博资考用调和分析笔记: 奇异积分算子

  1. 3月前
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          这则笔记为准备我的博士生资格考试而作, 内容是奇异积分算子的经典理论. 如果以后要讲调和分析导引类的课程, 也可能会用得上. 发到这里一来可以存档, 二来可以共享.

          主要参考文献:
          [Gra1] Grafakos L., Classical Fourier Analysis.
          [Gra2] Grafakos L., Modern Fourier Analysis.

          设$K(x,y)$是$\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\setminus\text{Diag}$上的可测函数.

    1. 奇异积分算子的范数

          定理 1.1. 设$T:L^r(\mathbb{R}^n)\to L^r(\mathbb{R}^n),\,1<r\leq\infty$是有界线性算子, 其范数为$A$, 而当$f\in L^r(\mathbb{R}^n)$具有紧支集时, 有表示$$
    Tf(x)=\int_{\mathbb{R}^n}K(x,y)f(y)dy,\quad x\notin\text{supp}f,
    $$其中积分核适合 Hörmander 条件:$$
    \int_{|x-y|\geq2|y-y'|}|K(x,y)-K(x,y')|dx\leq C_1,\,\int_{|y-x|\geq2|x-x'|}|K(x,y)-K(x',y)|dy\leq C_2.
    $$则$T$可延拓为$L^p(\mathbb{R}^n)(1\leq p<\infty)$上的弱(1,1)/强$(p,p)$型算子.

          本笔记中将$K(x,y)$称为$T$的积分核. 在更广义的视角下, 算子$T:\mathfrak{D}(\mathbb{R}^n)\to\mathfrak{D}'(\mathbb{R}^n)$的积分核正是其 Schwartz 核在对角线外的限制. 于是, 很明显地, 这类算子与其积分核并不能形成一一对应, 例如按照上面的定义, 恒同算子的积分核是 0. 不过容易验证的是, 具有相同积分核的两个算子相差的是一个逐点乘子$f\to af$, $a\in L^\infty$: 实际上, 如果某个这类算子$T$的积分核是零, 那么在它的作用下, 紧支集$L^r$函数的支集不会扩张, 于是它可以限制为$L^r(Q)$到自己的有界线性算子, 其中$Q$是任何单位方体; 这样一来, 它也就成为了$L^1(Q)$到自己的有界线性算子, 从而$f\to \int_QTf$是$L^1(Q)$上的有界线性泛函, 于是存在$a\in L^\infty(Q)$使得$\int_Q Tf=\int_Q af$对任何$f\in L^1(Q)$都成立, 或$Tf=af$, 而$\|a\|_{L^\infty}\leq A$ 命$Q$跑遍所有单位方体即见$a$在全空间上都有界.

          又可以注意到伴随算子$T^*$的积分核是$K(y,x)$. 实际上, 设$g\in L^{r'}$具有紧支集$G$, 则对于紧支撑于$F\Subset\mathbb{R}^n\setminus G$中的$f\in L^r$, 有$$
    \begin{aligned}
    \langle T^*g,f\rangle&=\langle g,Tf\rangle=\int_{F}g(x)Tf(x)dx+\int_{\mathbb{R}^n\setminus F}g(x)Tf(x)dx\\
    &=\int_{\mathbb{R}^n}g(x)dx\int_{\mathbb{R}^n}K(x,y)f(y)dy\\
    &=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)dx\int_{\mathbb{R}^n}K(y,x)g(y)dy.
    \end{aligned}
    $$于是对于$x\notin\text{supp}g$, 成立积分表示$Tg(x)=\int_{\mathbb{R}^n}K(y,x)g(y)dy$.

          定理 1.1. 的证明. 根据 Marcinkiewicz 插值定理并利用对偶 (这就是为什么 Hörmander 条件需要两个不等式), 只需要证明弱(1,1)型不等式就够了. 固定$\lambda>0$, 并对$f\in C_0^\infty(\mathbb{R}^n)$作高度$\lambda$的 Calderón-Zygmund 分解. 这样, 存在一族不交的二进方体$\{Q_i\}_{i\in\mathbb{N}}$, 使得$$
    \lambda\leq\frac{1}{|Q_i|}\int_{Q_i}|f|\leq2^n\lambda.
    $$写$f=g+\sum_ib_i=g+b$, 这里$g\in L^\infty$, 在$\mathbb{R}^n\setminus\cup_iQ_i$上有$|g|\leq\lambda$, 在每个$Q_i$上$g=\frac{1}{|Q_i|}\int_{Q_i}f$, 而每个$b_i=(f-\frac{1}{|Q_i|}\int_{Q_i}f)\chi_{Q_i}$支撑于$Q_i$内且具有零均值, 且有$\|b\|_{L^1}=\sum_i\|b_i\|_{L^1}\leq2\|f\|_{L^1}$.

         先考虑$r<\infty$. 命$c_i$为$Q_i$的中心, $Q_i^*$是与$Q_i$同心的放大$2\sqrt{n}$倍的方体. 易见$$
    |\{x:|Tf(x)|\geq\lambda\}|\leq|\{x:|Tg(x)|\geq\lambda/2\}|+|\{x:|Tb(x)|\geq\lambda/2\}|.
    $$容易算出$$
    \begin{aligned}
    |\{x:|Tg(x)|\geq\lambda/2\}|&\leq\frac{4}{\lambda^2}\|Tg\|^r_{L^r}\leq\frac{2^rA^r}{\lambda^r}\|g\|^r_{L^r}\\
    &\leq\frac{2^rA^r}{\lambda^r}\|g\|^{r-1}_{L^\infty}\|g\|_{L^{1}}\leq\frac{2^{nr}A^r}{\lambda}\|f\|_{L^1},
    \end{aligned}
    $$而$$
    \begin{aligned}
    |\{x:|Tb(x)|\geq\lambda/2\}|&\leq |\{x\in\cup_i Q_i^* \}|+|\{x\notin\cup_i Q^*_i,|Tb(x)|\geq\lambda/2\}|\\
    &\leq \frac{(2\sqrt{n})^n}{\lambda}\|f\|_{L^1}+\frac{2}{\lambda}\sum_i\int_{\mathbb{R}^n\setminus Q_i^*}|Tb_i(x)|dx.
    \end{aligned}\tag{1}
    $$来估计$\int_{\mathbb{R}^n\setminus Q_i^*}|Tb_i(x)|dx$. 由于$x$不在$b_i$的支集内, 而且$b_i$均值为零, 所以$$
    Tb_i(x)=\int_{Q_i}[K(x,y)-K(x,c_i)]b_i(y)dy,
    $$于是根据Hörmander条件得到$$
    \int_{\mathbb{R}^n\setminus Q_i^*}|Tb_i(x)|dx\leq\int_{\mathbb{R}^n\setminus Q_i^*}dx\int_{Q_i}|K(x,y)-K(x,c_i)|\cdot|b_i(y)|dy \leq C_1\|b_i\|_{L^1}.
    $$对$i$求和并带回 (1) 式即得弱(1,1)型不等式. 为将算子$T$延拓至$L^p$上, 只需要用紧支函数来逼近就可以了.

          最后, 在$r=\infty$的情形, 可以作出明显的修正: 改为考虑$f$的高度在$(2^{n+1}A)^{-1}\lambda$的 Calderón-Zygmund 分解$f=g+b$; 则$$
    |\{x:|Tf(x)|\geq(2^{n+1}A)^{-1}\lambda\}|\leq|\{x:|Tb(x)|\geq\lambda/2\}|.
    $$后面的计算完全一样. Q. E. D.

