全息暗能量模型

  1. 3月前

    Phantom_Ghost

    1楼 10月20日 数学版主, 物理版主, 优秀回答者
    2月前Phantom_Ghost 重新编辑

    - 2014 -

    现代宇宙基本模型将宇宙视为全空间均匀各向同性,其中相互作用力只有引力

    Einstein引力场方程
    \begin{align*}
    R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}
    \end{align*}
    $g_{\mu\nu}$:度规张量
    $R=g^{\lambda\mu}R_{\lambda\mu}=R^{\mu}_{\;\;\mu}$:Ricci标量曲率
    $R_{\mu\nu}$:Ricci曲率张量
    $T_{\mu\nu}$:能动张量
    $\Lambda$:宇宙学常数(暗能量)

    对均匀各向同性空间选取共动坐标 $(t,r,\theta,\varphi)$ , Friedmann-Robertson-Walker (FRW)度规:
    \begin{align*}
    ds^2=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}=-c^2 dt^2+a(t)\big(\frac{dr^2}{1-\kappa r^2}+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\varphi^2\big)
    \end{align*}

    度规各个分量为:
    $g_{00}=-c^2$ ,$g_{11}=\frac{a^2}{1-\kappa r^2}$ ,$g_{22}=r^2a^2$ ,$g_{33}=r^2\sin^2\theta a^2$ ,$g^{\mu\mu}=1/g_{\mu\mu}$
    $g_{\mu\nu}=g^{\mu\nu}=0\;\;\;(\mu\neq\nu)$

    *注意这里的$a$即为含时尺度因子 $a(t)$

    空间曲率:
    \[
       \kappa=\begin{cases}
      0 &\mbox{flat}\\
      +1 &\mbox{closed}\\
      -1 &\mbox{open}\\
       \end{cases}
    \]
    Riemann曲率张量:
    \begin{align*}
    R^{\eta}_{\;\;\mu\nu\lambda}&=\frac{\partial\Gamma^{\eta}_{\mu\lambda}}{\partial x^{\nu}}-\frac{\partial\Gamma^{\eta}_{\mu\nu}}{\partial x^{\lambda}}+\Gamma^{\eta}_{\sigma\nu}\Gamma^{\sigma}_{\mu\lambda}-\Gamma^{\eta}_{\sigma\lambda}\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}\\
    \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}&=\frac{1}{2}g^{\eta\lambda}\Big(\frac{\partial g_{\nu\eta}}{\partial x^{\mu}}+\frac{\partial g_{\mu\eta}}{\partial x^{\nu}}-\frac{\partial g_{\nu\mu}}{\partial x^{\eta}}\Big)\\
    \end{align*}
    $\Gamma_{11}^0=\frac{a\dot{a}}{c^2(1-\kappa r^2)}$ ,$\Gamma_{22}^0=\frac{r^2a\dot{a}}{c^2}$,$\Gamma_{33}^0=\frac{r^2\sin^2\theta a\dot{a}}{c^2}$

    $\Gamma_{11}^1=\frac{\kappa r}{1-\kappa r^2}$,$\Gamma_{22}^1=-r(1-\kappa r^2)$,$\Gamma_{33}^1=-r\sin^2\theta(1-\kappa r^2)$,$\Gamma_{01}^1=\Gamma_{10}^1=\frac{\dot{a}}{a}$

    $\Gamma_{33}^2=-\sin\theta\cos\theta$,$\Gamma_{02}^2=\Gamma_{20}^2=\frac{\dot{a}}{a}$,$\Gamma_{12}^2=\Gamma_{21}^2=\frac{1}{r}$

    $\Gamma_{03}^3=\Gamma_{30}^3=\frac{\dot{a}}{a}$,
    $\Gamma_{23}^3=\Gamma_{32}^3=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$,$\Gamma_{31}^3=\Gamma_{13}^3=\frac{1}{r}$

    得到非零曲率张量元:$R_{00}=-\frac{\ddot{a}}{a}$,$R_{ii}=\frac{g_{ii}}{c^2
    \;a^2}(a\ddot{a}+2\dot{a}+2c^2\kappa) $ $(i=1,2,3)$

