Chern-Simons规范理论

  1. 3月前

    Phantom_Ghost

    1楼 10月21日 数学版主, 物理版主, 优秀回答者

    - 2014 -

    $\textbf{外微分形式}$

    实流形$M$上$U\subset M$为一稠密开集,令其足够小使得存在有m维局域坐标满足
    \[
    M\supset U\ni x\leftrightarrow\widetilde{x}\triangleq (x^1,...,x^m)\in\mathbb{R}^m
    \]
    $M$流形上的Élie Cartan外微积分定义为(无需度规):
    0-形式:$f:x\leftrightarrow f(x)=\widetilde{f}(x)\in\mathbb{R}$
    1-形式:$\omega=df\triangleq (\partial{\widetilde{f}}/\partial{x^i})dx^i=\sum_j \omega_j dx^j$
    2-形式:$\sigma=\sum_{i< j}\sigma_{ij}dx^i\wedge dx^j=\frac{1}{2!}\sigma_{ij}dx^idx^j$
    .......
    r-形式:$\rho=\sum_{i_1<...< i_r}\rho_{i_1...i_r}dx^{i_1}\wedge ...\wedge dx^{i_r}=\frac{1}{r!}\rho_{i_1...i_r}dx^{1} ...dx^{r}$
     $\rho_{i_1...i_r}$为交错张量;
    坐标变换后得
    \[
    y=y(x):df=(\partial\widetilde{f}/\partial x^i)dx^i=(\partial\widetilde{f}/\partial y^i ) (\partial y^i/\partial x^i)dx^i=(\partial\widetilde{f}/\partial y^i ) dy^i
    \]
    \[
    d\rho=\sum_{i_1<...< i_r}d\rho_{i_1...i_r}\wedge dx^{i_1}\wedge...\wedge dx^{i_r}=\sum_{i_1<...< i_r}\sum_j \frac{\partial}{\partial x^j}\rho_{i_1...i_r} dx^j\wedge dx^{i_1}\wedge...\wedge dx^{i_r}
    \]
    \[
    \int_U \rho=\int_U \sum_{i_1<...< i_r}\rho_{i_1...i_r}dx^{i_1}\wedge...\wedge dx^{i_r}
    \]
    Jacobi行列式
    \[
    dx^{i_1}\wedge...\wedge dx^{i_r}=\frac{D(x^1,...,x^r)}{D(y^1,...,y^r)}dy^{j_1}\wedge...\wedge dy^{j_r}
    \]
    Stokes定理的外微分表示为:
    \[
    \int_M d\rho=\int_{\partial M}\rho
    \]

    $\textbf{Chern-Simons形式与拓扑场论}$

    Chern-Simons场论是一种的拓扑场论,亦是一种规范场论。实际上规范理论在学习电动力学时候就有所接触,实际上电磁理论就是最简单的规范场论,电磁场是$U(1)$纤维丛上的联络(注意与广义相对论不同的是,引力场是Riemann流形上的联络)。在这上面构造一个拓扑不变量的要旨在于写出一个不依赖于度规而只与流形的拓扑有关的积分作用量,对于Maxwell电磁场的场量项为:
    \[
    \int d^4x F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}=\int d^4x F_{\sigma\tau}g^{\sigma\mu}g^{\tau\nu}F_{\mu\nu}
    \]
    可见这个项依赖于伪Riemann度规 $g^{\mu\nu}$
    Landau的《场论》中清楚地论证了电磁场只有两种不变标量,其中一个
    \[
    \int d^4 x\;\varepsilon^{\mu\nu\sigma\tau}F_{\mu\nu}F_{\sigma\tau}=\int d^4x \;E\cdot B
    \]
    就是我们要寻找的一个不依赖于度规的拓扑不变量。
    量子场论中最为著名的规范场论就是Yang-Mills理论,$U(1)$是阿贝尔规范场,而Yang-Mills理论是一种量子非阿贝尔规范场论。而这里的主题是拓扑非平凡的规范场:Chern-Simons拓扑规范场论。系统的Lagrangian里面存在一个特殊的拓扑不变量:Chern-Simons项(或 Chern-Simons不变量):
    \[
    Tf(\Omega)=\int_C {f(\Omega^k)}
    \]
    $df(\Omega^k)$ 是$2k-1$-形式,$T$是Chern-Weil同态,这就是一种Chern-Simons形式;$C$是流形$M$上的$2k-1$维的闭回路。

    数学中Chern–Simons形式是某种二阶示性类,在规范理论中是种颇有意思的东西。
    由它(3-形式)可定义Chern–Simons理论的作用量。陈省身与James Harris Simons于1974年合作发表了一篇历史性文章,文中提出了 Chern–Simons理论。$M$为Riemann流形,其联络$A\in \Omega^1(P(M),\mathfrak{g}l(n))$是标架丛$P(M)$上的1-形式Lie代数。给定一流形与1-形式Lie代数,$A$为上面的向量场。可由此定义一族p-形式。
    在一维情形,Chern–Simons 1-形式为:$\text{Tr}[A]$
    在三维情形, Chern–Simons 3-形式为:$\text{Tr}[F\wedge A-\frac{1}{3}A\wedge A\wedge A]$
    五维时,Chern–Simons 5-形式为:$\text{Tr}[F\wedge F\wedge A-\frac{1}{2}F\wedge A\wedge A\wedge A+\frac{1}{10}A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A]$
    其中曲率张量定义为:$F=dA+A\wedge A$
    通常的Chern–Simons $\omega_{2k-1}$形式 由以下方式给出:$d\omega_{2k-1}=\text{Tr}(F^k)$
    其中由楔积定义,等式右边正比于联络的第陈类。
    一般地,由定义可知Chern–Simons p-形式中的是任意奇数$2k-1$。(可参考规范理论的定义)若$M$是平庸$2k-1$维流形(i.e.三维可定向流形),那么存在映射 $s: M\rightarrow P(M)$;并且从$s^{*}\omega_{2k-1}$在p维流形上的积分是整体几何不变量,且是模增加一整数的规范不变量。
    不同映射得出整个积分值不同,通过以上所说的方式定义出来的不变量称为Chern-Simons不变量:$cs(M)\in\mathbb{R}/\mathbb{Z}$
    由此我们知道了Chern-Simons项在奇数的时空中才出现,其一般形式是用正则形式 (可以参照上面提到的量子场论的Yang-Mills规范场进行比较)构建出来的体系的拓扑不变量,数学上叫陈类,物理上也常常称为环绕数(在后面讨论量子Hall效应会理解其缘由)。一般形式就是$\omega=\int{\Omega^k}$,$\Omega$是曲率形式,对应Yang-Mills规范场强,$\omega$的一般形式的理论已经由Chern和Simons建立。$\omega$可以认为就对应这里的Yang-Mills规范场强$F$。直接来看,拓扑不变性最朴素的理解是指体系作用量所定义的那个积分流形在同胚变化下保持不变。举个例子,点电荷产生的电场,我们知道只要选取的Gauss面包含点电荷,那么不论Gauss面怎么取,电场在这上的积分都是不变的,而不同Gauss面之间就差一个同胚变换,也就是说电场在Gauss面上的积分就是拓扑不变的。C-S的拓扑不变性亦可以这样去理解。Y-M作用量和C-S作用量如何比较出拓扑不变性不同的体现,总的来说可以按照上面说的那样从微分同胚变换角来验证一下;或者最简单的考察它们的积分:很多情况下C-S项只是一个类似表面项的东西,所以它类似全微分,积分结果是常数,而Y-M作用量显然不是这样。具体证明将涉及到纤维丛分类的内容,实际上Y-M理论就是主丛的一种具体模型。数学上Chern–Simons理论可用于计算纽结不变量 和3-流形不变量,例如 Jones多项式。