          特别值得关注的是$r=2$的特殊情形. 何种奇异积分算子是从$L^2$到自身的有界算子? $T(1)$定理给出了标准核 (standard kernel) 情况下的充分必要条件. 不过, 如果积分核是$K(x-y)$(从而算子是卷积算子)的形式, 那么有一个简单的充分条件:

          定理 1.2. 如果函数$K$满足如下三个条件:$$
    \int_{|x|\leq r}|x|\cdot|K(x)|dx<C_1r,$$ $$
    \sup_{0<r<R<\infty}\left|\int_{r<|x|<R}K(x)dx\right|<C_2,$$ $$
    \int_{|x-y|\geq2|y|}|K(x-y)-K(x)|dx<C_3,
    $$则对于任何$0<\epsilon<N$, 都有$|(K\chi_{\epsilon<|x|<N})^\wedge(\xi)|\leq 3(C_1+C_2+C_3)$. 以上三个条件分别被称作增长性条件, 抵消条件和 Hörmander 条件.

          证明是直接的计算. 命$K_{\epsilon,R}=K\chi_{\epsilon<|x|<N}$. 先考虑$\epsilon<|\xi|^{-1}<N$: $$
    \hat{K}_{\epsilon,N}(\xi)=\int_{\epsilon<|x|<N}K(x)e^{-ix\xi}dx=\int_{\epsilon<|x|<|\xi|^{-1}}+\int_{|\xi|^{-1}<|x|<N}=I_1+I_2.
    $$容易算出$$
    I_1=\int_{\epsilon<|x|<|\xi|^{-1}}K(x)dx+\int_{\epsilon<|x|<|\xi|^{-1}}K(x)(e^{-ix\xi}-1)dx.
    $$根据抵消条件和增长性条件得到$|I_1|\leq C_1+C_2$. 而对于$I_2$, 命$z=\pi\xi/|\xi|^2$, 于是$e^{iz\xi}=-1$, 而$$
    2I_2=\int_{|\xi|^{-1}<|x|<N}K(x)e^{-ix\xi}dx-\int_{|\xi|^{-1}<|x-z|<N}K(x-z)e^{-ix\xi}dx.
    $$这样一来, 容易算出$2|I_2|\leq C_3+2C_1$. 最后, 如果$|\xi|^{-1}\geq N>\epsilon$, 则可以沿用对$I_1$的估计, 而如果$|\xi|^{-1}\leq\epsilon<N$, 则可以沿用对$I_2$的估计. Q. E. D.

          最后, 有如下定理:

          定理 1.3. 设算子$T$满足定理 1.1. 的条件. 则$T$将$H^1$连续地映射至$L^1$, 将$L^\infty$连续地映射至$BMO$.

          证明. 对于前一个结论, 只需要对每一个$H^1$的原子$a$来证明就可以了, 因为每个$f\in H^1$都可以写成$f=\sum_i\lambda_ia_i$, 而$\|f\|_{H^1}\simeq\sum_i|\lambda_i|$. 现在设$a$是$H^1$的原子, 即存在一个方体$Q$使得$a$支撑于$Q$内, $a$具有零均值, 且$\|a\|_{L^\infty}\leq|Q|^{-1}$. 同样设$Q$的中心为$c$, 并令$Q^*$为与$Q$同心的放大$2\sqrt{n}$倍的方体. 易见$$
    \int_{\mathbb{R}^n}|Ta(x)|dx=\int_{Q^*}+\int_{\mathbb{R}^n\setminus Q^*}.
    $$第一个积分的估值为$$
    \int_{Q^*}\leq|Q^*|^{1/2}\left(\int_{Q^*}|Ta|^2\right)^{1/2}\leq A|Q^*|^{1/2}\left(\int_{Q^*}|a|^2\right)^{1/2}\leq C_nA.
    $$对于第二个积分, 由于$x\notin\text{supp}a$且$a$具有零均值, 故仿照定理 1.1. 可见$$
    \int_{\mathbb{R}^n\setminus Q^*}\leq \int_{\mathbb{R}^n\setminus Q^*}|Tb_i(x)|dx\leq\int_{\mathbb{R}^n\setminus Q^*}dx\int_{Q_i}|K(x,y)-K(x,c)|\cdot|a(y)|dy \leq C_1.
    $$又, 设$f=\sum_{i=1}^\infty\lambda_ia_i\in H^1$. 对于$\lambda>0$, 可见$$
    \begin{aligned}
    m&\left\{\left|Tf-{\sum_i}\lambda_iTa_i\right|\geq\lambda\right\}\\
    &\leq m\left\{\left|Tf-{\sum_{i\leq N}}\lambda_iTa_i\right|\geq\lambda/2\right\}
    +m\left\{\left|\sum_{i> N}\lambda_iTa_i\right|\geq\lambda/2\right\}\\
    &\leq\frac{2}{\lambda}\|T\|_{L^1\to L^{1,\infty}}\|f-{\sum_{i\leq N}}\lambda_ia_i\|_{L^1}
    +\frac{2}{\lambda} \|{\sum_{i>N}}\lambda_iTa_i\|_{L^1}\\
    &\leq\frac{2}{\lambda}\|T\|_{L^1\to L^{1,\infty}}\|f-{\sum_{i\leq N}\lambda_ia_i}\|_{L^1}
    +\frac{2(C_nA+C_1)}{\lambda} {\sum_{i>N}}|\lambda_i|.
    \end{aligned}
    $$令$N\to\infty$即得$|\{|T(f)-\sum_i\lambda_iTa_i|\geq\lambda\}|=0$. 于是几乎处处有$Tf=\sum_{i}\lambda_iTa_i$. 注意$\text{id}$也符合定理的条件 (积分核是 0), 所以几乎处处有$f=\sum_{i}\lambda_ia_i$.

          对于后一个结论, 首先要明确$Tf$的含义. 设$f\in L^\infty$. 对于任何一个中心在原点的方体$Q$, 命$$
    T_Qf(x):=T(f\chi_{Q^*})(x)+\int_{\mathbb{R}^n\setminus Q^*}[K(x,y)-K(0,y)]f(1-\chi_{Q^*})(y)dy.
    $$根据 Hörmander 条件可见后一积分收敛. 如果$Q'$是包含$Q$的中心在原点的方体, 则$T_Qf$同$T_{Q'}f$在$Q$上只差一常数. 从而上面的式子定义了$BMO$的一个元素.

          现在设$Q$是任意一个方体, 并作分解$f=f\chi_{Q^*}+(1-\chi_{Q^*})f=f_1+f_2$. 命$a=Tf_2(c_Q)$. 则$$
    \begin{aligned}
    \frac{1}{|Q|}\int_Q|Tf-a|&\leq\frac{1}{|Q|}\int_Q|Tf_1(x)|+\frac{1}{|Q|}\int_Q|Tf_2(x)-Tf_2(c_Q)|\\
    &\leq \frac{1}{|Q|^{1/r}}\|Tf_1\|_{L^r}+\frac{1}{|Q|}\int_Qdx\int_{\mathbb{R}^n\setminus Q^*}|K(x,y)-K(c_Q,y)|\cdot|f(y)|dy\\
    &\leq \frac{1}{|Q|^{1/r}}A\|f_1\|_{L^r}+C_2\|f_2\|_{L^\infty}\\
    &\leq(A+C_2)\|f\|_{L^\infty}.
    \end{aligned}
    $$于是$[|Tf|]_{BMO}\leq 2(A+C_2)\|f\|_{L^\infty}$. Q. E. D.

  2. 2月前DTSIo 重新编辑

    2. 具有标准核的极大算子

          设$K(x,y)$是$\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\setminus\text{Diag}$上的可测函数. 设有常数$C>0$和适合 Dini 条件$\int_0^1\omega(t)dt/t\leq C$的非减函数$\omega$使得
    $$K(x,y)\leq\frac{C}{|x-y|^n},$$
    当$|x-y|\geq2|x-x'|,|x-y|\geq2|y-y'|$时有$$|K(x,y)-K(x',y)|\leq\frac{\omega(|x-x'|/|x-y|)}{|x-y|^{n}},$$ $$|K(x,y)-K(x,y')|\leq\frac{\omega(|y-y'|/|x-y|)}{|x-y|^{n}};$$ 将满足这一条件的函数类姑且记作$\text{DK}(C,\omega)$. 在一般的文献中, 都取$\omega(t)=Ct^\delta$ ($0<\delta\leq1$), 并称这样的积分核为标准核 (standard kernel); 标准核的类记作$\text{SK}(C,\delta)$.

