弯曲时空中量子场的热效应

  1. 3月前

    Phantom_Ghost

    1楼 10月20日 数学版主, 物理版主, 优秀回答者
    3月前Phantom_Ghost 重新编辑

    - 2014 -

    Author: $\textbf{Tom Gao}\;\;\&\;\;\textbf{Raymond Wang}$

    黑洞是一个万有引力极大的地方,按照经典力学上来说,它的引力超强,甚至光也无法逃脱(Laplace论证过)。目前虽尚未了解如何统一引力与量子力学,但远离黑洞之处的重力效应却微弱到依然可以使计算结果符合弯曲时空的量子场论框架。在这个框架描述下,我们会发现诸多有趣的现象。热效应就是其中的一种。
    关于中的弯曲时空上的量子场论的热效应,最著名的是Hawking在1973年提出黑洞具有Hawking辐射。有了Hawking辐射理论就能说明如何降低黑洞的质量而导致黑洞蒸散的现象。因为Hawking辐射能够让黑洞失去质量,当黑洞损失的质量比增加的质量多的时候就会造成缩小,最终消失。而比较小的微黑洞的发散量通常会比正常的黑洞大,所以前者会比后者缩小与消失的速度还要快。
    类似地,Penrose也提出了可以通过Penrose过程从旋转黑洞(Kerr-Newman黑洞考虑的是带电的黑洞) 的能层(ergosphere)中提取能量。

    以下讨论我们按量子场论的处理,选取自然单位制 $\hbar =c=1$
    在弯曲时空中的给出标量场的相对论性运动方程:Klein-Gordon方程
    \[
    \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} (\sqrt{-g} g^{\mu\nu} \frac{\partial\phi}{\partial x^{\mu}} -m^2 \phi)=0
    \]
    由于Schwarzschild度规的球对称性,在球坐标系中标量场展开为
    \[
    \phi = \frac{1}{\sqrt{4\pi\omega} r} R_{\omega}(r,t)\;Y_{lm}(\theta ,\varphi)
    \]
    对K-G方程进行分离变量得到两个方程
    \[
    [-(1-\frac{2M}{r})^{-1} r^2 \frac{\partial^2}{\partial t^2} + \frac{\partial}{\partial r}(r^2 -2Mr) \frac{\partial}{\partial r} -m^2 r^2 ]\frac{R_{\omega}}{r}=-l(l+1)\frac{R_{\omega}}{r}
    \]

    \[
    [\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta} \sin\theta \frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} ]Y_{lm} = l(l+1)Y_{lm}
    \]
    作变换 $r_{*} = r +2M\ln|\frac{r-2M}{M}| $,$r\rightarrow \infty$,径向方程化为
    \[
    (-\frac{\partial^2}{\partial t^2}+\frac{\partial^2}{\partial r_{*}^2}-m^2)R_{\omega}=0
    \]
    当$r$接近$2M$时,则变为
    \[
    (-\frac{\partial^2}{\partial t^2} +\frac{\partial^2}{\partial r_{*}^2} )R_{\omega}=0
    \]
    这两个方程告诉人们一个事实:对于观察者,任何在视界附近运动的粒子与远处无质量粒子是不可区分的。

    很明显$r$趋于$2M$时的运动方程是波动方程,其入射波解为 $R_{\omega}^{in} =e^{i\omega (t+r_{*})} $ ,出射波则为 $R_{\omega}^{out}=e^{-i\omega (t-r_{*})}$ 。
    在Eddington坐标(也称为乌龟坐标)中可写为: $R_{\omega}^{in}=e^{-i\omega v}\;,\;R_{\omega}^{out}=e^{2i\omega r_{*}} e^{-i\omega v}$
    现在来讨论出射波 $R_{\omega}^{out}=e^{2i\omega r_{*}} e^{-i\omega v}$ ,注意$r_{*} = r +2M\ln|\frac{r-2M}{M}|$ ,得到描述视界外部的出射波
    \[
    R_{\omega}^{out}=e^{2i\omega r} e^{-i\omega v} (\frac{r-2M}{2M})^{4iM\omega}
    \]
    $r=2M$处为奇点,意味着此波动解在视界内不适用。

