65536 是唯一一个不含 1、2、4、8 的二的幂吗?

  1. 3月前
    3月前Kushim Jiang 重新编辑

    65536 is the only power of 2 less than \(2^{31000}\) that does not contain the digits 1, 2, 4 or 8 in its decimal representation.
    -- 65536 - Wikipedia

  2. 应该不是唯一一个。可以试图在大于2的31000次方之外寻找另外一个尾数是6的2的幂。
    2的幂一定能被2整除,个位刨去1、2、4、8就只能是6.
    于此对应的指数必须是4的倍数(2 4 8 16 / 32 64 128 256,本例指数16=4*4),这样就把寻找范围缩小到总体数目的1/4。
    我只会做到这里。。。

  3. 上一楼说如果2^n符合条件,那么n=4k;
    本楼分析十位数字:因为2^n各位是6,那么2^(n-1)各位是8,因此到2^n要乘二即各位向前面进一;这样一来,设n-1次方的十位数字是m,那么2m+1不等于1,2,4,8,11,12,14,18因此2m+1可以=3,5,6,7,9,10,13,15,16,17,19,其中6,10,16划去,得到2m+1=3,5,7,9,13,15,17,19,因此m=1,2,3,4,6,7,8,9,即m不等于5. 这就又减少了十分之一。
    事实上2^(n)后两位也有循环规律:
    02,04,08,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,8192,x84, x68, x36(65536), x72, x44, x88, x76, x52, x04, ...
    02和52如果看作同一节,那么循环节长度就是20,其中的第16个是符合最后两位没有1248条件的,也就是说,把指数按照20一节划分,相位为16的那一个符合末两位条件。现在我们已经把要寻找的数量缩小到1/20了。

  4. 2周前

    baishuxu

    4楼 1月4日 天文版主

    除了 65536 之外,是否还能找到其他类似的每位都不包括 1, 2, 4, 8 的 2 的幂? - 知乎

 

后才能发言