          本笔记采取如下定义: 一个有界线性算子$T:L^2(\mathbb{R}^n)\to L^2(\mathbb{R}^n)$叫做一个 (广义) Calderón-Zygmund 算子 (Calderón-Zygmund operator), 如果其 Schwartz 核在对角线外的限制 (即积分核) 是$\text{DK}(C,\omega)$类的函数. 换句话说, 有一$\text{DK}(C,\omega)$类积分核$K$使得当$f\in L^2(\mathbb{R}^n)$具有紧支集时, 有表示
    $$Tf(x)=\int_{\mathbb{R}^n}K(x,y)f(y)dy,\quad x\notin\text{supp}f,$$
    相应于$\omega$的 Calderón-Zygmund 算子的类记作$\text{DCZ}(C,\omega)$. 在一般的文献中, Calderón-Zygmund 算子的定义限于其积分核是标准核的情形, 此时这样的算子类记作$\text{CZ}(C,\delta)$.

          易见 Calderón-Zygmund 算子的积分核满足 Hörmander 条件:
    $$
    \begin{aligned}
    \int_{|y-x|>2|x-x'|}|K(x,y)-K(x',y)|dy&\leq\int_{|y-x|>2|x-x'|}\frac{\omega(|x-x'|/|x-y|)}{|x-y|^{n}}dy\\
    &=|S^{n-1}|\int_{2|x-x'|}^\infty\frac{\omega(|x-x'|/r)}{r}dr\\
    &=|S^{n-1}|\int_{0}^{1/2}\frac{\omega(t)}{t}dt.
    \end{aligned}
    $$
     于是根据定理 1.1., Calderón-Zygmund 算子是弱 (1,1) 和强$(p,p)$型的.

          与第 1 节的一般情形一样, Calderón-Zygmund 算子与其积分核并不能形成一一对应, 例如按照上面的定义, 恒同算子的积分核是 0. 不过与前面相同的是, 具有相同积分核的两个 Calderón-Zygmund 算子相差的是一个逐点乘子$f\to af$, $a\in L^\infty$.

          在 Schwartz 函数类上, 定义$T\in\text{DCZ}(C,\omega)$的截断算子 (truncated operator)$T_\epsilon$和极大算子 (maximal operator) $T^*$分别为$$T_\epsilon f(x)=\int_{|x-y|>\epsilon}K(x,y)f(y)dy,$$ $$T^*f(x)=\sup_{\epsilon>0}|T_\epsilon f(x)|.$$
    由于积分核在对角线附近的的奇异性不超过$O(|x-y|^{-n})$, 所以$T$的截断算子和极大算子对 Schwartz 函数类是良定义的. 然而却不一定有$Tf=\lim_{\epsilon\to0}T_\epsilon f$; 实际上, 这个极限很可能根本不存在, 或者存在而不等于$Tf$. 一个经典的例子是$Tf=(|\xi|^{i\tau}\hat{f}(\xi))^\vee$, 与其相应的积分核是$|x-y|^{-n-i\tau}$; 另外, 一般地, 积分核也仅仅能确定算子到相差一个逐点乘子的程度. 不过, 下面的定理总是成立的.

          定理 2.1. 给定$r\in(0,1]$, $T\in\text{DCZ}(C,\omega)$的极大算子适合下面的 Cotlar 不等式:
    $$T^*f(x)\leq C_r[M(|Tf|^{r})(x)^{1/r}+Mf(x)].$$
    作为推论, $T$的极大算子是强$(p,p)$和弱 (1,1) 型的.

          证明. 只需要对$x=0$, $0<\epsilon<1$来验证, 因为对于$\epsilon>1$, 积分可以被次数为$n-1$的 Riesz 势所控制. 设$f$为一 Schwartz 函数. 取$B=B(0,\epsilon/2)$, $B'=B(0,\epsilon)$. 作分解$f=f\chi_{B'}+f(1-\chi_{B'})=f_1+f_2$. 则对于$z\in B$, 由于$z\notin\text{supp}f_2$, 故$Tf_2(z)=T_\epsilon f_2(z)$, 于是可作出估计
    $$
    \begin{aligned}
    |T_\epsilon f_2(z)-&T_\epsilon f_2(0)|=|Tf_2(z)-Tf_2(0)|\\
    &\leq\int_{|y|>\epsilon}|K(z,y)-K(0,y)|\cdot|f(y)|dy\\
    &\leq C\int_{|y|>\epsilon}\frac{\omega(|z|/|y|)}{|y|^n}|f(y)|dy\\
    &\leq C\sum_{k\geq0}\omega(2^{-k}\epsilon)\int_{2^k\epsilon<|y|\leq 2^{k+1}\epsilon}\frac{|f(y)|}{|y|^n}dy\\
    &\leq C\sum_{k\geq0}\frac{\omega(2^{-k}\epsilon)}{(2^{k}\epsilon)^n}\int_{|y|\leq 2^{k+1}\epsilon}|f(y)|dy\\
    &\leq CMf(0)\sum_{k\geq0}\frac{\omega(2^{-k}\epsilon)}{2^{-k}\epsilon}\cdot(2^{-k}\epsilon-2^{-(k+1)}\epsilon)\\
    &\leq CMf(0)\int_0^\epsilon\frac{\omega(t)}{t}dt\leq CMf(0).
    \end{aligned}
    $$
    于是
    $$|T_\epsilon f(0)|=|T_\epsilon f_2(0)-Tf_2(z)+Tf_2(z)|\leq CMf(0)+|Tf(z)|+|Tf_1(z)|.\tag{2}$$
    如果$|T_\epsilon f(0)|=0$则没有什么需要证明的; 反之, 则固定一个$0<\lambda<|T_\epsilon f(0)|$, 并命$E=\{z\in B:|Tf(z)|>\lambda/3\}$, $F=\{z\in B:|Tf_1(z)|>\lambda/3\}$; 若$CMf(0)\leq\lambda/3$则命$G=\varnothing$, 若$C Mf(0)>\lambda/3$则命$G=B$. 于是$B=E\cup F\cup G$. 而
    $$|E|\leq\frac{3}{\lambda}\int_B|Tf(x)|dx\leq\frac{3|B|}{\lambda}M(Tf)(0);$$
    根据弱 (1,1) 性质又得
    $$|F|\leq\frac{3\|T\|_{L^1\to L^{1,\infty}}}{\lambda}\|f_1\|_{L^1}\leq\frac{3C_n\|T\|_{L^1\to L^{1,\infty}}|B|}{\lambda}Mf(0).$$
    如果$G=\varnothing$, 则
    $$|B|\leq|E|+|F|\leq \frac{C|B|}{\lambda}(M(Tf)(0)+Mf(0))$$
    或$\lambda\leq C(M(Tf)(0)+Mf(0))$. 如果$G=B$, 则按照定义便有$\lambda<3CMf(0)$. 于是不论如何都有$\lambda<C(M(Tf)(0)+Mf(0))$. 令$\lambda\to|T_\epsilon f(0)|$即得$r=1$的 Cotlar 不等式.

          现在设$0<r<1$. 将 (2) 式取$r$次方得$|T_\epsilon f(0)|^r\leq C Mf(0)^r+|Tf(z)|^r+|Tf_1(z)|^r$. 对$z\in B$积分, 取平均并取$1/r$次方得
    $$|T_\epsilon f(0)|\leq C Mf(0)+M(|Tf|^r)(0)^{1/r}+\frac{1}{|B|^{1/r}}\left(\int_B|Tf_1(z)|^rdz\right)^{1/r}.$$
    由于$T$是弱 (1,1) 型的, 故
    $$
    \begin{aligned}
    \int_B|Tf_1(z)|^rdz&=r\int_0^\infty\lambda^{r-1}|\{z\in B: |Tf_1(z)|>\lambda\}|d\lambda\\
    &\leq r\int_0^\infty\lambda^{r-1}\min\left(|B|,\lambda^{-1}\|T\|_{L^1\to L^{1,\infty}}\|f_1\|_{L^1}\right)d\lambda\\
    &\leq C_r|B|^{1-r}\|f_1\|^r_{L^1}\leq C|B|Mf(0)^r.
    \end{aligned}
    $$
    于是最终得到 Cotlar 不等式$|T_\epsilon f(0)|\leq C[M(|Tf|^r)(0)^{1/r}+Mf(0)]$.