    Chern–Simons理论的作用量$S$正比于Chern–Simons 3-形式的积分
    \[
    S=\frac{\kappa}{4\pi}\int_M \text{Tr}\,(A\wedge dA+\tfrac{2}{3}A\wedge A\wedge A)
    \]
    经典物理的Chern–Simons理论与作用常数$\kappa$的选取无关。
    特别地,Chern–Simons理论是通过单Lie群来建立,并且需要确定作用常数此数乘在作用量上)。作用量是与规范相关的,然而仅当作用常数是整数以及规范场强度在三维时空任意的边界上为零,量子统计中的配分函数才被良好地定义。
    系统由作用量对的变分极值导出的运动方程描述场的曲率为 $F = dA + A \wedge A$
    场运动方程为 $0=\frac{\delta S}{\delta A}=\frac{\kappa}{2\pi} F$
    因此经典场的曲率处处为零,即联络是平的 。因此Lie单群$G$的Chern–Simons理论的解正是流形$M$上$G$主丛平坦联络。 整个平坦联络由围绕着基流形上不可缩闭合路径的和乐决定。 更准确地,它们是从$M$的基本群到规范群 $G$的一一对映的共轭同态等价类。
    若$M$有边界$\partial M$ ,则有额外的量来描述$\partial M$上的$G$主丛的平凡选择。这样的选择表征着一个从$\partial M$到$G$的映射。该映射的动力学由$\partial M$上$\kappa$作用常数的Wess–Zumino–Witten模型(WZW)描述。
    要对Chern–Simons理论进行正则量子化,人们须要定义流形$M$的每块二维曲面$\Sigma$上的态。量子场论中的态对应着Hilbert空间中的投影射线子空间中的元素。 在Schwarz-类型拓扑场论中没有时间先后的概念,那么我们可以选取$\Sigma$为Cauchy曲面。实际上态可以定义在任何曲面上。$\Sigma$是余维的,因此可沿着$\Gamma$剪切$M$。裁剪之后$M$称为无边界流形,并在$\Gamma$上的动力学中可由 WZW模型描述。 Edward Witten指出这种对应在量子力学中也成立。 态的Hilbert空间总是有限维的,并能正则地定义为Lie群$G$作用常数$\kappa$的WZW模型中的共形区域的空间。 共形区域是局部全纯(正则)的,其反全纯因子乘积都加到二维共形场论的关联函数中去。例如当$\Sigma$是球面$S^2$,其Hilbert空间是一维的,因而只存在一个态。当是环面,态对应着水平k时的仿射Lie群$G$可积群表示。研究Witten对Chern–Simons理论的解的方法时没有必要讨论更高阶类的共形区域的特征。Chern–Simons理论的可观察量是规范不变算符组成的n点关联函数。最常研究的规范不变算符类型是Wilson圈。 一个Wilson圈是$M$上绕一圈的和乐,在给出的Lie群$G$的表示中求迹。我们对Wilson圈的乘积感兴趣, 在不失一般性下,我们只注意其不可约表示$R$。更具体地,给定一个不可约表示$R$和$M$的圈$C$,可以定义的Wilson圈$W_R(C)$为:
    \[
    W_R(C) =\text{Tr}_R \,\mathcal{P}\,e^{i \oint_c A}
    \]
    其中$A$是1-形式的联络我们取逆时针路径积分的Cauchy主值,$\mathcal{P}\,\exp$ 是路径编序指数。
    Chern-Simons不变量也被描述为$\eta$不变量。自伴算符$A$的不变量通定义为$\eta_A (0)$,$\eta$是如下函数的解析延拓:
    \[
    \eta(s)=\sum_{\lambda\ne 0} \frac{\operatorname{sgn}(\lambda)}{|\lambda|^s}
    \]
    求和遍及算符$A$的非零特征值。

  2. Phantom_Ghost

    2楼 10月21日 数学版主, 物理版主, 优秀回答者
    3月前Phantom_Ghost 重新编辑

    $\textbf{QHE与Chern-Simons规范理论}$

    历史上T. Ando, Y. Matsumoto and Y. Uemura在1975年理论上提出了Hall电导的量子振荡
    \[
    \sigma_{xy}\approx -\frac{nec}{B}+\frac{1}{\omega_c\tau}\sigma_{xx}
    \]
    后来K. von Klitzing, G. Dorda and M. Pepper等人于1980提出量子Hall效应,此后人们进一步研究发现这种相态是需要新型的序理论描述,超出了传统的Landau对称破缺相变理论。TKNN四人发表于PRL的论文以微扰理论导出Kubo公式并计算出QHE系统的响应,得到Hall电导发现正好是具有拓扑不变性的Berry相位,揭开了描述拓扑物态理论的新世界。
    此后张首晟和祁晓亮等建立了QHE以及TI(拓扑绝缘体)系统的低能有效理论,这正是所谓Chern-Simons规范场论。
    从2+1D的模型出发,紧束缚近似格点模型哈密顿量为
    \[
    H[A]=\sum_{m,n,\alpha,\beta}c_{m\alpha}^\dagger h_{mn}^{\alpha\beta}c_{n\beta}
    \]
    $m,n$是格点位置,$\alpha,\beta=1,2,...,N$ 是N能带系统的能带指标。在平移对称性 $h_{mn}^{\alpha\beta}=h^{\alpha\beta}(r_m-r_n)$ 下,系统可以以Bloch波函数表象下对角化
    \[
    H[A]=\sum_{k}c_{k\alpha}^\dagger h^{\alpha\beta}(k)c_{k\beta}
    \]
    与外电磁场最小耦合在格点模型中通过相因子引入$h_{mn}^{\alpha\beta}\to h_{mn}^{\alpha\beta}e^{iA_{mn}}$ ,$A_{mn}$是在格点中差分化的规范场。