    将波展开为:$(r-2M)\rightarrow |r-2M|e^{-i\pi}=(2M-r)e^{-i\pi} $ , $R_{\omega}^{out}=e^{4\pi M\omega}e^{2i\omega r_{*}}e^{-i\omega v}$
    比较视界外、内 出射波的两个表达式,人们可以理解为波在 $r=2M$ 处发生散射,相对振幅
    \[
    \frac{R_{\omega}^{out}(beyond)}{R_{\omega}^{out}(inside)} = e^{-4\pi M\omega}
    \]
    相对散射几率(几率为振幅模平方)为 $P_{\omega}=e^{-8\pi M\omega}$ ,K-G方程只适用于无自旋标量玻色子。
     \[
                                
    初始真空状态(跃迁)\longrightarrow \begin{equation}
       \begin{cases}
      无粒子对 &\mbox{$C_{\omega}$}\\
      一对粒子 &\mbox{$C_{\omega}P_{\omega}$}\\
      两粒子对 &\mbox{$C_{\omega}P_{\omega}^2$ }\\
        ........
       \end{cases}
     \end{equation}
    \]
    由总几率是1,可得 $C_{\omega}+C_{\omega}P_{\omega}+C_{\omega}P_{\omega}^2+...=1$
                                 $C_{\omega}=1-P_{\omega}$
    因此,产生n对粒子的总几率为 $(P_{\omega})_n=C_{\omega}P_{\omega}^n=(1-P_{\omega})P_{\omega}^n $
    则黑洞辐射的频率$\omega$中含有平均粒子数为
    \[
    N_{\omega}=\sum_{n=1}^{\infty} {n(P_{\omega})_n} =\frac{P_{\omega}}{1-P_{\omega}}=\frac{1}{e^{8\pi M\omega} -1}=\frac{1}{e^{ \frac{\omega}{k_{B}T} }-1}
    \]
    其中 $T=\frac{1}{8\pi M k_{B}}$,Schwarzschild黑洞表面引力常数为 $k_{+}=\frac{1}{4M}$ ,那么
    $T=\frac{k_{+}}{2\pi k_{B}}$ ,恢复到普通单位制即有
    \[
    T=\frac{\hbar k_{+}}{2\pi k_{B} c}=\frac{\hbar c^3}{8\pi GMk_{B}}
    \]
    此即为 Bekenstein温度公式。

    Misner在Hawking辐射的基础上预言黑洞存在受激辐射,甚至自发发射。这种自发发射是受激辐射的自发性过程。这两种辐射都是有量子效应引起的,不是传统的热辐射,与温度无关;而且能层在其中起了相当重要的作用,也就是说这些辐射都是Kerr-Newman黑洞的性质,并且辐射过程中,黑洞的角动量以及电荷将会减少(也就是说辐射能量来自于黑洞的转动动能和电磁能),最终退化为Schwarzschild黑洞。(Kerr-Newman黑洞可视为Schwarzschild黑洞的激发态),这些现象的发现和黑洞四条热力学定律形成对应关系。此后1976年由William G. Unruh提出一种此效应:一名加速运动的观察者可以观测到惯性参考系中观察者无法看到的黑体辐射,即加速运动的观察者会发现自己处在一个温暖的背景中。所表示的意义为惯性参考系中观察者所看到的量子基态,在一名加速参考系的观察者看来则是处在热力学平衡态,该现象称为Hawking-Unruh效应。该效应也导致加速粒子的衰变率与惯性粒子的不同,如质子等的稳定粒子在加速时具有不为零的衰变率。

    Unruh指出了在Minkovski空间中,匀加速的观察者会发现自己周围充满了热辐射,而辐射温度为 $T=\frac{a}{2\pi k_{B}}$ 。
    辐射谱是黑体辐射谱:$N=\frac{1}{e^{ \frac{\omega}{k_{B} T}} \pm 1 }$
    其中$a$是Rindler坐标的加速度。$k_{B}$是Blotzmann常数。 $N$则是粒子数,$ +、-$ 分别对应着费米子和玻色子。
    静止在Rindler坐标系中的观察者实际观察到的温度应为 $T=\frac{b}{2\pi k_{B}}$
    其中$b$为静止在加速系中的观察者实际测量到的加速度。