          最后来处理极大算子的范数. 先令$r=1$; 由于 Calderón-Zygmund 算子和 Hardy-Littlewood 极大函数是强$(p,p)$型的, 所以$T^*$也是强$(p,p)$型的. 再令$r<1$; 在证明 Hardy-Littlewood 极大函数的弱 (1,1) 型不等式时, 容易看出, 对于$p>1$, 总有
    $$\lambda|\{Mf>\lambda\}|^{1/p}\leq C|\{Mf>\lambda\}|^{-1+1/p}\int_{\{Mf>\lambda\}}|f|.$$
    由于$$f\to\sup_{|E|<\infty}|E|^{-1+1/p}\int_E|f|$$将$L^{p,\infty}$赋范, 故可见 Hardy-Littlewood 极大算子将$L^{p,\infty}$连续地映射$L^{p,\infty}$. 由此, 取$p=1/r$, 再根据$T$是弱 (1,1,) 型的, 即可见$M(|Tf|^{1/r})\in L^{1/r,\infty}$, 或$M(|Tf|^{1/r})^r\in L^{1,\infty}$. 由此得到$T^*$也是弱 (1,1) 型的. Q. E. D.

          据此, 可见$\{T_\epsilon\}_{\epsilon>0}$是$L^1\to L^{1,\infty}$, $L^p\to L^p$等度连续的. 如果对于子序列$\epsilon_i\downarrow 0$, 极限
    $$\lim_{i}T_{\epsilon_i}f=\lim_{i}\int_{|x-y|>\epsilon_i}K(x,y)f(y)dy$$
    对于$f\in C_c^\infty$都存在, 则对于$f\in L^p$, $1\leq p<\infty$, $\lim_iT_{\epsilon_i}f(x)$几乎处处存在, 且在$L^p(p>1)$或$L^{1,\infty}(p=1)$的意义下收敛. 因此, 截断算子$T_\epsilon$可以将 Calderón-Zygmund 算子确定到相差一个逐点乘子的地步. 如果对于$f\in C_c^\infty$, 总有$$\lim_{\epsilon\to0}T_\epsilon f=Tf,$$则称$T$为 Calderón-Zygmund 奇异积分算子 (Calderón-Zygmund singular integral operator); 这时$T_\epsilon f\to Tf$在几乎处处和$L^p(p>1)$或$L^{1,\infty}(p=1)$的意义下成立.

          Calderón-Zygmund 奇异积分算子的典型例子包括 Hilbert 变换
    $$Hf(x):=\text{V. P.}\int_{-\infty}^\infty\frac{f(x)}{y-x}dy=(i\text{sgn}(\xi)\hat{f}(\xi))^\vee(x),$$
    Riesz 变换 (它的第$j$分量记作$R_jf$)
    $$Rf(x):=\text{V. P.}\int_{\mathbb{R}^n}\frac{(y-x)f(x)}{|y-x|^{n+1}}dy=(i\xi|\xi|^{-1}\hat{f}(\xi))^\vee(x),$$
    和 Cauchy 积分的主值等等 (当然, Cauchy 积分主值的相关定理是高度不平凡的). 由于这些积分主值在 Schwartz 函数类上都是良好定义的, 所以上面的所有估计以及收敛性定理对它们都成立. Riesz 变换经过复合即变为位势积分算子的二阶导数; 这可以用来研究 Laplace 方程. Cauchy 积分的主值可以用来研究全纯函数的边值问题.

  3. 2月前DTSIo 重新编辑

    3. 齐次奇异积分 (1): 较好正则性的积分核

          齐次奇异积分是最早被研究的奇异积分, Hilbert 变换与 Riesz 变换都属此类. 它可以被直接用来研究常系数椭圆微分算子的 Green 函数.

          设$\Omega$是球面$S^{n-1}$上的可积函数, 均值为零. 在这一节中, 用$x':=x/|x|$来代表变量$x\in\mathbb{R}^n$的齐次化. 定义$n$次齐次函数$K_\Omega(x):=\Omega(x')|x|^{-n}$. 以此齐次函数为 Schwartz 核的 Schwartz 分布$W_\Omega$定义为
    $$\langle W_\Omega,f\rangle:=\lim_{\epsilon\to0}\int_{\epsilon<|x|<1/\epsilon}\frac{\Omega(x')}{|x|^n}f(x)dx.$$
    由于$\Omega$的均值为零, 所以显然有$$\langle W_\Omega,f\rangle=\lim_{\epsilon\to0}\int_{\epsilon<|x|\leq1}\frac{\Omega(x')}{|x|^n}[f(x)-f(0)]dx+\int_{|x|>1}\frac{\Omega(x')}{|x|^n}|f(x)|dx,$$由此可见$W_\Omega$的确是良好定义的 Schwartz 分布. 由此定义卷积型的截断奇异积分算子$T^{\epsilon,N}_\Omega$为$$T^{\epsilon,N}_\Omega f(x):=\int_{\epsilon<|y|<N}\frac{\Omega(y')}{|y|^n}f(x-y)dy.$$
    根据卷积的 Young 不等式可见有$\|T^{\epsilon,N}_\Omega f\|_{L^p}\leq\|\Omega\|_{L^1}\log(N/\epsilon)\|f\|_{L^p}$. 又对于 Schwartz 函数定义奇异积分算子$T_\Omega$为$$T_\Omega f(x):=\lim_{\epsilon\to0,N\to\infty} T^{\epsilon,N}_\Omega f(x).$$相应的极大算子则定义为$$T^{**}_\Omega f(x):=\sup_{\epsilon<N} |T^{\epsilon,N}_\Omega f(x)|.$$

          分布$W_\Omega$的 Fourier 变换可以通过直接的计算得出: $$\hat{W}_\Omega=\int_{S^{n-1}}\Omega(\theta)\left(\log\frac{1}{|\xi'\cdot\theta|}+\frac{\pi i}{2}\text{sgn}(\xi'\cdot\theta)\right)d\sigma(\theta).$$
          实际上, 按照定义, 在分布的意义下有$\lim_{\epsilon,N}[\chi_{\epsilon<|x|<N}\Omega(x')/|x|^n]^\wedge=\hat{W}_\Omega$, 而$$
    \begin{aligned}
    \int_{\epsilon<|x|<N}\frac{\Omega(x')}{|x|^n}e^{i\xi x}dx
    &=\int_{S^{n-1}}\left(\int_{\epsilon}^N\frac{e^{ir|\xi|\xi'\cdot\theta}}{r}\Omega(\theta)dr\right)d\sigma(\theta)\\
    &=\int_{S^{n-1}}\Omega(\theta)\left(\int_{\epsilon}^N\frac{e^{ir|\xi|\xi'\cdot\theta}-\cos r|\xi|}{r}dr\right)d\sigma(\theta).
    \end{aligned}
    $$内层对$r$的积分是 Froullani 型的, 取极限后它等于$\log\frac{1}{|\xi'\cdot\theta|}+\frac{\pi i}{2}\text{sgn}(\xi'\cdot\theta)$, 而根据控制收敛定理可见极限与积分次序可交换. 证明完成.
          