    p22853478.jpg

    线性近似则得到(忽略能带指标)
    \[
    H\approx\sum_{k}c_{k}^\dagger h(k)c_{k}+\sum_{k,q}A^i(-q)c_{k+q/2}^\dagger\partial_{k_i}h(k)c_{k-q/2}
    \]
    根据线性响应理论可得到标准的Kubo公式
    \begin{align*}
    \sigma_{ij}&=\lim_{\omega\to 0}\frac{i}{\omega}Q_{ij}(\omega+i\delta)\\
    Q_{ij}(i\nu_m)&=\frac{1}{\beta\Omega}\sum_{k,\omega_n}\text{Tr}\{\partial_{k_i}h(k) \;G[k,i(\omega_n+\nu_m)]\;\partial_{k_j}h(k)\;G(k,i\omega_n)\}
    \end{align*}
    Matsubara Green函数 $G(k,i\omega_n)=[i\omega_n-h(k)]^{-1}$ ,零频极限时候为 $G(k,0)=G(k)=-h(k)^{-1}$,$\Omega$是系统的面积。满带系统的有$\sigma_{xx}=0$,纵向Hall电导则为
    \begin{align*}
    \sigma_{xy}&=\frac{e^2}{h}\frac{1}{2\pi}\int dk_x dk_y \mathcal{F}_{xy}(k)\\
    \mathcal{F}_{xy}(k)&=\partial_{k_x}\mathcal{A}_y(k)-\partial_{k_y}\mathcal{A}_x(k)\\
    \mathcal{A}_i(k)&=-i\sum_{\alpha\in occ.}\langle \alpha k|\partial_{k_i}|\alpha k\rangle\;,\;i=x,y
    \end{align*}
    这是动量空间中Bloch $U(1)$丛的Berry曲率以及联络;积分则是Berry相位,此即为第一陈数:
    \[
    C_1=\int dk_x dk_y \mathcal{F}_{xy}(k)\in \mathbb{Z}
    \]
    由电荷守恒,量子Hall系统响应为 $j_i=\sigma_H \varepsilon^{ij}E_j$ 可化为另一个响应形式
    \[
    j_i=\sigma_H \varepsilon^{ij}E_j\Rightarrow \frac{\partial\rho}{\partial t}=-\nabla\cdot j=-\sigma_{H}\nabla\times E=\sigma_H\frac{\partial B}{\partial t}\Rightarrow\rho(B)-\rho_0=\sigma_H B
    \]
    $\rho_0=\rho(B=0)$ 为静态电荷密度,上式可统一写为
    \[
    j^{\mu}=\frac{C_1}{2\pi}\varepsilon^{\mu\nu\tau}\partial_{\nu}A_{\tau}
    \]
    $\mu,\nu,\tau=0,1,2$为时空分量指标,这里选了$e=\hbar=1$的单位制,因此 $e^2/h=1/2\pi$。
    系统对外场的低能响应理论可用Chern-Simons拓扑场理论有效描述
    \begin{align*}
    S_\text{eff}&=\frac{C_1}{4\pi}\int dt\;d^2x A_{\mu}\varepsilon^{\mu\nu\tau}\partial_{\nu}A_{\tau}\\
    &=\int d^3x A_{\mu}j^{\mu}=\frac{\sigma_H}{2!}\int d^3x\varepsilon^{\mu\nu\sigma}A_{\mu}\partial_{\nu}A_{\sigma}
    \end{align*}
    响应电流为
    \begin{align*}
    &j^{\mu}=\frac{\delta S_\text{eff}}{\delta A_{\mu}}=\sigma_H\varepsilon^{\mu\nu\sigma} \partial_{\nu} A_{\sigma}\\
    &\varepsilon^{\text{cycle}\{012\}}=+1\;,\;\varepsilon^{\text{cycle}\{210\}}=-1\;,\;\varepsilon^{\mu\nu\sigma}=0\;\;\text{else}\\
    &(\mu=0,1,2)
    \end{align*}
    考虑一简单的外场情况以及算得响应如下:
    \begin{align*}
    &j^{\mu}=\sigma_H F^{\mu}\; ,\; F^{\mu}=\varepsilon^{\mu\nu\sigma}\partial_{\nu}A_{\sigma}\\
    &j^0=c_{\rho}=\sigma_H B\;,\; F^0=\partial_1A_2-\partial_2A_1=B^z=B\\
    &j^1=\sigma_H E^2\;,\;F^1=\partial_2A_0-\partial_0A_2=E^2\\
    &j^2=-\sigma_H E^1\;,\;F^2=\partial_0A_1-\partial_1A_0=-E^1
    \end{align*}
    由Maxwell方程:$\partial_{\mu}j^{\mu}=0\Rightarrow\frac{1}{c}\frac{\partial B^z}{\partial t}=-(\nabla\times E)^z$,这就导出Farady电磁感应定律。

    费米系统的响应通过作用量给出 $j_{\mu}(x)=\frac{\delta S_\text{eff}[A]}{\delta A_{\mu}(x)}$
    在上一个2+1D的例子中,有效作用量$S_\text{eff}$含有C-S项 $\frac{C_1}{4\pi} A_{\mu}\varepsilon^{\mu\nu\tau}\partial_{\nu}A_{\tau}$ ,第一陈数出现在系数中。

    具体操作可考察2+1维有质量Dirac费米子场$\psi_{a\sigma}$($a$代表“味”)与2+1 维电磁场$A_\mu=(A_0,A_1,A_2)=(i\varphi,A_x,A_y)$ 以最小耦合形式相互作用 $\partial_\mu\to\partial_\mu-ieA_\mu$,那么作用量写为
    \[
    S=\int d^2x dt\sum_{a\sigma}{\bar\psi}_{a\sigma}(x,t)\left[i\gamma^\mu(\partial_\mu-ieA_\mu)+m\right]\psi_{a\sigma}(x,t)
    \]
    这里的二维$\text{Gamma}$矩阵即为$\text{Pauli}$矩阵:
    \[
    \gamma^0=\sigma^z\;\;\;,\;\;\;\gamma^1=\sigma^x\;\;\;,\;\;\;\gamma^2=\sigma^y
    \]
    积掉Dirac费米子场就可以得到有效的Chern-Simons型作用量,表征费米子对电磁场的响应:
    \begin{align*}
    Z&=\mathcal{N}\int\prod_{a\sigma}\mathcal{D}{\bar\psi}_{a\sigma}\mathcal{D}\psi_{a\sigma}\;e^{iS}\\
    &=\mathcal{N}e^{iS_\text{eff}}\\
    &=\mathcal{N}\det[i\gamma^\mu(\partial_\mu-ieA_\mu)+m]\\
    \Rightarrow S_\text{eff}&=\ln\det[i\gamma^\mu(\partial_\mu-ieA_\mu)+m]\\
    &=\text{Tr}\ln[i\gamma^\mu(\partial_\mu-ieA_\mu)+m]\\
    &=\text{Tr}\left\{\ln(i\gamma^\mu\partial_\mu+m)+\ln[1-ie(i\gamma^\mu\partial_\mu+m)^{-1}\gamma^\mu A_\mu]\right\}
    \end{align*}
    有效场是低能有效的,因此对作用量WKB技术,这里按耦合常数$e$作级数展开
    \begin{align*}
    \text{Tr}(1-G_0\widetilde{A})&=\ln[1-ie(i\gamma^\mu\partial_\mu+m)^{-1}\gamma^\mu A_\mu]\\
    &=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\text{Tr}(G_0\widetilde{A})^n\\
    \end{align*}
    一阶项
    \begin{align*}
    \text{Tr}(G_0\widetilde{A})&=\text{Tr}[(i\partial\!\!\!/+m)^{-1}(ieA\!\!\!/)]\\
    &=ie\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\text{Tr}[G_0(k)A\!\!\!/]\\
    &=ie\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\text{Tr}\left[\frac{i\gamma^\mu k_\mu-m}{k^2+m^2}\gamma^\nu\right]A_\nu=0
    \end{align*}
    二阶项(单圈水平)
    \begin{align*}
    \frac{1}{2}\text{Tr}(G_0\widetilde{A})^2&=\frac{-e^2}{2}\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{d^3k'}{(2\pi)^3}\text{Tr}[G_0(k)A\!\!\!/G_0(k')A\!\!\!/]\\
    &=\frac{-e^2}{2}\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\text{Tr}[G_0(k)A\!\!\!/G_0(k+q)A\!\!\!/]\\
    &=\frac{-e^2}{2}\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\text{Tr}\left[\frac{i\gamma^\mu k_\mu-m}{k^2+m^2}\gamma^\nu\frac{i\gamma^\mu(k_\mu+q_\mu)-m}{k^2+m^2}\gamma^\mu\right]A_\nu A_\mu\\
    &=\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}A_\mu\Pi_{\mu\nu}(q)A_\nu
    \end{align*}
    可见只费米子单圈Feynman图对拓扑项的贡献:圈线是费米子的传播子,波浪线代表规范场外腿。