    把宇宙中物质视为理想流体,能动张量可写为:
    \begin{align*}
    T_{\mu\nu}=\big(\rho+\frac{p}{c^2}\big)U_{\mu}U_{\nu}+g_{\mu\nu}\frac{p}{c^2}
    \end{align*}
    $\rho$是密度,$p$是压强,$U_{\mu}$是四维速度矢量,在共动参考系下 $(U_0,U_1,U_2,U_3)=(c,0,0,0)$

    于是能动张量矩阵表示为:
    \begin{align*}
    T^{\mu}_{\;\;\nu}&= \left(
      \begin{array}{cccc}
      \rho\;c^2 & 0&0&0 \\
        0 & -p &0 &0 \\
        0&0&-p&0\\
        0&0&0&-p\\
      \end{array}
    \right) \\
    T&=g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}=\rho+\frac{3p}{c^2}
    \end{align*}
    以上入场方程得
    \begin{align*}
    &\ddot{a}=-[\frac{4\pi G}{3c^4}( \rho\;c^2+3p)+\frac{\Lambda}{3}]a\;\;\;\;\;(时间分量)\\
    &a\ddot{a}+2\dot{a}^2+2c^2k=[\frac{4\pi G}{c^2}( \rho\;c^2-p)-\Lambda]a^2
    \end{align*}
    两式消去$\ddot{a}$得 $\dot{a}^2+c^2k=\big(\frac{8\pi G}{3}\rho-\frac{\Lambda}{3}\big)a^2$

    Friedmann方程
    \begin{align*}
    \dot{a}^2+\kappa=\frac{8\pi G}{3}\rho a^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)
    \end{align*}
    质量动能密度等于引力势能密度(单位质量的动能和势能)
    \begin{align*}
    \ddot{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho+3p)a\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)
    \end{align*}
    质量元的加速度等于所受的引力(Newton 第二定律)

    由Friedmann方程的(1)式两边对$ t $求导得
    \begin{align*}
    2\dot{a}\ddot{a}=\frac{8\pi G}{3}(\dot{\rho}a^2+\rho\;2a\dot{a})
    \end{align*}
    将(2)代入上式有
    \begin{align*}
    2\dot{a}\big[-\frac{4\pi G}{3}(\rho+3p)a\big]&=\frac{8\pi G}{3}(\dot{\rho}a^2+\rho\;2a\dot{a})\\
    -\dot{a}a\rho-3\dot{a}ap&=\dot{\rho}a^2+2\dot{a}a\rho
    \end{align*}

    其中
    \begin{align*}
    -3\dot{a}ap=\dot{\rho}a^2+3\dot{a}a\rho
    \end{align*}
    两边乘以$a$
    \begin{align*}
    -3\dot{a}a^2p&=\dot{\rho}a^3+3\dot{a}a^2\rho\\
    \Rightarrow -p d(a^3)&=d(\rho a^3)\\
    -pdV&=dE (热力学第一定律)
    \end{align*}

    于是就有
    \begin{align*}
    &\dot{\rho}a^2+3\dot{a}a\rho+3\dot{a}ap=0\\
    &\dot{\rho}+3\frac{\dot{a}}{a}(\rho+p)=0\\
    &\Rightarrow\;\dot{\rho}+3H(\rho+p)=0
    \end{align*}
    $H=\dot{a}/a$即为Hubble常数

    物态方程: $p=w\;\rho$
    \begin{align*}
    \dot{\rho}+3H\rho(1+w)=0\\
    \frac{\dot{\rho}}{\rho}=-3\frac{\dot{a}}{a}(1+w)\\
    \int_{\rho_0}^{\rho}\frac{d\rho}{\rho}=\int_1^a -3(1+w)\frac{da}{a}\\
    \ln\frac{\rho}{\rho_0}=\ln\;a^{-3(1+w)}\\
    \rho=\rho_0\;a^{-3(1+w)}
    \end{align*}
    物质密度:$\rho_m\varpropto a^{-3}\to w=0$
    辐射密度:$\rho_{\gamma}\varpropto a^{-4}\to w=\frac{1}{3}$
    宇宙曲率:$\rho_{\kappa}\varpropto a^{-2}\to w=-\frac{1}{3}$
    暗能量密度:$\rho_{\Lambda}=\text{constant}\;\;\;w=-1$