          对$\xi$积分并用 Fubini 定理, 可见积分$$\int_{S^{n-1}}\Omega(\theta)\log|\xi\cdot\theta|d\sigma(\theta)$$对几乎所有的$\xi$都是有限的. 于是, $T_\Omega$是$L^2(\mathbb{R}^n)$有界的, 当且仅当$$\sup_{\xi\in S^{n-1}}\left|\int_{S^{n-1}}\Omega(\theta)\log|\xi\cdot\theta|d\sigma(\theta)\right|<\infty.$$如果$\Omega$是奇函数, 那么这个积分总等于零. 这样, 如果$\Omega$是奇函数, 则算子$T_\Omega$就是$L^2(\mathbb{R}^n)$上的有界线性算子, 而且$\lim_{\epsilon,N}T^{\epsilon,N}_\Omega f= T_\Omega f$至少在$L^2(\mathbb{R}^n)$的意义下成立.

          如果$\Omega$有界而且适合 Dini 条件, 那么相应的积分核$K_\Omega\in\text{DK}(\omega(4t)+t)$, 其中$\omega$是$\Omega$的连续模: 若$|x-y|\geq2|y|$, 则$|x-y|\leq|x|/2$, $|(x-y)'-x'|\leq4|y|/|x|$, 于是
    $$
    \begin{aligned}
    \left|\frac{\Omega((x-y)')}{|x-y|^n}-\frac{\Omega(x')}{|x|^n}\right|&\leq\frac{|\Omega((x-y)')-\Omega(x')|}{|x-y|^n}+\sup|\Omega|\left|\frac{1}{|x-y|^n}-\frac{1}{|x|^n}\right|\\
    &\leq C\frac{\omega(4|y|/|x|)}{|x|^n}+C\frac{|y|}{|x|^{n+1}}.
    \end{aligned}
    $$这样一来, 就有如下定理:

          定理 3.1. 如果$\Omega$有界而且适合 Dini 条件, 那么算子$T_\Omega$是 Calderón-Zygmund 奇异积分算子, 前两节中所有的估计对它和它的极大算子都成立.

          进一步地, 如果$\Omega$无穷可微, 那么可以将$\Omega$按球谐函数作 Fourier 展开:$$\Omega(\theta)=\sum_{k\geq0}\sum_{Y_k\in\mathcal{H}_k}c_{k}Y_{k}(\theta),$$其中$\mathcal{H}_k$是相应于第$k$个特征值的球谐函数空间, $c_k=O_N(k^{-N})$. 熟知$\mathcal{H}_k$等同于$k$次齐次调和多项式空间在球面上的限制. 有如下引理:

          设$P_k$是$k$次齐次调和多项式. 则$$\left(\frac{P_k(x)}{|x|^{k+n}}\right)^\wedge(\xi)=\gamma_k\frac{P_k(\xi)}{|\xi|^k},\,\gamma_k=\frac{\Gamma(k/2)}{\Gamma((k+n)/2)}.$$

    于是, $$\hat{W}_\Omega(\xi)=\sum_{k\geq0}\sum_{Y_k\in\mathcal{H}_k}c_{k}\gamma_kY_{k}(\xi').$$由于$\gamma_k$的增长是多项式增长, 所以$\hat{W}_\Omega(\xi)$在除了原点之外的地方也是光滑的. 反过来, 通过类似的推理可见, 若有一除原点外光滑的零次齐次函数$m(\xi)$, 在单位球面上均值为$a$, 则分布$W_{m(\xi')}$的 Fourier 逆变换有形式$a\delta+W_\Omega$, 其中$\Omega$是单位球面上的零均值光滑函数. 于是, 有如下的对应定理:

          定理 3.2. 固定$1<p,\infty$. 对于单位球面上的零均值光滑函数$\Omega$和$a\in\mathbb{C}$, 定义$T_{a,\Omega}$为$$T_{a,\Omega}f(x)=af(x)+\text{V. P.}\int_{\mathbb{R}^n}\frac{\Omega(x')}{|x|^n}f(x-y)dy,\,f\in L^p.$$则$T_{a,\Omega}$的全体按照复合形成一算子代数, 且与零次齐次光滑$L^p$乘子代数之间按如下对应同构: $$T_{a,\Omega}\to a+\int_{S^{n-1}}\Omega(\theta)\left(\log\frac{1}{|\xi'\cdot\theta|}+\frac{\pi i}{2}\text{sgn}(\xi'\cdot\theta)\right)d\sigma(\theta).$$

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    4. 齐次奇异积分 (2): 一般的积分核

          如果限制奇异积分算子的积分核为齐次函数, 那么即便大大减弱其正则性条件, 也仍旧可以得到强$(p,p)$型不等式 (不过弱 (1,1) 不等式就要困难得多了). 这是所谓的旋转方法 (method of rotation).

          仍旧沿用上一节的所有记号. 由于任何球面上的函数都可以分解为其奇函数部分和偶函数部分的和, 所以可以只限于考虑积分核的奇偶性一定的情形. 如下的辅助命题会被重复用到:

          辅助命题. 固定$1<p<\infty$. 设 (不一定线性的) 算子$Q:L^p(\mathbb{R})\to L^p(\mathbb{R})$满足$\|Qf\|_{L^p}\leq A\|f\|_{L^p}$. 对于$x\in\mathbb{R}^n,\theta\in S^{n-1}$, 命$Q_\theta f(x)$为$Q$对函数$t\to f(x+t\theta)$的作用. 设$\Omega\in L^1(S^{n-1})$, 则由
    $$Tf(x):=\int_{S^{n-1}}\Omega(\theta)Q_\theta f(x)d\sigma(\theta)$$
    定义的算子$T$满足$\|Tf\|_{L^p}\leq A\|\Omega\|_{L^1}$.

          这只是直接的计算: 由 Hölder 不等式和 Fubini 定理有$$
    \begin{aligned}
    \int_{\mathbb{R}^n}&|Tf(x)|^pdx\leq \int_{\mathbb{R}^n}\left[\|\Omega\|_{L^1}^{p-1}\int_{S^{n-1}}|\Omega(\theta)|\cdot|Q_\theta f(x)|^pd\sigma(\theta)\right]dx\\
    &=\|\Omega\|_{L^1}^{p-1}\int_{S^{n-1}}|\Omega(\theta)|\left[\int_{\mathbb{R}^n}|Q_\theta f(x)|^pdx\right]d\sigma(\theta).
    \end{aligned}
    $$对每个固定的$\theta\in S^{n-1}$作沿$\theta$方向的正交分解$x\to \tau\theta+\bar x_\theta$, 在新坐标$(\tau,\bar x_\theta)$下有$$
    \begin{aligned}
    \int_{\mathbb{R}^n}&|Tf(x)|^pdx \\
    &\leq\|\Omega\|_{L^1}^{p-1}\int_{S^{n-1}}|\Omega(\theta)|\left[\int_{\mathbb{R}^{n-1}}\left(\int_\mathbb{R}|Q[f(\cdot\theta)](\tau\theta+\bar x_\theta)|^pd\tau\right) d\bar x_\theta\right]d\sigma(\theta)\\
    &\leq A^p\|\Omega\|_{L^1}^{p-1}\int_{S^{n-1}}|\Omega(\theta)|\left[\int_{\mathbb{R}^{n-1}}\left(\int_\mathbb{R}|f(\tau\theta+\bar x_\theta)|^pd\tau\right) d\bar x_\theta\right]d\sigma(\theta)\\
    &=A^p\|\Omega\|_{L^1}^{p}\int_{\mathbb{R}^n}|f(x)|^pdx.
    \end{aligned}
    $$

          奇积分核的情形.

