粒子的空间局域性

  1. 2月前
    2月前蹑履思登 重新编辑

          这应该是一个很正常的问题。物体的空间位置——从生活经验来讲,这是一个非常直观的概念;从经典力学来讲,坐标也是一个很基本的物理量;从QM来讲,好歹也有用来描述坐标的数学量:坐标算符、某坐标处粒子出现的概率=坐标波函数在该点的模平方等等。
          稍微再深入一点,在QFT层面上,已经没有了“坐标”这一概念——至少据我所知是这样子的。虽然仍然有坐标波函数的概念:真空态和n粒子态夹n个场算符,一样满足QM里多体波函数关于全同粒子的交换对称(反对称)性,但其数学含义——说实话我个人觉得只是把态矢量投影到一系列矢量上罢了,并没有太多的物理含义。在QFT中,没有——至少没有像QM那样的“坐标算符”、“坐标表象”。

          好吧,没有就没有,也没什么大不了的。我完全能接受。 /v /v /v

          问题是,无论在生活经验、经典力学、普通QM中来看,物体(粒子)都有在空间上的局域性,不管用什么数学量来描述。一个很简单的例子,拿着手电筒往前一照,发出的光子总不会跟右边一兆光年外的电子来个Compton散射吧。总有用来描述粒子空间局域性的数学量,坐标值?某处的出现概率?某处的粒子数密度?一个数?某个算符?某算符的本征值?期望值?还是别的什么奇怪的描述方式、奇怪的数学量。但是,一定会有这样的量,用来描述粒子的空间局域性。
          我曾设想过用荷密度来描述——单个正粒子的在某处的荷密度不就跟出现在这里的概率密度差不多了吗?然而这会有很多问题,例如:
          1.实场(如电磁场)没有“荷”。
          2.复标量场的单个正粒子态(也不考虑正反粒子产生湮灭的物理过程了)的荷密度——用它的坐标波函数来表示的话刚好跟“荷密度”算符用场算符的构造方式一样——好像可以为负数,哪怕从头到尾只有一个正粒子。
          3.守恒流“密度”并不唯一,加上某有一定要求的张量的散度项,对3维坐标空间积分有一样的守恒荷,如电磁场用Noether定理平移不变性弄出来的张量并不对称,要加上某散度项后才是真正的能量-动量张量。
          我也见过不少仿照QM里的一些性质要求构造出来的“坐标算符”之类的玩意,然而——这东西跟个数学游戏差不多。我想要的不是什么QFT里的“坐标算符”、“坐标表象”,而是一个可以用来描述粒子空间局域性的量。知道一个似是而非的“坐标算符”又有什么用?如果不知道确切的物理含义的话。

          说了这么多,其实问题也很简单。给出一个QFT的数学模型里构造出来的数学量,这个量在某种程度上在可以用某种正常或奇怪的方式来描述粒子在空间的局域性。
          拜谢各位大佬了。

  2. laserdog

    2楼 10月26日 物理版主

    (Gaussian) wave package. 你的光子又不是真·单色光,就是因为你没法造出真·非局域光,你只能local的调节你的电磁场,从而激光只能有有限小的linewidth。其他粒子同理。

  3. [quote=46910:@laserdog]
    多谢捧场!

  4. lh1962

    4楼 10月31日 优秀回答者

    我不是特别清楚你的想法,但按我的观点,日常生活中所观察到的局域性,其根源在于相互作用算符的局域性

  5. 2月前蹑履思登 重新编辑

    [quote=46938:@lh1962]
          大概是指粒子在3维(坐标)空间的分布情况、粒子局限在某一定空间范围内之类的。A particle is localized at some specific space region. 是QM里的出现在某处的概率密度(坐标波函数的模平方),因为QFT里没有“坐标”这力学量,所以可能有什么奇怪的描述方式来描述粒子怎么个localized法。我不确定具体的描述方法,不好用具体的词汇,只能用笼统的“空间局域性”。
          无论从经典力学、QM里都有描述粒子“空间局域性”的数学量,尽管QFT里没有“坐标”这力学量,但我确信会有别的什么量来描述粒子的“空间局域性”(有可能是不同于以往的、比较奇怪的描述方式)——并且这个数学量在某种恰当的近似下能跟QM里的描述方式接近、甚至等同。
          谢谢你的回答。

  6. 上周

    不明白你想问什么,你是想说cluster decomposition principle有没有数学形式的表达?还是场论本身如何区分local和nonlocal理论?如果是后者的话本身场是有坐标的label啊。还是说你是想找到一个具体的物理量对应到坐标?这个我就不太清楚了,但是你应该可以在坐标空间算一个两点关联函数(大雾)。

