请教下关于实变函数中Lp空间的一个问题

  1. 2月前

    \(L^{p}\)空间在实变函数里面只研究\(p\geqslant 1\)的情形,那么对于\(0< p< 1\)的时候,有没有相关的书籍资料或者参考文献?我只知道当\(0< p< 1\)的时候,p范数的三角不等式不再成立,从而不再是Banach空间。另外就是\(0< p< 1\)的时候,p范数的单位圆不再是凸集,也许有全新的东西在里面?
    书上不讲述\(0< p< 1\)的空间,总觉得是完整的理论缺了一块东西,也许是我强迫症吧。

  2. FatFish

    2楼 10月25日 物理版主, 优秀回答者

     @dtq1997 手机上论坛不太方便,我代为转达一下,可以参考Walter Rudin的《泛函分析》(Functional Analysis )第二版,第一章1.47节。


    大致总结一下书上的内容:由于这种空间三角不等式反号,导致仅有的凸开集就是全集和空集。进而仅有的连续线性泛函是0.这当然也就没什么可研究的了。这书网上很好找资源,推导过程就不往上放了。

  3. 当$p<1$的时候, 比$L^p$更加有意思的是 Lorentz 空间$L^{p,q}$或者 Hardy 空间$H^p$.

 

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