    通过指数型的坐标变换,可以把零温的Minkowski时空变到有限温度的Rindler时空. 也可以把零温的Kruskal时空变到有限温度的Schwarzschild时空。一般来说,对于存在Unruh效应的时空,都可以找到联系零温时空于有限温度时空的坐标变换,我们把这种坐标变换叫做热坐标变换。有限温度的时空常采用Rindler坐标讨论,它一定存在视界,用$a$ 表示视界面上的表面引力。
    热坐标变换通常取如下形式
    \[
    t=\frac{1}{a} e^{a\xi} \sinh(a\eta) , x=\frac{1}{a} e^{a\xi} \cosh(a\eta)\;\;,\;R\;区域
    \]

    \[
    t=-\frac{1}{a} e^{a\xi} \sinh(a\eta) , x=-\frac{1}{a} e^{a\xi} \cosh(a\eta)\;\;,\;L\;区域
    \]

    \[
    t=\frac{1}{a} e^{a\xi} \cosh(a\eta) , x=\frac{1}{a} e^{a\xi} \sinh(a\eta)\;\;,\;F\;\;区域
    \]

    \[
    t=-\frac{1}{a} e^{a\xi} \cosh(a\eta) , x=-\frac{1}{a} e^{a\xi} \sinh(a\eta)\;\;,\;P\;\;区域
    \]
    通过这个变换,Minkovski空间中的线元 $ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$ 变为
    \[
    ds^2=\pm e^{2a\xi}(-d\eta^2+d\xi^2)+dy^2+dz^2
    \]
    此即为Rindler坐标中的线元。

    热坐标变换所联系的时空,其二维子时空线元都共形于Minkowski 时空,零温与有限温度的时空不
    仅有热坐标变换相联系,而且在共形因子变换因子大于零的时空区有共形等度规映射相联系。
    对零温时空,线元的坐标长度 $ds_1^2=-dt^2+dx^2$,其尺度因子为$\Omega_1^2$;对有限温度的时空,线元的坐标长度$ds_2^2=-d\eta^2+d\xi^2$,尺度因子$\Omega_2^2$。有以下等价关系
    \[
    \Omega_1^2 ds_1^2=\Omega_2^2 ds_2^2
    \]
    共形因子就是 $\Omega=\Omega_2 / \Omega_1=e^{a\xi} $
    也即
    \[
    (-d\eta^2+d\xi^2)=e^{-2 a\xi} (-dt^2+dx^2)
    \]
    线元的固有长度表示为共形因子与坐标长度的乘积后,由热坐标变换就可以看作是坐标尺度的变换。 热坐标变换可以把零温时空变到有限温度的时空,坐标尺度的变换也可以把零温时空变到有限温度的时空。这种意义上,热坐标的变换就等价于坐标尺度的变换。
    在坐标变换下,各时空点坐标长度的尺度标准将发生变化,并且可能与矢量的平移路程有关。如果尺度标准放大$\Omega$ 倍,坐标长度将缩小$\Omega$倍。我们可以考察时空的仿射联络缩并在坐标变换下进行变换,熟悉广义相对论的人都知道,仿射联络的缩并不是矢量,它表示坐标长度从某点平移$dx^{\mu}$所引起的坐标长度的相对改变率。在二维子空间内,它可看作是一种规范势。只要坐标长度的尺度标准与矢量的平移路程有关,与规范势相应的规范场强一定不为零。那么这种与规范势相对应的规范场可以看作坐标尺度变换的补偿场。

    时间的均匀性或平移不变性, 导致能量守恒。当这种均匀性从“整体” 过渡到“局域”时, 会产生相应的补偿效应。时间尺度压缩和时间尺度变换, 就是时间均匀性局域化的一种表现。我们已经知道,这种与共形等度规映射相联系的时间尺度变换会导致补偿效应的出现。实际上Unruh效应的表面引力是以坐标尺度变换补偿场的纯规范势的形式出现的, 也就是坐标尺度变换的补偿效应。在自然单位制中,时间坐标尺度与空间坐标尺度的变换相同,坐标尺度变换,时间尺度也要发生相同的变换。上述联络规范场也是时间尺度变换的补偿效应。 时间和能量之间存在测不准关系 $\Delta\omega\Delta t\sim\hbar$,在任何坐标系、任何空间点,时间尺度的压缩必然伴随着能量尺度的伸张,Unruh效应也是能量尺度变换的补偿效应。