    p25387434.jpg

    极化函数的计算
    \begin{align*}
    &\Pi_{\mu\nu}(q)=\frac{-e^2}{2}\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\left[\frac{1}{k^2+m^2}\frac{1}{(k+q)^2+m^2}\right](-im q_\lambda)\text{Tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\lambda)+\cdots\\
    &\text{Tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\lambda)=2i\epsilon^{\mu\nu\lambda}\\
    &\int\frac{d^3k}{(2\pi)^2}\left[\frac{1}{k^2+m^2}\frac{1}{(k+q)^2+m^2}\right] =\frac{1}{4\pi|q|}\arcsin\left(\frac{|q|}{\sqrt{q^2+4m^2}}\right)\simeq\frac{1}{8\pi|m|}\\
    \end{align*}
    最后得到有效Chern-Simons作用量
    \begin{align*}
    S_\text{eff}&=\frac{-e^2 m}{8\pi|m|}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\epsilon^{\mu\nu\lambda}A_\mu A_\nu q_\lambda\\
    &=\frac{-ie^2}{8\pi}\text{sgn}(m)\int d^2x dt\;\epsilon^{\mu\nu\lambda}A_\mu\partial_\nu A_\lambda
    \end{align*}
    这就相当于有效地演生出一种虚拟规范场——Chern-Simons场$\mathcal{A}_\mu$:
    \[
    S=\int d^2xdt\left(\frac{1}{4\pi}\epsilon^{\mu\nu\lambda}\mathcal{A}_\mu\partial_\nu \mathcal{A}_\lambda+\frac{e}{2\pi}\epsilon^{\mu\nu\lambda}A_\mu\partial_\nu\mathcal{A}_\lambda\right)
    \]

    祁晓亮、张首晟等进一步建立了 4+1维QHE 理论,这时第二陈数将出现在系统对外加电磁场的非线性响应系数中,就像 2+1维系统中是第一陈数一样。4+1维绝缘体与$U(1)$规范场耦合,哈密顿量为
    \[
    H[A]=\sum_{m,n}(c_{m\alpha}^\dagger h_{mn}^{\alpha\beta}e^{iA_{mn}}c_{n\beta}+h.c.)+\sum_{m}A_{0m}c_{m\alpha}^\dagger c_{m\alpha}
    \]
    规范场$A_\mu$的有效作用量可通过路径积分积掉费米子场得到
    \begin{align*}
    e^{i S_{\text{eff}}[A]}&=\int \mathcal{D}c^\dagger\mathcal{D}c\;\exp\left\{ i\int dt\left(\sum_m c_{m\alpha}^\dagger i\partial_tc_{m\alpha}-H[A] \right)\right\}\\
    &=\text{det}\left[(i\partial_t-A_{0m})-h_{mn}^{\alpha\beta}e^{iA_{mn}}\right]
    \end{align*}

    p22853540.jpg

    有效作用量的系数中有一个第二陈数:
    \begin{align*}
    S_\text{eff}&=\frac{C_2}{24\pi^2}\int dt\;d^4x \varepsilon^{\mu\nu\tau\rho\sigma\tau}A_{\mu}\partial_{\nu}A_{\rho}\partial_{\sigma}A_{\tau}\\
    &\mu,\nu,\rho,\sigma,\tau=0,1,2,3,4
    \end{align*}
    类似就可得到第二陈数按Green函数的表达式

    $
    C_2=-\frac{\pi^2}{15}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma\tau}\int \frac{d\omega d^4k}{(2\pi)^5}\text{Tr}[(G\partial_{{\mu}}G^{-1})(G\partial_{{\nu}}G^{-1})(G\partial_{{\rho}}G^{-1} )(G\partial_{{\sigma}}G^{-1})(G\partial_{{\tau}}G^{-1})]
    $

    4+1维动量 $q^{\mu}=(\omega,k_1,k_2,k_3,k_4)$,$G(q^{\mu})=[\omega+i\delta -h(k_i)]^{-1}$ 为单粒子实Green函数。
    还要进一步将第二陈数与BZ上非Abel Berry相位规范场联系起来,非线性响应系数$C_2$可重新表达为
    \begin{align*}
    C_2&=\frac{1}{32\pi^2}\int d^4k \varepsilon^{ijkl}\text{Tr}[\mathcal{F}_{ij},\mathcal{F}_{kl}]\\
    \mathcal{F}_{ij}^{\alpha\beta}&=\partial_i\mathcal{A}_j^{\alpha\beta}-\partial_j\mathcal{A}_i^{\alpha\beta}+i[\mathcal{A}_i,\mathcal{A}_j]^{\alpha\beta}\\
    \mathcal{A}_i^{\alpha\beta}&=-i\langle \alpha,k|\partial_{k_i}|\beta,k\rangle
    \end{align*}
    $i,j,k,l=1,2,3,4$;指标$\alpha$标记占据的能带。

    4+1维系统的一种外场-响应情况:$r=2\;,\;A_0=A_1=A_4=0\;,\;A_2=B_3 x_1\;,\;A_3=-E_3 ct$

    p22853570.jpg

    \begin{align*}
    &j^4=\frac{e^2}{\hbar}\frac{C_2}{(2\pi)^2}B_3E_3=\sigma_H E_3\\
    &\int dx_1dx_2j^4=\frac{e^2}{\hbar}\frac{C_2}{(2\pi)^2}\Bigg(\int dx_1dx_2 B_3\Bigg)E_3=\frac{e}{2\pi}C_2NE_3\\
    \end{align*}
    其中括号的部分即为磁场的通量,是磁量子的整数倍 $N\Phi_0=Nh/e$