  7. [quote=47328:@Turgon]
          emmm...我以为我已经说得很明白了?
    A particle is localized at some specific space region.
          我想知道的是,对于一个具体的物理态(姑且只考虑单粒子态好了),如何描述这个粒子……怎么个local法。应该要有一个普遍的判断标准、有一个明确的数学量来描述——例如QM里坐标波函数模方表示粒子出现在该坐标处的概率密度,这就是一个明确的判断标准,判断粒子的空间局域性质。
          场有坐标label,但场算符又不是描述物理状态的态矢量,这能说明什么?场算符的负频部分φ^(-)(x)作用在真空态|0>上能表示一个在x点的正粒子吗?假设能,毕竟关联函数就是这样写的。但即使这样设定——对于一个一般的态,它的坐标空间方面的性质如何?没有坐标算符,没有坐标本征态。一个一般的粒子态,如

    ∫d^3p[f(p)|p>]

    |p>是单粒子动量本征态(直接归一成δ函数好了,不采用Lorentz不变的归一化),f(p)是一个已知的、正常的动量波函数,如何求这个态……局域在哪一空间区域?别告诉我说没有描述“粒子空间局域性”的数学量,激光往前一照,发出的光子总不会跟右边一兆光年外的电子来个Compton散射吧?现实中的粒子可以局域在一定的空间区域里,那如何从态矢量上读出这些相关信息?
          真的求求各位大佬了……这应该是一个很明确、很容易的问题,大佬们好心就直接告诉我好了,别耍我了。

  8. 6天前

    @蹑履思登 [quote=47328:@Turgon]
          emmm...我以为我已经说得很明白了?
    A particle is localized at some specific space region.
          我想知道的是,对于一个具体的物理态(姑且只考虑单粒子态好了),如何描述这个粒子……怎么个local法。应该要有一个普遍的判断标准、有一个明确的数学量来描述——例如QM里坐标波函数模方表示粒子出现在该坐标处的概率密度,这就是一个明确的判断标准,判断粒子的空间局域性质。
          场有坐标label,但场算符又不是描述物理状态的态矢量,这能说明什么?场算符的负频部分φ^(-)(x)作用在真空态|0>上能表示一个在x点的正粒子吗?假设能,毕竟关联函数就是这样写的。但即使这样设定——对于一个一般的态,它的坐标空间方面的性质如何?没有坐标算符,没有坐标本征态。一个一般的粒子态,如

    ∫d^3p[f(p)|p>]

    |p>是单粒子动量本征态(直接归一成δ函数好了,不采用Lorentz不变的归一化),f(p)是一个已知的、正常的动量波函数,如何求这个态……局域在哪一空间区域?别告诉我说没有描述“粒子空间局域性”的数学量,激光往前一照,发出的光子总不会跟右边一兆光年外的电子来个Compton散射吧?现实中的粒子可以局域在一定的空间区域里,那如何从态矢量上读出这些相关信息?
          真的求求各位大佬了……这应该是一个很明确、很容易的问题,大佬们好心就直接告诉我好了,别耍我了。

    这么说吧,你讨论单个粒子出现在某个位置的概率有什么意义,反正是自由场。。。考虑粒子的locality应该看它的相互作用,相互作用Weinberg已经说的很清楚了,cluster decomposition principle,这是个假设,说的是激光往前一照,发出的光子不会跟右边一兆光年外的电子来个Compton散射(划掉),说的其实是“experiments that are sufficiently separated in space have unrelated results”。这是散射理论能成立的前提,不然反正你实验都不对,100w光年外无数干扰能影响你的实验,鬼知道理论怎么造。。。实现上说S矩阵元就是这么造的,相互作用只在很小的一个尺度进行,拉到无穷远的初末态可以看成自由态,粒子被认为是波包(就像2楼说的那样),在碰撞前几个波包互不关联,碰撞视为波包的叠加。(顺便一提,我之前说两点关联函数是开玩笑,那不是物理可观测量。)

  9. 6天前蹑履思登 重新编辑

    [quote=47354:@Turgon]
          我要的不是某位置出现的概率(因为我知道那玩意不存在)——而是有类似功能的数学量。我说单粒子态也只是方便描述而已,并不是非得讨论自由场。
          好吧,我大概知道你的意思了。严格描述这个性质的物理量、或者说数学量,是没有的。反正知道碰撞散射前的各个粒子的波包相隔无穷远就认为它们相隔无穷远好了,并且相隔无穷远的波包认为相互间没有interaction(你的说principle?)。但粒子具体怎么个local法,波包里头粒子在那里“集中”得多、那里少估计是不知道——也没有详细、具体、定量描述粒子“集中”程度的数学量。
          反正这个不重要,对吧?