    引入临界密度 $\rho_c=3H^2/8\pi G$以获得宇宙膨胀问题更为明显的解,宇宙密度参数即为
    \begin{align*}
    \Omega&=\rho/\rho_c\\
    \rho_m&=\rho_{m_0}\;a^{-3}\\
    \Omega_m&=\frac{\rho_m}{\rho_c}=\frac{\rho_{m_0}}{\rho_c}a^{-3}=\frac{\rho_{m_0}}{\rho_{c_0}}a^{-3}\frac{H_0^2}{H^2}\\
    \Omega_m&=\Omega_{m_0}a^{-3}/E^2
    \end{align*}
    同理:$\Omega_{\gamma}=\Omega_{\gamma_0}a^{-4}/E^2$, $\Omega_{\kappa}=\Omega_{\kappa_0}a^{-2}/E^2$

    暗能量密度
    \begin{align*}
    \rho_{\Lambda}&=\rho_{\Lambda_0}\\
    \Omega_{\Lambda}&=\Omega_{\Lambda_0}/E^2\;,\;w\neq -1\\
    \rho_{\Lambda}&=\rho_{\Lambda_0}a^{-3(1+w)}\\
    \Omega_{\Lambda}&=\Omega_{\Lambda_0}a^{-3(1+w)}/E^2
    \end{align*}
    约化Planck质量 $M_P=1/\sqrt{8\pi G}$

    Friedmann方程写为相应各成分物态方程之和
    $
    3M_P^2H^2=\sum_i\rho_i\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)
    $
    $\sum_i\rho_i=\rho_{\Lambda}+\rho_m+\rho_{\gamma}+\rho_{\kappa}\;;\;\rho_{\kappa}=-\frac{3M_P^2\kappa}{a^2}\;;\;\Omega_{\kappa}=-\frac{\kappa}{a^2 H^2}$

    $
    \frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{1}{6M_P^2}(\rho+3p)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)
    $

    $
    \dot{\rho}+3H(\rho+p)=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(6)
    $

    * $\frac{\dot{a}}{a}=H$

       $\frac{da}{a\;dt}=H\to \frac{d\ln a}{dt}=H$

       $a=1/Hz\to da=-\frac{1}{(Hz)^2}dz\to d\ln a=-\frac{dz}{Hz}$

    $3M_P^2H^2=\rho_m+\rho_{\Lambda}+\rho_{\gamma}+\rho_{\kappa}$

    上式两边除以 $3M_P^2H_0^2$

    $E^2=\Omega_{m_0}a^{-3}+\Omega_{\Lambda}E^2+\Omega_{\gamma_0}a^{-4}+\Omega_{\kappa_0}a^{-2}$

    $E^2=\frac{H^2}{H_0^2}=\frac{\Omega_{m_0}a^{-3}+\Omega_{\gamma_0}a^{-4}+\Omega_{\kappa_0}a^{-2}}{1-\Omega_{\Lambda}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(7)$

    全息闭合宇宙

    先考虑一类无相互作用的简单曲率模型

    $1=\Omega_{\Lambda}+\Omega_m+\Omega_{\gamma}+\Omega_{\kappa}$

    Cohen等人指出局部量子场论的成立要求引力效应可忽略,避免黑洞形成,这就要求场论真空能量有上限。对于场论中零点能有 $L^3\rho_{\Lambda}\leqslant LM_P^2$
    L是整个系统的尺度,在宇宙学上就是一个视界。

    如果零点能由紫外截断 $\Lambda$ 决定,就得到所谓紫外-红外(UV/IR)关系:$\Lambda^4\approx M_P^2L^{-2}$

    当全息原理满足时,暗能量密度即为:

    $\rho_{\Lambda}=3c^2M_P^2L^{-2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(8)$

    其中 $L=a\int_t^{\infty}\frac{dt'}{a(t')}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(9)$

    $\Omega_{\Lambda}\frac{c^2}{H^2L^2}$ $\to$ $HL=\frac{c}{\sqrt{\Omega_{\Lambda}}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(10)$