    接下来推广到任意维度的C-S规范场理论。用Kubo公式计算量子Hall电导可得到陈数,对$2+1D$的情况写为2-形式:
    \[
    \sigma_H=\frac{e^2}{h}\Big(\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{T}_k^2}\sum_n^{occ.}(-2i)\langle\partial^1 u_{nk}|\partial^2 u_{nk}\rangle dk_1\wedge dk_2\Big)
    \]
    $\partial^i=\partial/\partial k_i$,$\mathbb{T}_k^2$ 为二维Brillouin区环面。积分部分就是第一陈数。进一步可写成
    \[
    \sigma_H=\frac{e^2}{\hbar}\frac{1}{(2\pi)^2}\int_{\mathbb{T}_k^2} d^2k\;\varepsilon_{ij}^{12}\text{Tr}(\partial^i\mathcal{A}^j)
    \]
    其中 $\mathcal{A}_{mn}^j=(-i)\langle u_{mk}|\partial^j u_{nk}\rangle$ ,由Stokes定理 $\int_M d\mathcal{A}=\int_{\partial M}\mathcal{A}$ ,$\mathcal{A}=\sum_j \mathcal{A}^j dk_j$ 为Berry-Simons联络形式;Berry-Simons曲率为(定义协变导数)
    \begin{align*}
    \mathcal{F}&=D\mathcal{A}=d\mathcal{A}+i[ \mathcal{A} , \mathcal{A} ]\triangleq \sum_{ij}\partial^i\mathcal{A}^j dk_i\wedge dk_j\\
    &\text{Tr}[\mathcal{A},\mathcal{A}]=0
    \end{align*}
    现在广义坐标为 $q=q_{\alpha}=(ct,x^1,x^2,k_1,k_2)$ ,$\alpha=0,1,2,3,4$,$\partial_{\alpha}=\partial/\partial q_{\alpha}$
    电磁势 $A_{\alpha}=(A_0,A_1,A_2,0,0)$,统计规范势 $\mathcal{A}_{\alpha}=(0,0,0,\mathcal{A}_3,\mathcal{A}_4)$
    作用量为
    \[
    S_{\text{eff}}=\frac{e^2}{\hbar}\frac{1}{2!(2\pi)^2}\int d^5 q\;\varepsilon_{01234}^{\alpha\beta\gamma\sigma\tau}A_{\alpha}\partial_{\beta}A_{\gamma}\text{Tr}(\partial_{\sigma}\mathcal{A}_{\tau})
    \]
    有了以上基础,可推广到一般情况。整数第$r$陈数$C_r$表示为:
    \begin{align*}
    C_r&=\frac{1}{r!}\int \text{Tr}\left(\frac{\mathcal{F}}{2\pi}\wedge...\wedge\frac{\mathcal{F}}{2\pi}\right)=\text{Tr}\left[ \big(\frac{2}{2\pi}\int d^2 k\mathcal{F}^{12} \big)\right]\\
    &=\frac{1}{(2\pi)^r}\int\text{Tr}(\mathcal{F}^{12}\mathcal{F}^{34}...\mathcal{F}^{2r-1,2r})dk_1\wedge dk_2\wedge...\wedge dk_{2r}\\
    &=\frac{1}{r!\;2^r(2\pi)^r}\int d^{2r}k\;\varepsilon_{i_1i_2...i_{2r}}^{123...2r}\text{Tr}(\mathcal{F}^{i_1i_2}\mathcal{F}^{i_3i_4}...\mathcal{F}^{i_{2r-1}i_{2r}})dk_1\wedge dk_2\wedge...\wedge dk_{2r}
    \end{align*}
    $2r+1$维规范场相互作用部分的有效作用量为
    \begin{align*}
    S_{\text{eff}}^{(2r+1)}&=\frac{e^2}{\hbar}\frac{C_r}{(2\pi)^r}\int A_0\partial_1 A_2...\partial_{2r-1}A_{2r}\;cdt\wedge dx^1\wedge...\wedge dx^{2r}\\
    &=\frac{e^2}{\hbar}\frac{C_r}{(r+1)!\;(2\pi)^r}\int d^{2r+1}x\;\varepsilon_{012...2r}^{\mu\nu...\sigma\tau}A_{\mu}\partial_{\nu}...\partial_{\sigma}A_{\tau}
    \end{align*}
    r阶响应为
    \[
    j^{\mu}=\frac{e^2}{\hbar}\frac{C_r}{r!\;(2\pi)^r}\;\varepsilon_{012...2r}^{\mu\nu\xi...\sigma\tau}\partial_{\nu}A_{\xi}...\partial_{\sigma}A_{\tau}
    \]
    于是有效作用量又可写为
    \begin{align*}
    S_{\text{eff}}^{(2r+1)}=&\frac{e^2}{\hbar}\frac{1}{(r+1)!\;(2\pi)^r}\int d^{4r+1}q\;\varepsilon_{012...2r}^{\alpha_0\alpha_1...\alpha_{4r}}A_{\alpha_0}\partial_{\alpha_1}...\partial_{\alpha_{2r-1}}A_{\alpha_{2r}}\\
    &\text{Tr}(D_{\alpha_{2r+1}}\mathcal{A}_{\alpha_{2r+2}}\;...\;D_{\alpha_{4r-1}}\mathcal{A}_{\alpha_{4r}})
    \end{align*}
    简单的 $2r+1$维模型拓扑等价于$2r$维能带结构。$2r+1$维 Dirac模型的哈密顿量为
    \[
    \hat{H}=\int d^{2r}x\;\hat{\psi}^\dagger\Big(-i\sum_j\Gamma^j\partial_j+\Gamma^0 m\Big)\hat{\psi}
    \]
    $r\times r$-Gamma矩阵($d=2r$)
    \begin{align*}
    &\Gamma_{i} = \gamma_{i} \otimes \sigma_3 ~~~(i=0, \dots, d-1)~,~~~ \Gamma_{d} = I \otimes (i \sigma_1)~,~~~ \Gamma_{d+1}= I \otimes (i \sigma_2) ~.\\
    &\Gamma_i(i=1,\dots,2r)=\begin{cases}
    I &\mbox{$$}\\
    \gamma_{\lambda} &\mbox{$$}\\
     i\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}&\mbox{$(\nu>\mu)$ }\\
     i\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\lambda}&\mbox{$(\lambda>\nu>\mu)$ }\\
    ......\\
    \gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3...
    \end{cases}
    \end{align*}
    服从 $SO(2r+1)$ Lie代数(Clifford代数)
    \begin{align*}
    &\{\Gamma^{\mu},\Gamma^{\nu}\}=2\delta^{\mu\nu}I\\
    &j=1,...,2r\;,\;\mu,\nu=0,1,2,...,2r
    \end{align*}
    $2r$维Dirac格点模型哈密顿量(只计入邻近跃迁)
    \[
    \hat{H}=\sum_k \hat{\psi}_k^\dagger\Big(\sum_j\Gamma^j\sin k_j+\Gamma^0(m+t\sum_j \cos k_j)\Big)\hat{\psi}_k
    \]
    在赝自旋空间表示为
    \[
    H=\sum_k\hat{\psi}_k^\dagger\Big(\sum_{\mu}\Gamma^{\mu}d_{\mu}(k)\Big)\hat{\psi}_k
    \]
    $r=2$ 时系统赝自旋向量为
    \[
    d_{\mu}(k)=\Bigg(\Big[m+t\sum_{j=1}^4 \cos k_j\Big],\sin k_1,\sin k_2,\sin k_3,\sin k_4\Bigg)
    \]
    $\varepsilon(k)=\pm\sqrt{\sum_{\mu}d_{\mu}^2(k)}$ 即为系统的能谱。