  10. 6天前Turgon 重新编辑

    Cluster decomposition principle...或者翻译成集团分解原理,簇分解原理之类的(不是很清楚怎么翻译),这部分内容我感觉你也有点基础,看Weinberg3,4章比我讲的强多了。另外类似的空间关联性质也有些量可以描述,原则上说你都可以自己造一个量测量。对撞机物理里边大概有这种量,但是我不是很熟(因为他们造测量量很happy。。。),splitting function,thurst之类的大概间接有点联系。啊还有jet broadening

  11. 5天前
    5天前unsinn 重新编辑

    不要试图将场论和量子力学割裂开来,任何量子力学操作/概念(与狭义相对论相容的话)都可以用到场论上。如果场论中没有这个概念,那自然量子力学中也没有。

    我们不引入场论的语言,还是从量子力学出发。粒子在各个地方的概率,不正是说明其无处不在吗?这完全没有表征粒子的局域性。如果你说,我们可以制备一个粒子态(波包),其只在一小块地方明显非零,但一般来说这只能是给定的。就像你要读出来粒子在某个地方的概率,你至少得有个粒子波函数吧?然后这粒子波函数是量子力学这个理论体系自带的吗?显然不是。量子力学至少告诉你怎么表述他,并告诉你它怎么演化。比方说,假设你初始态是一个很local的粒子波函数,量子力学结论就会告诉你,这个波函数会随着时间演化弥散开来,铺满整个空间。

    所以所有的(粒子的)信息在哪里?在初始态这里。你要一个局域的粒子,那你就制备一个波包,但这个凸包函数是你给的,而不是量子力学自然产生的。量子力学回答的是,给定初始态,系统的演化(的概率)。所以,如果你要问给定两个初始态(假设初始态很局部)的粒子(离得很远的粒子)按照直觉应该不相互作用,那你就应该算出来这个系统往相互作用的那种态的演化概率为零。这一点一般来说并不能由另一些基础原理给出,所以通常我们要引入所谓的“集团分解原理”来表述之。粗略来说,这是在说,如果两个量子力学系统离得足够远,则它们应该独立演化。

    稍微扯一下集团分解原理。我们用数学一点的语言来表述,首先,一旦有一个量子力学系统,Wigner定理就告诉你按照相对性原理(假设对应Poincare群变换下概率不变)我们有一个表示$U$. 设系统$A$可以分为两个子系统$B$和$C$,则Hilbert空间的关系是$\mathcal{H}_A=\mathcal{H}_B\otimes \mathcal{H}_C$,但是,由于$B$和$C$不独立,所以一般地,对应的 Poincare 群的表示$U_A$, $U_B$和$U_C$并不成立关系$U_A=U_B\otimes U_C$. 但是,集团分解原理告诉我们这至少是渐进成立的。考虑平移算符$T_B(a)=U_B(1,a)\otimes 1$和$T_C(a)=1 \otimes U_B(1,a)$. 那么,对于任何的归一化态矢量$\Psi$和$\Phi$,我们都应有内积的极限:
    \[
    \lim_{(b-c)^2\to +\infty} \left(\Phi,T_C^\dagger(\Lambda c) T_B^\dagger(\Lambda b) \left[U_A(\Lambda,a)-U_B\otimes U_C(\Lambda,a)\right]T_B(b)T_C(c)\Psi\right)=0,
    \]其中$b-c$是类空的。这就是集团分解原理的数学表述。我们时常会用更强的条件来表述
    \[
    \lim_{(b-c)^2\to +\infty}T_C^\dagger(\Lambda c) T_B^\dagger(\Lambda b) \left[U_A(\Lambda,a)-U_B\otimes U_C(\Lambda,a)\right]T_B(b)T_C(c)\Psi=0.
    \]这个强收敛条件比前面那个弱收敛条件更好操作,但不见得更正确。但我们也没必要在数学上麻烦自己。

    注意特殊情况。固定$\Lambda=1$,然后取$a$在时间方向,然后将$a$趋向于$0$,则
    \[
    U_A(\Lambda,a)-U_B\otimes U_C(\Lambda,a)\sim ia (H_A-H_B\otimes 1-1\otimes H_C),
    \]其中$H_A-H_B\otimes 1-1\otimes H_C$几乎就是在描述$B$和$C$之间的相互作用,所以集团分解原理似乎告诉了我们相互作用在空间间隔变大的时候会渐进为零。从这个简单的观察应该可以认识到,集团分解原理会极大地限制相互作用的形式。

    以上一切都是量子力学意义上的,那么场论告诉了我们什么新的东西?首先,场论可能是最自然的满足集团分解原理、狭义相对性原理、量子力学基本原理的一个理论,而其他满足这三个原理的理论都并不比场论“自然”。其次,虽然场论带来了新物理,但这种物理并没有突破比如量子力学基本原理的框架。再者,场论算的是振幅是概率,本质也还是在解决这样的问题“给定初始值,算演化”。最后,场论给了一套方法去算演化,费曼图、路径积分等等。

    总之,所有粒子信息由粒子态描述。这是量子力学、量子场论的第一原理。

  12. [quote=47366:@Turgon]
    [quote=47372:@unsinn]
    感谢各位为我说了这么多,我也大概知道接下来看那些书了。 /:D /vv
    PS: Weinberg书老早就听说过,只是里头的符号语言跟我一开始看的、所熟悉的差别太大,所以没怎么理会2333

 

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