Fourier变换积分问题求助

  1. 2月前
    2月前Turgon 重新编辑

    这个问题本身是个物理问题,但是想想还是放数学吧。。。

    我有这么一个积分
    $$\int\frac{d^3\mathbf{q_1}}{(2\pi)^3}\frac{d^3\mathbf{q_2}}{(2\pi)^3}\frac{1}{\mathbf{q_1}^2\mathbf{q_2}^2(\mathbf{q_1}^2+\mathbf{q_2}^2)}\frac{1}{|\mathbf{q_1}+\mathbf{q_2}|^2}e^{i\mathbf{q_1}\cdot \mathbf{x}}e^{i\mathbf{q_2}\cdot \mathbf{y}}$$
    这个积分本身是个双重的Fourier变换,但是复杂性在于涉及到三个角,而测度只包含两个,当然$\mathbf{q_1}\cdot\mathbf{q_2}$是和$\mathbf{x}$,$\mathbf{y}$有关的,但是做完角的变换干掉$\mathbf{q_1}\cdot\mathbf{q_2}$之后的积分很难积,诸位有没有什么好办法?

  2. 2月前DTSIo 重新编辑

    我有一个思路, 也许可以试试看 (为了写起来方便我把常数因子都省略了): 得到的结果应该是如下三个函数的卷积:
    $$f_1(x,y)=\int \frac{e^{i(q_1\cdot x+q_2\cdot y)}}{q_1^2q_2^2}dq_1dq_2,$$
    $$f_2(x,y)=\int \frac{e^{i(q_1\cdot x+q_2\cdot y)}}{q_1^2+q_2^2}dq_1dq_2,$$
    $$f_3(x,y)=\int \frac{e^{i(q_1\cdot x+q_2\cdot y)}}{|q_1+q_2|^2}dq_1dq_2.$$
    第一个和第二个函数有显式的表达式$f_1(x,y)=|x|^{-1}|y|^{-1}$, $f_2(x,y)=|x^2+y^2|^{-2}$. 第三个利用换元$q_1+q_2=p_1,q_2=p_2$可以计算如下:
    $$
    \begin{aligned}
    f_3(x,y)&=\int \frac{e^{i(p_1\cdot x+p_2\cdot (y-x))}}{|p_1|^2}dp_1dp_2\\
    &=|x|^{-1}\int e^{ip_2\cdot (y-x)}dp_2\\
    &=|x|^{-1}\delta_3(x-y).
    \end{aligned}
    $$
    然后计算卷积. 我草草地写一下:
    $$(f_1*f_3)(x,y)=\int|x|^{-1}|y|^{-1}|x-z_1|^{-1}\delta_3(x-y-z_1+z_2)dz_1dz_2.$$
    然后应该可以得到结果吧.

  3. @DTSIo 抱歉我没看明白,你是怎么把原来那个积分变成两个简单积分的卷积的?

  4. 2月前DTSIo 重新编辑

    @Turgon @DTSIo 抱歉我没看明白,你是怎么把原来那个积分变成两个简单积分的卷积的?

    这是 Fourier 变换的基本性质: $f_1*f_2$的 Fourier 变换是$\hat{f_1}\hat{f_2}$. 比如$\delta$的 Fourier 变换是 1, 而$f*\delta=f$, $\hat{f}\cdot 1=\hat{f}$. 我在最后写出的只是$f_1$和$f_3$的卷积, 实际上要算的应该是$f_1,f_2,f_3$的卷积.

 

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