妨直接进入层论, 了解一下层的上同调, 层的分解, 以及抽象的 de Rham 定理.

    可否推荐下哪本书从这个角度讲的?

  4. @Phantom_Ghost 可否推荐下哪本书从这个角度讲的?

    Raymond O. Wells, Jr., Differential Analysis on Complex Manifolds. 这本书里把 de Rham 定理当作层分解的例子来讲了. James Morrow 和小平邦彦的 Complex Manifolds 里面对层论的一些基本方面也有精炼的介绍. 另外我记得你之前问过我关于 Hodge 理论的问题, 这两本书都比较详细地呈现了复流形上的 Hodge 理论. 实流形上的 Hodge 理论可以参考伍鸿熙和陈维桓的黎曼几何选讲.

  5. 非常感谢

 

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