          定理 4.1. 设$\Omega$是$S^{n-1}$上可积的奇函数. 则对于$1<p<\infty$, 极大奇异积分算子$T^{**}_\Omega$是强$(p,p)$型的; 特别地, 下面的极限关系式在几乎处处和$L^p(1<p<\infty)$的意义下成立:
    $$T_\Omega f(x)=\lim_{\epsilon\to0, N\to\infty}\int_{\epsilon<|y|<N}\frac{\Omega(y')}{|y|^n}f(x-y)dy,\,f\in L^p.$$

          证明. 由于$\Omega$是奇函数, 所以可算出
    $$
    \begin{aligned}
    T^{\epsilon,N}_\Omega f(x)&=\int_{\epsilon<|y|<N}\frac{\Omega(y')}{|y|^n}f(x-y)dy\\
    &=\int_{S^{n-1}}\Omega(\theta)\left(\int_{\epsilon}^N\frac{f(x-r\theta)}{r}dr\right)d\theta\\
    &=\frac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\Omega(\theta)\left(\int_{\epsilon<|r|<N}\frac{f(x-r\theta)}{r}dr\right)d\theta\\
    &=:\frac{1}{2}\int_{S^{n-1}}\Omega(\theta)H^{\epsilon,N}_\theta f(x)d\theta,
    \end{aligned}
    $$
    其中记号$H^{\epsilon,N}_\theta f(x)$表示沿方向$\theta$的截断 Hilbert 变换. 由此, $T^{**}_\Omega f(x)\leq\frac{1}{2}\int_{S^{n-1}}|\Omega(\theta)|H^{**}_\theta f(x)d\theta$. 应用辅助命题即得到结论. Q. E. D.

          偶积分核的情形.

          如果$\Omega$是偶函数, 情况就要复杂一些, 因为上面的推理中通过换元相消的来得到有向截断 Hilbert 变换的办法不再适用了. 但是借助 Riesz 变换, 却可以将这种情况转化为奇积分核的情况; 实际上, Riesz 变换的诸分量$R_j$显然都有奇积分核, 而又有显然的等式$-\text{id}=\sum_{j=1}^nR_j^2$, 于是$$
    T_\Omega=-\sum_{j=1}^nR_j(R_jT_\Omega).
    $$如果能说明$R_jT_\Omega$也是卷积型的奇异积分算子, 那么显然它的核$\Omega_j$应该是奇函数.

          问题在于, 齐次分布$\Omega_j(x')/|x|^n$的表达式中的$\Omega_j$未必是球面上的可积函数. 为了使之成为可积函数, 就需要$\Omega$满足更好的条件; $\Omega\in L\log L$即是一例. 有下列定理:

          定理 4.2. 设$\Omega$是球面上的零均值偶函数, 满足$$
    \int_{S^{n-1}}|\Omega(\theta)|\log(e+|\Omega(\theta)|)d\sigma(\theta)=A.
    $$则算子$R_jT_\Omega$是如下形式的齐次奇异积分算子:$$
    R_jT_\Omega(f)=\text{V.P.}\int_{\mathbb{R}^n}\frac{\Omega_j(y')}{|y|^n}f(x-y)dy,
    $$其中$\Omega_j$是球面上的奇函数, $\|\Omega_j\|_{L^1}\leq CA$. 作为推论, $T_\Omega$对于$1<p<\infty$是强$(p,p)$型的.

          定理 4.3. 在定理 4.2. 的条件下, 极大算子$T^{**}_\Omega$满足$$
    \begin{aligned}
    \|T^{**}_\Omega &f(x)\|\leq C\int_{S^{n-1}}|\Omega(\theta)|M_\theta f(x)d\sigma(\theta)+C\|\Omega\|_{L^1}M[R_jf](x)\\
    &+C\sum_{j=1}^n\int_{S^{n-1}}|G_j(\theta)|M_\theta[R_jf](x)d\sigma(\theta)
    +C\sum_{j=1}^nT_{\Omega_j}^{**}[R_jf](x).
    \end{aligned}
    $$这里$G_j$是零次齐次函数, 在球面上的$L^1$范数由$A$控制, 而$M_\theta$是沿$\theta$方向的一维 Hardy-Littlewood 极大函数. 特别地, $T^{**}_\Omega$对于$1<p<\infty$是强$(p,p)$型的. 于是对于$f\in L^p$, 下列极限关系式在几乎处处和$L^p$的意义下成立:$$
    T_\Omega f(x)=\lim_{\epsilon\to0,N\to\infty}\int_{\epsilon<|y|<N}\frac{\Omega(y')}{|y|^n}f(x-y)dy.
    $$

          这两个定理的证明都是冗长的计算. 如果只是想得到强$(p,p)$型不等式的话, Littlewood-Paley 理论可以提供一个更一般的解决方案.

          作为总结, 可以得到如下结论:

          定理 4.4. 设$\Omega$是单位球面上的零均值可积函数, 其偶函数部分属于$L\log L$类. 则对于$1<p<\infty$, 奇异积分算子$T_\Omega$和其极大算子$T^{**}_\Omega$都是强$(p,p)$型的.

  5. 2月前DTSIo 重新编辑

    5. 向量值奇异积分算子

          从这里开始, 设$\mathfrak{B}$是 Banach 空间. 熟知 Pettis 定理:

          对于$\sigma$-有限的测度空间$(X,\mathcal{A},\mu)$, 向量值函数$f:x\to\mathfrak{B}$是强可测的 (相对于$\mathfrak{B}$的 Borel 代数可测) 当且仅当, (1) 它是弱可测的, 即对于任何$b^*\in\mathfrak{B}^*$, 数值函数$x\to\langle b^*,f(x)\rangle$是可测的, (2) 它的值域是几乎可分的 (almost separably valued), 即存在一零测集$N\subset X$使得$f(X\setminus N)$是可分的.

          对于$1\leq p\leq\infty$和强可测函数$f:X\to\mathfrak{B}$, 命$$\|f\|_{L^p(X;\mathfrak{B})}:=\left(\int_{X}\|f(x)\|_{\mathfrak{B}}^pd\mu(x)\right)^{1/p},$$ $p=\infty$时的修正也是熟知的. 则$L^p(X;\mathfrak{B})$本身又成一 Banach 空间. 简单函数的子空间在其中是稠密的, 从而$L^p(X)\otimes\mathfrak{B}$在$L^p(X;\mathfrak{B})$中是稠密的. 另外, $L^{p,\infty}$也可以类似地定义, 其赋范性质和标量值情形是一样的. 有下列命题:

          设$\mathfrak{B}$是任何 Banach 空间, $(X,\mathcal{A},\mu)$是任何$\sigma$-有限的测度空间. 则对于$1\leq p\leq\infty$有$$\|f\|_{L^p(X;\mathfrak{B})}=\sup_{\|g\|_{L^{p'}(X;\mathfrak{B}^*)}\leq1}\left|\int_X\langle g(x),f(x)\rangle d\mu(x)\right|,$$而$L^{p}(X;\mathfrak{B})$由此等距嵌入$[L^{p'}(X;\mathfrak{B}^*)]^*$中. 如果$\mathfrak{B}$是自反的, 那么对于$1\leq p<\infty$, 向量值的 Riesz 表示定理$[L^{p}(X;\mathfrak{B})]^*=L^{p'}(X;\mathfrak{B}^*)$成立.

          现在设$\mathfrak{A},\mathfrak{B}$都是 Banach 空间. 设${K}(x,y)$是$\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\setminus\text{Diag}$到$\mathfrak{L}(\mathfrak{A},\mathfrak{B})$的强可测函数. 定理 1.1. 有一个直接的推广:

           定理 5.1. 设${T}:L^r(\mathbb{R}^n;\mathfrak{A})\to L^r(\mathbb{R}^n;\mathfrak{B}),\,1<r\leq\infty$是有界线性算子, 其范数为$A$, 而当$f\in L^2(\mathbb{R}^n;\mathfrak{A})$具有紧支集时, 有表示
    $$Tf(x)=\int_{\mathbb{R}^n}K(x,y)f(y)dy,\quad x\notin\text{supp}f,$$其中积分核适合 Hörmander 条件:$$
    \int_{|x-y|\geq2|y-y'|}\|K(x,y)-K(x,y')\|dx\leq C_1,$$ $$\int_{|y-x|\geq2|x-x'|}\|K(x,y)-K(x',y)\|dy\leq C_2.
    $$则对于$p\in(1,\infty)$, $T$可延拓为$L^p(\mathbb{R}^n;\mathfrak{A})$到$L^p(\mathbb{R}^n;\mathfrak{B})$的有界线性算子, 而且还可延拓为$L^{1}(\mathbb{R}^n;\mathfrak{A})$到$L^{1,\infty}(\mathbb{R}^n;\mathfrak{B})$的有界线性算子.

