一道实分析题

  1. 3月前
    3月前萌滚滚嗷呜熊 重新编辑

    $$
    f_t:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ t \in \mathbb{R}
    $$
    是一族可积函数使得函数
    $$
    g_x:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ g_x(t):=f_t(x)
    $$
    对于任一个 $x\in\mathbb{R}$ 连续。

    如果存在一个可积函数 $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 使得对任一 $t\in\mathbb{R}$ 有 $|f_t|<g$。证明函数
    $$
    h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ h(t):=\int \! f_t\,\text{d}m
    $$
    是连续的,并给出一个例子 $f_t$ 使得 $h$ 不连续如果不存在上述函数 $g$ 。

  2. 2月前DTSIo 重新编辑

    用控制收敛定理就可以了: 如果序列$t_n\to t$, 那么$f_{t_n}(x)\to f_t(x)$逐点成立, 按照控制收敛定理, 得到$$\int_{\mathbb{R}}f_{t_n}(x)dx\to\int_{\mathbb{R}}f_{t}(x)dx.$$
    这就表示$t\to\int_{\mathbb{R}}f_{t}(x)dx$连续.

          反例很容易构造: 命$$f_t(x)=e^{-t^2|x|}|\sin (t^2x) |$$即可. 当$t=0$的时候$f_0(x)=0$, 而当$t\neq0$时$f_t$的积分等于$c/t^2$, $c$是常数.

 

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