    $\to$ $\dot{L}=\frac{\dot{a}}{a}a\int_t^{\infty}\frac{dt'}{a(t')}=HL-1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(11)$

    故有 $\dot{L}=\frac{c}{\sqrt{\Omega_{\Lambda}}}-1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(12)$

    对(10)两边求时间导数
    $\dot{H}L+H\dot{L}=-\frac{1}{2}c\Omega_{\Lambda}^{-3/2}\dot{\Omega}_{\Lambda}$

    $\dot{L}=-\frac{c\Big(\dot{H}\sqrt{\Omega_{\Lambda}}+H\frac{\dot{\Omega}_{\Lambda}}{2\sqrt{\Omega_{\Lambda}}}\Big)}{H^2\Omega_{\Lambda}}$

    (10)、(12)代入得
    $2\frac{\dot{H}}{H^2}\frac{c}{\sqrt{\Omega_{\Lambda}}}+\frac{2c}{\sqrt{\Omega_{\Lambda}}}-2=-c\Omega_{\Lambda}^{-3/2}\frac{\dot{\Omega}_{\Lambda}}{H}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(13)$
    那么同时对于整个体系的能量有
    $2\frac{E'}{E}\frac{c}{\sqrt{\Omega_{\Lambda}}}+\frac{2c}{\sqrt{\Omega_{\Lambda}}}-2=-c\Omega_{\Lambda}^{-3/2}\Omega'_{\Lambda}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(14)$

    现在来计算 $\dot{H}/H^2$

    对(7) 两边求时间导数:

    $2H\frac{\dot{H}}{H_0^2}=\frac{(-3\Omega_{m_0}a^{-4}\dot{a}-4\Omega_{\gamma_0}a^{-5}\dot{a}-2\Omega_{\kappa_0}a^{-3}\dot{a})(1-\Omega_{\Lambda})+(\Omega_{m_0}a^{-3}+\Omega_{\gamma_0}a^{-4}+\Omega_{\kappa_0}a^{-2})\dot{\Omega}_{\Lambda}}{(1-\Omega_{\Lambda})^2}$
          $=-\frac{HE^2(\Omega_{m}+4\Omega_{\gamma}+2\Omega_{\kappa})}{1-\Omega_{\Lambda}}+\frac{E^2\dot{\Omega}_{\Lambda}}{1-\Omega_{\Lambda}}$

    $\frac{2H^2\dot{H}}{H_0^2H}=-\frac{HE^2\big(3(1-\Omega_{\Lambda})-\Omega_{\kappa}+\Omega_{\gamma}\big)}{1-\Omega_{\Lambda}}+\frac{E^2\dot{\Omega}_{\Lambda}}{1-\Omega_{\Lambda}}$

    $2\frac{\dot{H}}{H^2}=-3+\frac{\Omega_{\kappa}-\Omega_{\gamma}}{1-\Omega_{\Lambda}}+\frac{\dot{\Omega}_{\Lambda}}{(1-\Omega_{\Lambda})H}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(15)$

    (15)代入(13)得
    $\Big(-3+\frac{\Omega_{\kappa}-\Omega_{\gamma}}{1-\Omega_{\Lambda}}+\frac{\dot{\Omega}_{\Lambda}}{(1-\Omega_{\Lambda})H}\Big)\frac{c}{\sqrt{\Omega_{\Lambda}}}+\frac{2c}{\sqrt{\Omega_{\Lambda}}}-2=-c\;\Omega_{\Lambda}^{-3/2}\frac{\dot{\Omega}_{\Lambda}}{H}$

    $\frac{c\;\dot{\Omega}_{\Lambda}}{H\sqrt{\Omega_{\Lambda}}}\frac{1}{\Omega_{\Lambda}(1-\Omega_{\Lambda})}=2+\frac{c}{\sqrt{\Omega_{\Lambda}}}+\frac{(\Omega_{\gamma}-\Omega_{\kappa})\;c}{\sqrt{\Omega_{\Lambda}}(1-\Omega_{\Lambda})}$

    令 $\Omega'_{\Lambda}=2\Omega{\Lambda}(1-\Omega_{\Lambda})\Big(\frac{\sqrt{\Omega_{\Lambda}}}{c}+\frac{1}{2}+\frac{\Omega_{\gamma}-\Omega_{\kappa}}{2(1-\Omega_{\Lambda})}\Big)$