    由上面的论述,非零的规范联络反映热坐标变换时能量尺度相对变化率的补偿。接下来我们会看到从零温时空变到有限温度的时空时,能量尺度的变化伴随着真空零点能的移动$k_{B}T$数量级。而Unruh效应正是起源于真空零点能的移动

    回到Rindler坐标,从之前的热坐标变换我们可以看到Rindler坐标将Minkovski空间分成四个区域(R、L、F、P)

    p20866789.jpg

    图中虚线为光锥 $t=\pm x$,还可见到直线$\xi=const$ (图中为$\tau$),双曲线为 $\eta=const$(图中为$\zeta$)。光锥右侧为R区,左侧为L区,上侧为F区,下侧为P区。R、L区中$\eta$代表时间,$\xi$代表空间;而在F、P区则相反。$(t,x,y,z)$ 表示Minkovski空间的坐标系对应于惯性系,而 $(\eta ,\xi ,y,z)$ 表示Rindler坐标对应于匀加速直线运动参考系,加速方向沿着x方向。静止在加速系中的观察者的固有加速度为
    $b=a\;e^{-a\xi}$
    显然当观察者静止在Rindler坐标的原点处时,$\xi=0 , b=a$
    $a$又称为Rindler坐标加速度。无论观察者静止在Rindler坐标中什么地方,总有 $\xi=const$,其固有加速度$b$总为常数,做匀加速直线运动。这些观察者在Minkovski空间中的世界线是双曲线。这幅时空图和Schwarzschild黑洞的Kruskal坐标类似(原因见上段)。

    p11994261.jpg

    现在来考虑Minkovski中的一个标量场,对其二次量子化
    \[
    \phi=\sum_{k} {a_k u_k + a_k^{\dagger} u_k^{*}}
    \]
    其中 $u_k=\exp(i {\vec{k}}\cdot {\vec{x}} -i \omega t)$,$t$为Minkovski时空中的时间,$\omega$和$k$分别为粒子的频率和波矢。$a_k$、$a_k^{\dagger}$ 分别为产生、湮灭算符,满足对易关系
    \[
    [a_k,a_{k'}^{\dagger}]=a_k a_{k'}^{\dagger}-a_{k'}^{\dagger} a_k=\delta^{(3)}(k-k'),[a_k,a_{k'}]=[a_k^{\dagger},a_{k'}^{\dagger}]=0
    \]

    定义真空态 $|0\rangle$,不存在任何粒子的状态,有 $a_k |0\rangle =0$ 。n个粒子的态表示为 $|n\rangle$ ,可以通过 $a_k^{\dagger}$ 按真空态 $|0\rangle$ 为
    \[
    |n\rangle=\frac{(a_k^{\dagger})^n}{\sqrt{n!}} |0\rangle
    \]
    $\frac{1}{\sqrt{n!}}$ 为归一化因子,归一化为:$\langle m|n\rangle =\delta_{mn}$
    还有
    \[
    a_k^{\dagger}|n\rangle =\sqrt{n+1} |n+1\rangle , a_k|n\rangle =\sqrt{n} |n-1\rangle
    \]
    由所有粒子态$\{|n\rangle\}$(包含着各种粒子数、动量的Hilbert空间直积构成的Fock空间:$\mathcal{F}=\mathcal{H}\oplus\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}\oplus\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}...$)构成一套完备基矢。任一量子态均可按这组基展开。
    粒子书算符为 $N_k=a_k^{\dagger} a_k $, $a_k^{\dagger} a_k |n\rangle =n|n\rangle $
    粒子数 $n=\langle n|a_k^{\dagger} a_k |n\rangle$
    对真空态 $\langle 0|a_k^{\dagger} a_k |0\rangle =0$

    Rindler空间中R和L是两个不联通的时刻区域,在Rindler时间$\eta$下必有R区的函数 $u_k^R$ 和L区的函数 $u_k^L$ 共同组成一组完备基,这两个函数与之前的 $u_k$ 类似,有

    \begin{equation}
       ^R u_k=
       \begin{cases}
       \frac{1}{\sqrt{4\pi\omega}}\exp(i {\vec{k}}\cdot {\vec{x}} -i \omega t) &\mbox{R}\\
      0 &\mbox{L}
       \end{cases}
     \end{equation}

    \begin{equation}
      ^L u_k=
       \begin{cases}
       \frac{1}{\sqrt{4\pi\omega}}\exp(i {\vec{k}}\cdot {\vec{x}} +i \omega t) &\mbox{L}\\
      0 &\mbox{R}
       \end{cases}
     \end{equation}