    哈密顿量写为Bloch矢量缩并形式 $H(k)=d_a(k)\Gamma^a$ ,则Green函数为
    \[
    G(k,\omega)=\frac{1}{\omega-H(k)+i0^+}=\frac{\omega+d^a(k)\Gamma^a}{\omega^2-d^a(k)d_a(k)}
    \]
    以第二陈数为例
    \begin{align*}
    C_2&=-\frac{\pi^2}{15}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma\tau}\int \frac{d\omega d^4k}{(2\pi)^5}\text{Tr}[(G\partial_{{\mu}}G^{-1})(G\partial_{{\nu}}G^{-1})\\
    &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\times(G\partial_{{\rho}}G^{-1} )(G\partial_{{\sigma}}G^{-1})(G\partial_{{\tau}}G^{-1})]\\
    &=-\frac{\pi^2}{3}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\int \frac{d\omega d^4k}{(2\pi)^5}\frac{1}{(\omega^2-|d|^2)^5}\text{Tr}[(\omega+d_m\Gamma^m)(\omega+d_n\Gamma^n)\\
    &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\times(\partial_\mu d^o\Gamma^o)(\omega+d_p\Gamma^p)(\partial_\nu d^q\Gamma^q)(\omega+d_r\Gamma^r)\\
    &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\times(\partial_\rho d^s\Gamma^s)\Gamma^s(\omega+d_t\Gamma^t)(\partial_\sigma d^u\Gamma^u)]\\
    &=-\frac{\pi^2}{3}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\int \frac{d\omega d^4k}{(2\pi)^5}\frac{\partial_\mu d_o\partial_\nu d_q\partial_\rho d_s\partial_\sigma d_u}{(\omega^2-|d|^2)^5}\text{Tr}[(\omega+d_m\Gamma^m)\\
    &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\times(\omega+d_n\Gamma^n)\Gamma^o(\omega+d_p\Gamma^p)\Gamma^q(\omega+d_r\Gamma^r)\Gamma^s(\omega+d_t\Gamma^t)\Gamma^u]
    \end{align*}
    这里面 $m,n,o,p,q,r,s,t,u=0,1,2,3,4$为5-动量指标。在求迹部分中,含有4到9个$4\times 4$ $\Gamma$矩阵的乘积构成的多项式。由于这些$\Gamma$矩阵构成Clifford代数 $\{ \Gamma^a ~,~ \Gamma^b \} =2\delta^{a b} I_N$,对$\Gamma_{4\times 4}$矩阵求迹:
    \begin{align*}
    &\text{Tr}[\Gamma^a\Gamma^b]=4\delta_{ab}\\
    &\text{Tr}[\Gamma^a\Gamma^b\Gamma^c]=0\\
    &\text{Tr}[\Gamma^a\Gamma^b\Gamma^c\Gamma^d]=4(\delta_{ ab}\delta_{cd}+\delta_{ad}\delta_{bc}-\delta_{ac}\delta_{bd})\\
    &\text{Tr}[\Gamma^a\Gamma^b\Gamma^c\Gamma^d\Gamma^e]=-4\varepsilon_{abcde}\\
    &.......
    \end{align*}
    由此可知在总的求迹中非零贡献的只有5、7、9个$\Gamma$乘积项:
    \begin{align*}
    &\text{Tr}[(\omega+d_m\Gamma^m)(\omega+d_n\Gamma^n)\Gamma^o(\omega+d_p\Gamma^p)\Gamma^q\times(\omega+d_r\Gamma^r)\Gamma^s(\omega+d_t\Gamma^t)\Gamma^u]\\
    &=\text{Tr}[\omega ^4 d_m \Gamma^m \Gamma^o \Gamma^q \Gamma^s \Gamma^u+\omega ^4 d_n \Gamma^n \Gamma^o \Gamma^q \Gamma ^s \Gamma^u\\
    &\;\;\;\;\;\;+\omega ^4 d_p \Gamma ^o \Gamma ^p \Gamma ^q \Gamma ^s \Gamma ^u+\omega ^2 d_m d_n d_p \Gamma ^m \Gamma ^n \Gamma ^o \Gamma ^p \Gamma ^q \Gamma ^s \Gamma ^u\\
    &\;\;\;\;\;\;+\omega ^2 d_m d_n d_r \Gamma ^m \Gamma ^n \Gamma ^o \Gamma ^q \Gamma ^r \Gamma ^s \Gamma ^u+\omega ^2 d_m d_p d_r \Gamma ^m \Gamma ^o \Gamma ^p \Gamma ^q \Gamma ^r \Gamma ^s \Gamma ^u\\
    &\;\;\;\;\;\;+\omega ^2 d_n d_p d_r \Gamma ^n \Gamma ^o \Gamma^p \Gamma ^q \Gamma ^r \Gamma ^s \Gamma ^u+\omega ^4 d_t \Gamma ^o \Gamma ^q \Gamma ^s \Gamma ^t \Gamma^u\\
    &\;\;\;\;\;\;+\omega ^3 d_m d_t \Gamma ^m \Gamma ^o \Gamma ^q \Gamma ^s \Gamma ^t \Gamma ^u+\omega ^2 d_m d_n d_t \Gamma ^m \Gamma ^n \Gamma ^o \Gamma ^q \Gamma ^s \Gamma ^t \Gamma ^u\\
    &\;\;\;\;\;\;+\omega ^2 d_m d_p d_t \Gamma ^m \Gamma ^o \Gamma ^p \Gamma ^q \Gamma ^s \Gamma ^t \Gamma ^u+\omega ^3 d_p d_t \Gamma ^o \Gamma ^p \Gamma ^q \Gamma ^s \Gamma ^t \Gamma ^u\\
    &\;\;\;\;\;\;+\omega ^2 d_n d_p d_t \Gamma ^n \Gamma ^o \Gamma ^p \Gamma ^q \Gamma ^s \Gamma ^t \Gamma ^u+\omega ^3 d_r d_t \Gamma ^o \Gamma ^q \Gamma ^r \Gamma ^s \Gamma ^t \Gamma ^u\\
    &\;\;\;\;\;\;+\omega ^2 d_m d_r d_t \Gamma ^m \Gamma ^o \Gamma ^q \Gamma ^r \Gamma ^s \Gamma ^t \Gamma ^u+\omega ^2 d_n d_r d_t \Gamma ^n \Gamma ^o \Gamma ^q \Gamma ^r \Gamma ^s \Gamma^t \Gamma ^u\\
    &\;\;\;\;\;\;+\omega ^2 d_p d_r d_t \Gamma ^o \Gamma ^p \Gamma ^q \Gamma ^r \Gamma ^s \Gamma ^t \Gamma ^u+d_m d_n d_p d_r d_t \Gamma ^m \Gamma ^n \Gamma ^o \Gamma ^p \Gamma ^q \Gamma ^r \Gamma ^s \Gamma ^t \Gamma ^u\;]\\
    &=-4\varepsilon^{toqsu}d_t(\omega^2-|d|^2)^2
    \end{align*}
    于是利用Cauchy主值(或留数定理)可积掉频率分量
    \begin{align*}
    C_2&=-\frac{\pi^3}{3}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\int\frac{d\omega d^4k}{(2\pi)^5}4\varepsilon^{toqsu}\frac{d_t\partial_\mu d_o\partial_\nu d_q\partial_\rho d_s\partial_\sigma d_u}{(\omega^2-|d|^2)^3}\\
    &=-\frac{\pi^3}{3}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}4\varepsilon^{toqsu}\left(\frac{1}{2\pi}\int\frac{d_t\partial_\mu d_o\partial_\nu d_q\partial_\rho d_s\partial_\sigma d_u}{(\omega^2-|d|^2)^3}d\omega\right)\\
    &=\frac{\pi^2}{4}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\varepsilon^{toqsu}\frac{d_t\partial_\mu d_o\partial_\nu d_q\partial_\rho d_s\partial_\sigma d_u}{|d|^5}
    \end{align*}
    第二陈数最终化简为
    \begin{align*}
    C_2&=\frac{3}{8\pi^2}\int d^4k\;\varepsilon_{01234}^{\alpha \beta\mu\nu\tau} d_{\alpha}\partial_1 d_{\beta}\partial_2 d_{\mu}\partial_3 d_{\nu}\partial_4 d_{\tau}\\
    &=\left\{
    \begin{array}{cc}
    0 & |m|> 4t\\
    +1 & -4t< m< -2t\\
    -3 & -2t< m< 0 \\
    +3 & 0< m< 2t\\
    -1 & 2t< m< 4t\\
    \end{array}
    \right.
    \end{align*}
    系统的3D表面( $x^4$开边界)存在无能隙边缘态,即对某些动量$k$有 $\varepsilon_k=0$。
    $|C_2|=1$:$k=0$处有1个Dirac锥
    $|C_2|=3$:$k=(\pi,0,0)\;,\;(0,\pi,0)\;,\;(0,0,\pi)$ 三处出现Dirac锥
    晶格系统的波函数表示有Bloch波函数以及Wannie波函数。
    d维晶格构成的环面 $\mathbb{T}_r^d$(原胞)和 Brillouin区 $\mathbb{T}_k^d$ ;倒格矢于正格矢满足 $\mathbf{R}\cdot\mathbf{G}=2\pi$ 。
    晶格的哈密顿量为 $\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V$
    Bloch表象下:
    \begin{align*}
    \hat{H}\psi_{nk}&=\psi_{nk}\;,\;\langle\psi_{nk}|\psi_{n'k'}=\delta_{nn'}\delta(k-k')\\
    \psi_{nk}&=\frac{e^{ik\cdot r}}{\sqrt{|\mathbb{T}_k^d|}}u_{nk}(r)\;,\;u_{nk}(r+R)=u_{nk}(r)\;,\;u_{n,k+G}(r)=u_{nk}(r)
    \end{align*}
    Wannie表象:
    \[
    a_{nR}(r)=\frac{1}{|\mathbb{T}_k^d|}\int_{\mathbb{T}_k^d}d^dk\;e^{ik\cdot (r-R)\sum_{n'\in occ.}U_{nn'}(k)u_{n'k}(r)}
    \]
    幺正算符 $U^\dagger(k)=U^{-1}(k)$,Wannie函数满足正交归一条件 $\langle a_{nR}|a_{n'R'}\rangle=\delta_{nn'}\delta_{RR'}\;,\;\sum_{R}\sum_{n\in occ.}|a_{nR}(r)|^2=\rho(r)$
    极化的改变量为
    \begin{align*}
    \Delta P&=-\frac{e}{|\mathbb{T}_r^d|}\sum_n^\text{occ.}\int_0^\infty d^d r \;r\Delta|a_{n0}(r)|^2\\
    &=\frac{e}{|\mathbb{T}_r^d|}\Delta\left(\frac{-i}{|\mathbb{T}_k^d|}\int_{\mathbb{T}_k^d}d^d k\sum_n^\text{ooc.}\int_{\mathbb{T}_r^d}dnk^dr\;(U u)_{nk}^\dagger\nabla_k(Uu)_{} \right)\\
    \\\\
    &\sum_n^\text{ooc.}\langle (Uu)_{nk}|\nabla_k(Uu)_{nk}\rangle=\sum_n^\text{ooc.}\langle u_{nk}|\nabla_k u_{nk}\rangle+\text{tr}\langle U^{-1}(k)|\nabla_k U(k)\rangle\\
    &\text{tr}U^{-1}\nabla U=\text{tr}\nabla\ln U=\nabla\text{tr}\ln U=\nabla\ln\text{det}U=i\nabla\theta\;,\;\text{det}U=e^{i\theta}\\
    &\text{det}U(k+G)=\text{det}U(k)\Rightarrow\theta(k)=\alpha(k)+\sum'_R k\cdot R\;,\;\alpha(k+G)=\alpha(k)
    \end{align*}
    可见$\Delta P$仅由$\frac{e}{|\mathbb{T}_r^d|}\sum'_R R$的模决定。
    例如一维晶体 $\mathbf{R}=N\mathbf{a}\;,\;\mathbf{G}=\frac{2\pi}{a^2}\mathbf{a}\;,\;|\mathbb{T}_r^1|=|\mathbf{a}|\;,\;|\mathbb{T_k^1}|=\frac{2\pi}{|\mathbf{a}|}$
    有 $\theta(k)=\alpha(k)+Nk$ ,极化矢量变量
    \[
    \Delta P=\frac{e}{|\mathbb{T}_r^1|}\Delta\left( (-i)\frac{a}{2\pi}\int_0^1 dk\sum_n^\text{ooc.}\langle (Uu)_{nk}|\partial^k(Uu)_{nk}\rangle\right)
    \]
    现在引入一个绝热演化参数$t$,系统为