          证明. Marcinkiewicz 插值定理可以直接作出向量值推广 (只需在证明中将标量的绝对值换作向量范数即可). 于是为了证明$1<p\leq r$的不等式, 只需要证明弱 (1,1) 型不等式$$
    |\{x:\|Tf(x)\|_{\mathfrak{B}}>\lambda\}|\leq\frac{C}{\lambda}\|f\|_{L^1(\mathbb{R}^n;\mathfrak{A})}
    $$就够了. 为此可以完全仿照标量函数的情形; 注意到 Calderón-Zygmund 分解可以直接推广至向量值函数, 只需要将其中的标量绝对值换作向量范数. 如果$r=\infty$, 那么证明与标量值情形完全一样, 所以只需考虑$r<\infty$.

          为证明$p>r$的情形, 仍旧要使用对偶. 注意到算子伴随$*:\mathfrak{L}(\mathfrak{A},\mathfrak{B})\to\mathfrak{L}(\mathfrak{B}^*,\mathfrak{A}^*)$是等距嵌入, 所以 Hörmander 条件可改写为$$
    \int_{|x-y|\geq2|y-y'|}\|K(x,y)^*-K(x,y')^*\|dx\leq C_1,$$ $$\int_{|y-x|\geq2|x-x'|}\|K(x,y)^*-K(x',y)^*\|dy\leq C_2.$$
          先假定$\mathfrak{A}$是自反的. 这时$L^p(\mathbb{R}^n;\mathfrak{A})^*=L^{p'}(\mathbb{R}^n;\mathfrak{A}^*)$. 于是$T^*:[L^{r}(\mathbb{R}^n;\mathfrak{B})]^*\to L^{r'}(\mathbb{R}^n;\mathfrak{A}^*)$的范数是$A$. 仿照第一节可见算子伴随$T^*$限制在$L^{r'}(\mathbb{R}^n;\mathfrak{B}^*)$上具有积分核$K(y,x)^*\in\mathfrak{L}(\mathfrak{B}^*,\mathfrak{A}^*)$. 根据 Hörmander 条件, 可以重复定理 1.1. 的证明而得到$T^*$限制在$L^{r'}(\mathbb{R}^n;\mathfrak{B}^*)$上的弱 (1,1) 不等式, 即$$
    |\{x:\|T^*g(x)\|_{\mathfrak{A}^*}>\lambda\}|\leq\frac{C}{\lambda}\|g\|_{L^1(\mathbb{R}^n;\mathfrak{B}^*)}.
    $$插值即见$T^*$可延拓为$L^{p'}(\mathbb{R}^n;\mathfrak{B}^*)$到$L^{p'}(\mathbb{R}^n;\mathfrak{A}^*)$的连续线性算子, 其中$1<p'\leq r'$. 接下来, 对于$r<p<\infty$,
    $$
    \begin{aligned}
    \|Tf\|_{L^{p}(\mathbb{R}^n;\mathfrak{B})}&=\sup_{\|g\|_{L^{p'}(\mathbb{R}^n;\mathfrak{B}^*)}\leq1}\left|\int_{\mathbb{R}^n}\langle g(x),Tf(x)\rangle dx\right|\\
    &=\sup_{\|g\|_{L^{p'}(\mathbb{R}^n;\mathfrak{B}^*)}\leq1}\left|\int_{\mathbb{R}^n}\langle T^*g(x),f(x)\rangle dx\right|\\
    &\leq\sup_{\|g\|_{L^{p'}(\mathbb{R}^n;\mathfrak{B}^*)}\leq1}\|T^*g\|_{L^{p'}(\mathbb{R}^n;\mathfrak{A}^*)}\|f\|_{L^{p}(\mathbb{R}^n;\mathfrak{A})}\\
    &\leq\|T^*\|_{L^{p'}(\mathbb{R}^n;\mathfrak{B}^*)\to L^{p'}(\mathbb{R}^n;\mathfrak{A}^*)}\|f\|_{L^{p}(\mathbb{R}^n;\mathfrak{A})}.
    \end{aligned}
    $$
          如果$\mathfrak{A}$不是自反的, 则命$\{\mathfrak{A}_\alpha\}$是$\mathfrak{A}$的有限维子空间族, 并设$T_\alpha$是$T$在$L^r(\mathbb{R}^n;\mathfrak{A}_\alpha)$上的限制. $T_\alpha$的积分核满足所有的条件, 其界与$\alpha$无关. 重复上面的推理可见$T^*_\alpha$限制为$L^{p'}(\mathbb{R}^n;\mathfrak{B}^*)$到$L^{p'}(\mathbb{R}^n;\mathfrak{A}_\alpha^*)$的连续线性算子 ($1<p'\leq r$), 其范数与$\alpha$无关. 再重复上面的对偶推理即见$T_\alpha$可延拓为$L^{p}(\mathbb{R}^n;\mathfrak{A}_\alpha)$到$L^{p}(\mathbb{R}^n;\mathfrak{B})$ ($r\leq p<\infty$)的连续线性算子, 其范数与$\alpha$无关. 由此$T$延拓为$L^{p}(\mathbb{R}^n;\mathfrak{A})$到$L^{p}(\mathbb{R}^n;\mathfrak{B})$ ($r\leq p<\infty$)的连续线性算子, 因为$L^p(\mathbb{R}^n)\otimes\mathfrak{A}$在$L^{p}(\mathbb{R}^n;\mathfrak{A})$中稠密. Q. E. D.

          向量值不等式与向量值奇异积分算子有许多应用. 一个最简单的例子是下面的向量值部分和估计:

          定理 5.2. 对于边界平行于坐标轴的广义 (即不一定有界) 方体$I\subset\mathbb{R}^n$, 命$S_If:=(\chi_I\hat f)^\vee$. 设$(\Gamma,\mu)$是$\sigma$-有限的测度空间, $\{I_\gamma\}_{\gamma\in\Gamma}$是$\mathbb{R}^n$中边界平行于坐标轴的广义方体族. 设函数$(x,\gamma)\to f(x,\gamma)=f_\gamma(x)$属于$L^2(\mathbb{R}^n;L^2(\Gamma))$, 函数$(x,\gamma)\to [S_{I_\gamma}f_\gamma](x)$可测, 则对于$1<p<\infty$, 存在与族$\{I_\gamma\}_{\gamma\in\Gamma}$无关的常数$C_p$使得$$
    \left\|\left(\int_{\Gamma}|S_{I_\gamma}f_\gamma(x)|^2d\mu(\gamma)\right)^{1/2}\right\|_{L_x^p}
    \leq C\left\|\left(\int_{\Gamma}|f_\gamma(x)|^2d\mu(\gamma)\right)^{1/2}\right\|_{L_x^p}
    $$

          证明. 命$\mathcal{F}=\{I_\gamma\}_{\gamma\in\Gamma}$, $S_{\mathcal{F}}f(x,\gamma)=S_{I_\gamma}f_\gamma(x)$. 先考虑一维情形. 在定理 5.1. 中取$\mathfrak{A}=\mathfrak{B}=L^2(\Gamma)$. 对于区间$I=[a,\infty)$和$I'=[a,b]$, 可以注意到一个初等的事实: $$
    S_I=\frac{i}{2}M^a\vec HM^{-a},\,S_{I'}=\frac{i}{2}(M^a\vec HM^{-a}-M^b\vec HM^{-b}),
    $$其中$M^af:=e^{iax}f$, $\vec H$是向量值 Hilbert 变换$$
    \vec Hf(x,\gamma):=Hf_\gamma(x)=\text{V.P.}\int_{-\infty}^\infty\frac{f(y,\gamma)}{x-y}dy,
    $$其核为$K(x,y)=(x-y)^{-1}\text{id}$. 因$M^a$是$L^p(\mathbb{R}^1;L^2(\Gamma))$上的等距算子, $\vec H$是$L^2(\mathbb{R}^1;L^2(\Gamma))$上的酉算子, 所以对于$f(x,\gamma)\in L^p(\mathbb{R}^1;L^2(\Gamma))$, 根据定理 5.1. 得$$
    \|S_{\mathcal{F}}f\|_{L^p(\mathbb{R}^1;L^2(\Gamma))}\leq C\|\vec Hf\|_{L^p(\mathbb{R}^1;L^2(\Gamma))}\leq C_p\left\|f\right\|_{L^p(\mathbb{R}^1;L^2(\Gamma))}.
    $$