    $\Omega_{\kappa}=\Omega_{\kappa_0}a^{-2}/E^2$ $\Omega_{\gamma}=\Omega_{\gamma_0}a^{-4}/E^2$

    (16)代入(14)
    $\frac{E'}{E}=\Omega_{\Lambda}\Big(\frac{\sqrt{\Omega_{\Lambda}}}{c}+\frac{1}{2}+\frac{\Omega_{\gamma}-\Omega_{\kappa}}{2\Omega_{\Lambda}}\Big)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(17)$

    另一种方法,从Fridmann方程出发有
    $\dot{\rho}_{\Lambda}+3H(\rho_{\Lambda}+p_{\Lambda})=0$
    $\dot{\rho}_m+3H\rho_m=0$
    $\dot{\rho}_{\gamma}+4H\rho_{\gamma}=0$
    $\dot{\rho}_{\kappa}+2H\rho_{\kappa}=0$

    加起来:
    $\dot{\rho}_c+3H\rho_c+H\rho_{\gamma}-H\rho_{\kappa}+3Hp_{\Lambda}=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(18)$

    其中临界密度 $\rho_c=\rho_{\Lambda}+\rho_m+\rho_{\gamma}+\rho_{\kappa}=3M_P^2H^2 $

    $\dot{\rho}_c=6M_P^2H\dot{H}=2\rho_c\frac{\dot{H}}{H}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(19)$

    将(19)代入(18)
    $2\rho_c\frac{\dot{H}}{H^2}+3\rho_c+\rho_{\gamma}-\rho_{\kappa}+3p_{\Lambda}=0$

    上式再代入 $\dot{\rho}_{\Lambda}+3H(\rho_{\Lambda}+p_{\Lambda})=0$
    消去$p_{\Lambda}$得到
    $\dot{\rho}_{\Lambda}+3H\rho_{\Lambda}-2\rho_c\frac{\dot{H}}{H}-3H\rho_c-H\rho_{\gamma}+H\rho_{\kappa}=0$

    $\rho_{\Lambda}=3c^2M_P^2L^{-2}$

    $\dot{\rho}_{\Lambda}=3c^2M_P^2(-2)L^{-2}\frac{\dot{L}}{L}=-2\rho_{\Lambda}\frac{\dot{L}}{L}$

    (10)、(12)代入上式
    $\dot{\rho}_{\Lambda}=-2\rho_{\Lambda}\big(1+\frac{H\sqrt{\Omega_{\Lambda}}}{c}\big)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(21)$

    (21)代入(20)
    $-2\rho_{\Lambda}H\big(1-\frac{\sqrt{\Omega_{\Lambda}}}{c}\big)+3H\rho_{\Lambda}-2\rho_c\frac{\dot{H}}{H}-3H\rho_c-H\rho_{\gamma}+H\rho_{\kappa}=0$
    两边除以 $H\rho_c$
    $-2\rho_{\Lambda}H\big(1-\frac{\sqrt{\Omega_{\Lambda}}}{c}\big)+3H\Omega_{\Lambda}-2\frac{\dot{H}}{H}-3-\Omega_{\gamma}+\Omega_{\kappa}=0$

    故得到
    $\frac{\dot{H}}{H^2}=\frac{\Omega_{\Lambda}}{c}\sqrt{\Omega_{\Lambda}}+\frac{\Omega_{\Lambda}}{2}+\frac{\Omega_{\kappa}-\Omega_{\gamma}-3}{2}$

    $\frac{E'}{E}=\Omega_{\Lambda}\big(\frac{\sqrt{\Omega_{\Lambda}}}{c}+\frac{1}{2}+\frac{\Omega_{\kappa}-\Omega_{\gamma}-3}{2\Omega_{\Lambda}}\big)$

    (21)代入 $\dot{\rho}_{\Lambda}+3H\rho_{\Lambda}(1+w)=0$ 从而得到

    $w=-\frac{1}{3}\big(1+\frac{2\sqrt{\Omega_{\Lambda}}}{c}\big)$

    (to be continued)

 

后才能发言