    p22855589.jpg

    \begin{align*}
    &\hat{H}=\hat{H}_t\;,\; 0\leq t\leq 1\;,\;P(0)=0,P(1)=P\\
    &u_{nk}\to u_{nk,t}\;\;\;\;,\;\;\;\;U(k)\to U(k,t)
    \end{align*}
    极化变化量为
    \begin{align*}
    \Delta P&=P(1)-P(0)=\frac{e}{|\mathbb{T}_k^1|}\frac{a}{2\pi}\int_{\partial M}\text{tr}\mathcal{A}\\
    &=\int_0^1 dt\;\frac{\partial P}{\partial t}=\frac{e}{|\mathbb{T}_k^1|}\frac{a}{2\pi}\int_M\text{tr}\mathcal{F}
    \end{align*}
    其中占据带的态$(Uu)_{m,n\;k;t}$演生出$U(1)$ C-S规范场
    \begin{align*}
    \mathcal{A}_{mn}&=-i\langle(Uu)_{mk,t}|\partial^k(Uu)_{nk,t}\rangle dk\\
    \mathcal{F}_{mn}&=-i\langle\partial^t(Uu)_{mk,t}|\partial^k(Uu)_{nk,t}\rangle dt\wedge dk
    \end{align*}
    $\mathcal{A}$ 为J.Zak Berry联络,$\mathcal{F}$ 为J.Zak Berry曲率;$\text{tr}\mathcal{A}$为 k-环面导致出现的J.Zak Berry相位。让系统绝热复归 $\hat{H}_1=\hat{H}_0$,那么 $\partial M=\emptyset$。由于 $\Delta P$ 只由 $\frac{e}{|\mathbb{T}_k^1|}N a$模决定,那么
    \[
    \frac{1}{2\pi}\int \text{tr}\mathcal{F}\in\mathbb{N}\;\;\;(\text{第一陈数})
    \]
    其中$\text{tr}\mathcal{A}$依赖于$U(k,t)$,而 $\text{tr}\mathcal{F}$ 则只依赖于$U(k)$(光滑函数)。若 $\text{tr}\mathcal{F}=d\text{tr}\mathcal{A}$只局部成立,则其在流形$M$整体上的连续性必定受到阻碍,这就体现在陈数上面 $C_1\neq 0$。这就是所谓广义的Chern-Weil定理:$\text{tr}\mathcal{F}$独立定义在流形上,而不依赖于$\text{tr}\mathcal{A}$的局部规范结构$U(t)$。