    则标量场的场算符展开为
    \[
    \phi=\sum_k {b_k^1\;{^L}u_k + b_k^{1\;\dagger}\;{^L}u_k^{*} + b_k^2\;{^R}u_k + b_k^{2\;\dagger}\;{^R}u_k^{*}}
    \]
     $b_k^1、b_k^{1\;\dagger}$ 分别表示L区内的产生、湮灭算符;$b_k^2、b_k^{2\;\dagger}$ 为R区内的产生、湮灭算符。 Rindler真空态 $|0\rangle_R$ 有 $b_k^1 |0\rangle_R=b_k^2 |0\rangle_R =0$
    然后作Bogoliubov变换
    \[
    b_k^1=\frac{1}{\sqrt{2\sinh(\pi\omega/a)}}(e^{\pi\omega/2a}d_k^2+e^{-\pi\omega/2a}d_{-k}^{1\;\dagger})
    \]

    \[
    b_k^{1\;\dagger}=\frac{1}{\sqrt{2\sinh(\pi\omega/a)}}(e^{\pi\omega/2a}d_k^{2\;\dagger}+e^{-\pi\omega/2a}d_{-k}^{1})
    \]

    \[
    b_k^2=\frac{1}{\sqrt{2\sinh(\pi\omega/a)}}(e^{\pi\omega/2a}d_k^2+e^{-\pi\omega/2a}d_{-k}^{2\;\dagger})
    \]

    \[
    b_k^{2\;\dagger}=\frac{1}{\sqrt{2\sinh(\pi\omega/a)}}(e^{\pi\omega/2a}d_k^{1\;\dagger}+e^{-\pi\omega/2a}d_{-k}^{2})
    \]

    对应的模函数为
    \[
    f_k^1=e^{\pi\omega/2a} u_k^R+e^{-\pi\omega/2a} u_k^{L\;*}
    \]

    \[
    f_k^2=e^{\pi\omega/2a} u_k^L+e^{-\pi\omega/2a} u_k^{R\;*}
    \]
    由以上表示可以得
    \[
    \phi=\sum_k {\frac{1}{\sqrt{2\sinh(\pi\omega/a)}}}( d_k^1 f_k^1 + d_k^2 f_k^2 + d_k^{1\;\dagger}\;f_k^{1\;*} + d_k^{2\;\dagger} f_k^{2\;*} )
    \]
    可以定义另外一个真空 $d_k^1 |0\rangle_M = d_k^2 |0\rangle_M=0 $
    这就是Minkovski空间中的真空。

    对于匀加速的Rindler空间中的观察者来说,Minkovski空间的真空含有粒子。
    \[
    \langle 0| b_k^{1\;\dagger}\;b_k^1 |0\rangle_M = \langle 0| b_k^{2\;\dagger}\;b_k^2 |0\rangle_M =\frac{1} { e^{ \frac{\omega}{ k_{B} T} } +1 }
    \]
    其中 $T=\frac{1}{2\pi k_{B}}$ ,固有温度则表示为 $T_{proper} = \frac{T}{\sqrt{-g_{00}} }=\frac{a}{2\pi k_{B}}e^{-a\xi}$

    零温时空的真空态,对于有限温度时空的观察者来说有粒子存在,是处于温度 $T=\frac{a}{2\pi k_{B}}$ 的热平衡态。

    通常的Minkowski sapce中,虚粒子涨落形成零点能,我们可以预想到,它是在能量为零处(已经对真空能 $\sum_k {\frac{1}{2} \hbar\omega_k} $ 重新标度为零)形成一个平均值为零的涨落。在做匀加速运动的Rindler坐标中观测时,时间不再是通常的$t$而变成$\eta$。热坐标变换使真空零点能下移,零温时空的部分真空能实化,这种实化的能量以黑体谱热辐射的形态出现。不过理论预计这一效很微弱,目前实验上还未观测到。也有可能这一效应并不真实存在,毕竟弯曲时空上的量子场论还只是一个试探性的工作,也许一个真正的量子引力论中这种效应会被消除,就和黑洞奇点一样。

 

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