          对于高维的方体$I\subset\mathbb{R}^n$, 每个$S_I$都可以表示为都可以表示为不超过$n$个作用在每个变量上的上述类型算子的乘积, 因此可以直接推广. 例如在二维情形, 设$S_{I_\gamma}^i$是作用在第$i$个变量上的区间$I_k$的乘子, 则$S_{I_\gamma}=S_{I_\gamma}^1S_{I_\gamma}^2$, 而$$
    \begin{aligned}
    \int_{\mathbb{R}^2}&\left(\int_{\Gamma}|S_{I_\gamma}f_\gamma(x_1,x_2)|^2d\mu(\gamma)\right)^{p/2}dx_1dx_2\\
    &=\int_{\mathbb{R}}\left[\int_{\mathbb{R}}\left(\int_{\Gamma}|S_{I_\gamma}^1S_{I_\gamma}^2f_\gamma(x_1,x_2)|^2d\mu(\gamma)\right)^{p/2}dx_1\right]dx_2\\
    &\leq C_p\int_{\mathbb{R}}\left[\int_{\mathbb{R}}\left(\int_{\Gamma}|S_{I_\gamma}^2f_\gamma(x_1,x_2)|^2d\mu(\gamma)\right)^{p/2}dx_1\right]dx_2\\
    & \\
    &\leq...
    \end{aligned}
    $$高维的情形下也完全类似. Q. E. D.

          定理中最值得注意的是方体族$\{I_\gamma\}_{\gamma\in\Gamma}$可以相交. 最常用的情况当然是$\Gamma=\mathbb{N}$, 而$L^2(\Gamma)=l^2$: $$
    \left\|\left(\sum_{k\in\mathbb{N}}|S_{I_k}f_k|^2\right)^{1/2}\right\|_{L^p}\leq C\left\|\left(\sum_{k\in\mathbb{N}}|f_k|^2\right)^{1/2}\right\|_{L^p}.
    $$特别地, $L^p$函数$f$的 Fourier 部分和$([-N,N]\hat f)^\vee$在$L^p$的意义下收敛到自己. 这在环群上也成立, 证明方法完全相同. 同样的证明方法还给出如下的事实: 任何多边形的特征函数都是$L^p$乘子: 实际上, 例如凸多边形特征函数的乘子可以表示成旋转与作用在每个变量上的$S_I$的乘积. 但要注意, 这个定理在高维情形下不能推广为球体, 也就是说球体的特征函数不是$L^p$乘子. 因此, 凸多边形特征函数的$L^p$乘子范数依赖于多边形本身.

          而后还有下面的 Fefferman-Stein 极大不等式:

          定理 5.3. 对任意局部可积函数序列$\{f_j\}$和$1<r,p<\infty$, 有下列不等式:$$
    \left\|\left(\sum_{k=1}^\infty|Mf_k|^r\right)^{1/r}\right\|_{L^p}\leq C_{r,p}\left\|\left(\sum_{k=1}^\infty|f_k|^r\right)^{1/r}\right\|_{L^p}.
    $$

          证明. 在定理 5.1. 中取$\mathfrak{A}=\mathbb{C},\mathfrak{B}=l^\infty$. 取定径向递减的非负 Schwartz 函数$\Phi$使得对于$|x|<1$, $\Phi(x)=1$. 命$\Phi_t(x):=t^{-n}\Phi(x/t)$, 定义如下的向量值奇异积分算子$T_\Phi:L^\infty(\mathbb{R}^n)\to L^\infty(\mathbb{R}^n;l^\infty)$: $$
    T_\Phi f(x):=[\Phi_{2^j}*f(x)]_{j\in\mathbb{N}}.
    $$显然它的核是$[\Phi_{2^j}(x-y)]_{j\in\mathbb{N}}$. 又定义$M_\Phi^df:=\sup_{j}\Phi_{2^j}*|f|$. 显然$$
    \|M_\Phi^df\|_{L^\infty}=\|T_\Phi f\|_{L^\infty(\mathbb{R}^n;l^\infty)}
    =\sup_x\sup_j|\Phi_{2^j}*f(x)|\leq\|\Phi\|_{L^1}\|f\|_{L^\infty}.
    $$容易算出核$[\Phi_{2^j}(x-y)]_{j\in\mathbb{N}}$满足 Hörmander 条件: $$
    \begin{aligned}
    \int_{|x|>2|y|}&\sup_j|\Phi_{2^j}(x-y)-\Phi_{2^j}(x)|dx\\
    &\leq\sum_{j\in\mathbb{Z}}\int_{|x|>2|y|}|\Phi_{2^j}(x-y)-\Phi_{2^j}(x)|dx\\
    &\leq 2\sum_{2^j\leq|y|}\int_{|x|>2|y|}|\Phi_{2^j}(x)|dx
    +\sum_{2^j>|y|}\int_{|x|>2|y|}\sup_{t\in[0,1]}\frac{|y||\nabla\Phi(2^{-j}(x-ty))|}{|2^{(n+1)j}|}dx\\
    &\leq C_n \sum_{2^j\leq|y|}\int_{|x|>2^{-j}|y|}|x|^{-(n+1)}dx+\sum_{2^j>|y|}\int_{|x|>2^{-j}|y|}\frac{|y|}{2^j}\langle x\rangle^{-n}dx\\
    &\leq C_n.
    \end{aligned}
    $$于是根据定理 5.1., 对于$1<r<\infty$, $T_\Phi:L^r(\mathbb{R}^n)\to L^r(\mathbb{R}^n;l^\infty)$, 即$$
    \begin{aligned}
    &\||T_\Phi f|_{l^\infty}\|_{L^r}\leq C\|f\|_{L^r}\\
    &\Rightarrow \int_{\mathbb{R}^n}\sum_{k=1}^\infty\|T_\Phi f_k(x)\|_{l^\infty}^rdx
    \leq C\int_{\mathbb{R}^n}\sum_{k=1}^\infty|f_k(x)|^rdx.
    \end{aligned}
    $$于是算子$[f_k]_{k\in\mathbb{N}}\to[T_\Phi f_k]_{k\in\mathbb{N}}$是$L^r(\mathbb{R}^n;l^r)$到$L^r[\mathbb{R}^n;l^r(\mathbb{N};l^\infty)]$的有界线性算子. 而后再取$\mathfrak{A}=l^r$, $\mathfrak{B}=l^r(\mathbb{N};l^\infty)$, 则再用一次定理 5.1. 得到$$
    \|[T_\Phi f_k]_{k\in\mathbb{N}}\|_{L^p(\mathbb{R}^n;\mathfrak{B})}\leq C\|[f_k]_{k\in\mathbb{N}}\|_{L^p(\mathbb{R}^n;\mathfrak{A})},
    $$或者$$
    \begin{aligned}
    \left\|\left(\sum_{k=1}^\infty|M_\Phi^df_k|^r\right)^{1/r}\right\|_{L^p}
    &=\left\|\left(\sum_{k=1}^\infty|T_\Phi f_k|_{l^\infty}^r\right)^{1/r}\right\|_{L^p}\\
    &\leq C_{r,p}\left\|\left(\sum_{k=1}^\infty|f_k|^r\right)^{1/r}\right\|_{L^p}.
    \end{aligned}
    $$最后注意到初等的事实$Mf\leq 2^{2n}M_\Phi^df$即得到结论. Q. E. D.

          以向量值奇异积分算子的构造为指引, 便有关于二进分解的 Littlewood-Paley 理论. 这是下一节笔记的基础.

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