  3. Phantom_Ghost

    3楼 10月21日 数学版主, 物理版主, 优秀回答者
    3月前Phantom_Ghost 重新编辑

    $\textbf{QCD与Chern-Simons理论}$

    除了在凝聚态理论中出现的Chern-Simons项(拓扑不变量)之外,在量子场论里面也有拓扑场论的身影。凝聚态里面的Chern-Simons的出现是因为考虑将强关联的Laughlin液体系统映射转换成平均场的无相互作用复合粒子(任意子)系统来描述而涌现的一种有效场论。而QCD出现手征反常问题也有人使用的Chern-Simons理论来解决,这时Chern-Simons项则是出现在通过能标的手征截断后得出的有效场论的拉格朗日量里面。
    上面已经简要介绍了C-S形式,那么马上简单地看一下2+1维时空中的3-形式:
    \[
    \omega = A\wedge dA + \frac{2}{3} A\wedge A\wedge A = A\wedge F - \frac{1}{3} A\wedge A\wedge A
    \]
    这是Chern-Simons 3-形式 (非Abel理论$A\wedge A=0$ ),$d\omega=F\wedge F$ 的积分是个四维的第一陈类(此为递降形式规则)。在积掉 Weyl 费米子(或确切地说是手征费米子,因为QCD中是存在着耦合产生的质量,它在3+1维中对ABJ手征反常有贡献)后,$F\wedge F$会出现在有效作用量中。 因此有效作用量中 联系着反常。反常是拓扑的即意味着基流形上的规范丛是非平凡丛 (i.e. 不是由基流形与规范群的直积构成)。同样地,C-S 3-形式 来自积掉2+1维中有质量的费米子的结果 。 “积掉”意味着在外面考虑的低能有效理论的能标下它们太“重”而难以产生, i.e. 它们不出现于路径积分当中,因此我们考虑低能有效理论,以为$\mathcal{D}\psi$测度来做路径积分——手征截断(chiral cut) 。2+1维中有质量的费米子与3+1维中的Weyl费米子以这种方式关联着:2+1维中的质量$m$等价于3+1维中的 $p^3$ (注意这里指是四维动量$p^{\mu}=(p^0,p^1,p^2,p^3)$里的第四分量),i.e. 2+1维中的动量空间是3+1维中动量空间的子空间并有固定关系 $p^3=m$。这也是一个通过积掉费米子产生拓扑项的例子。
    2+1维度与3+1维理论之间的联系:
    \[
    \begin{array}{ccc}
    \text{2+1D massive fermion} & \xrightarrow{\text{EFT}} & \text{2+1D CS} \\
    m\sim p^3\downarrow & & \downarrow\;A\wedge A=0 \\
    \text{3+1D Weyl fermion} & \xrightarrow[\text{EFT}]{} & \text{3+1D}\;F\wedge F
    \end{array}
    \]
    $\begin{array}{ccc}
    3+1D\;\text{Weyl fermion} & \xrightarrow[\text{EFT}]{} & 3+1D\;F\wedge F
    \end{array}$ 表示的是Pecci-Quinn形式
    这其中的费米子本身无质量,其质量是通过与某种SSB复标量进行Yukawa耦合产生(有效质量),这种耦合具有手征转动。而质量项和动能项因这种手征转动( i.e. ${e}^{i\theta\gamma_5}$ )有差异。积掉费米子得到有效场论的有效作用量中就会存在 $\theta[F\wedge F]$ 项。这就是Pecci-Quinn理论,拓扑项源于积掉费米子得到的有效场的形成。
    在粒子物理学中,由Roberto Peccei和Helen Quinn提出的Peccei–Quinn理论是为解决强CP问题最著名方案的。该理论通过在拉格朗日量中引入被称为$\theta$参数CP破坏项扩展了QCD。鉴于实验上从未观测到$\theta$的值,因此它应该是很小或甚至为零。Peccei–Quinn理论认为$\theta$参数应为动力学场而不是常量。Peccei–Quinn理论预言的轴子的存在。场势能项导致其自动消除真空期望值,使得参数有效值为零。

    Peccei–Quinn对称性是一种可能的附加成分——轴子场
    轴子场动力学是一个具整体$U(1)$对称的场论,轴子除了和规范粒子有作用项(耦合的形式是Chern-Simons项),还有个整体$U(1)$对称动力学项。轴子本身是实赝标量,没电荷,虽然跟光子作用,但不是电磁作用。用$\theta$代表真空期望值,根据Chern-Simons理论把这一项写入拉氏密度的,表达式为$\theta F \wedge F$,我们还可以写出它的分量式,比如对于$U(1)$规范场:$\theta \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}$ 这是个4-形式,也就是第二陈类,由此我们还看到 相当于缠绕数。这一个作用项也破坏P宇称,因此破坏CP对称。Peccei–Quinn对称性经由这个标量场获得的真空期望值(VEV)而自发破缺,而轴子就是对称性破缺的无质量Goldstone玻色子。如果对称性是个规范对称性那么轴子被规范玻色子“吃掉”的,这意味着规范玻色子变成有质量而轴子成了非物理真实存在的自由度。这在单单唯象角度来看是可取的,因为它至少不会留下无质量粒子出现,而这种粒子也确实没在实验中发现过。
    Peccei–Quinn对称性理论可能并不是精确的理论,因为这种对称性可以被QCD瞬子反常破坏。 如果存在一个补偿项能破坏这种瞬子来消去QCD反常,那么轴子将变成无质量Goldstone玻色子并且$\theta$不再是固定的。轴子的有效势为是一个潜在的上面的QCD标度上的势场总和,它包含着诱导出非微扰QCD效应的势场项。 如果轴子是基本的或出现在远高于QCD的能标上,5维轴子耦合项 $\theta\;\mathrm{Tr}[ F \wedge F ]$(Chern-Simons形式)将被$1/\Lambda$标度所限制,其中$\Lambda$是轴子出现的能标。正因为如此,为了使 是能产生最小有效势,裸势场的强度必须比瞬子诱导势小许多阶(由$\Lambda$因子标度)。这需要相当多的调节以得到近似整体对称性,理论中有没有"流"的存在。

    耦合常数$\theta$的单圈重整化
    若在Chern–Simons规范理论添加物质,则整体来看它将不再是拓扑的。然而若增加n个Majorana费米子,那么由于宇称(奇偶性)反常,当积掉这些Majorana费米子后将导致出现$\theta$作用常数单圈重整化$-\frac{n}{2}$的纯Chern–Simons理论,换言之 作用常数的含费米子的理论等价于 $\theta-\frac{n}{2}$ 作用常数的无费米子理论。

 

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