John Nash 对分析学的贡献

  1. 3月前
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          就我所知, John Nash 对于纯数学的主要贡献在如下几个方面: Hilbert 第十九问题(椭圆偏微分方程解的正则性), Riemann 几何, 泛函分析(主要应用是研究偏微分方程的可解性和解对微扰的依赖性). 代数几何方面的我全无了解, 不敢乱说.

          必须要说一句, 他对于 Riemann 几何和泛函分析的贡献是捆绑在一起的. 后面详述.

          1. Hilbert第十九问题

          在椭圆型二阶偏微分方程的理论中, 有一部分现在被称作 de Giorgi-Nash-Moser 理论, 发展这套理论最早是为了证明某些 Euler-Lagrange 方程的解的正则性. 例如, 可以考虑如下的变分问题:
          
          设$F(p)$是定义在$\mathbb{R}^n$上的光滑函数, 求出适当的函数$u$, 使得它是如下泛函的临界点:
    $$\int_\Omega F(\nabla u)dx.$$
    自然要问: 它有临界点吗? 临界点有没有所需求的性质? 通过一些计算与讨论, 问题往往要归结到研究如下的"散度"形式的二阶椭圆微分方程(研究的是弱解):
    $$\sum_{i,j}D_i(a_{ij}D_ju)=f.$$
    其中系数矩阵$(a_{ij})$只满足一些相当宽泛的条件: 它们在所论的区域上是一致正定的对称矩阵, 并且是有界可测的.

          De Gorgi 和 Nash 使用了不同的方法独立地得到了有关这一方程的结果. Nash 研究了相应的热方程并且得到了 Hölder 估计, 即证明了弱解的 Hölder 连续性. 椭圆方程可以视作不依赖时间的热方程, 从而其结果可以一并得到. 由此即可推出原来变分问题的解具有相当好的正则性, 即给出了Hilbert第十九问题的答案.

          如何评价de Giorgi和Nash的工作? 这些工作对于研究同变分相关的偏微分方程是非常基本的, 对于研究许多从几何中来的半线性偏微分方程(比如极小曲面方程)都有很重要的意义. 他们的工作使得我们知道了, 散度型线性椭圆方程以及半线性椭圆方程原来同 Laplace 方程一样, 也具有较好的正则性. 前者的解甚至还满足 Hanarck 型的不等式. 这件事在 Cauchy-Kovalevskaya 定理 (解析解的存在唯一性) 发表的时代就已经在引起人们的注意了, Hilbert 在第十九问题中将它明确地提出, 而 de Giorgi 和 Nash 解决了问题最主要的部分.

          2. Riemann流形的等距嵌入

          然后来看看 Nash 在几何与泛函分析上的贡献. Riemann 几何中有一个相当基本的问题: Riemann 流形能不能等距嵌入欧氏空间中? 我们知道, Whitney 嵌入定理断言任何$n$维微分流形都可以光滑嵌入(即嵌入映射同时既是光滑浸入也是拓扑嵌入, 或者等价地, 流形可以表示成没有奇异点的光滑参数曲面) $2n+1$维的欧氏空间中, 但是如果考虑 Riemann 流形的等距嵌入, 就不得不研究一个非常复杂的偏微分方程组. 实际上, 不妨取定一个局部坐标系, 使得在这个坐标系之下, 嵌入映射可以写成$u(x)=(u^1,...,u^N)(x)$ ($N$是目标空间的维数), 而Riemann 度量具有局部表达式$\sum_{i,j}g_{ij}(x)dx^i\otimes dx^j$, 则所求的嵌入在这个局部坐标之下必须满足如下的微分方程组:
    $$\left<\frac{\partial u}{\partial x^i},\frac{\partial u}{\partial x^j}\right>=g_{ij},1\leq i,j\leq n.$$
    在这里, 尖括号代表欧氏空间的内积. 这方程可以简写为:
    $$^tu'\cdot u'=g,$$
    其中左上标代表转置, 乘法是矩阵的乘法, 而撇号代表对坐标的导数. 嵌入问题的可解性等价于这个方程的可解性.

          为了求解这个方程, Nash 使用了一种微扰方法. 他首先说明, 在流形上面全体的 Riemann 度量组成的空间(是二阶对称张量空间的一个开集)中, 可以表达成(1)的形式的度量是稠密的. 于是可以把问题归结成如下形式:

          对于任何自由嵌入$u_0$, 诱导度量$^tu_0'\cdot u_0'$附近的任何度量都可以写成$^tu_0'\cdot u_0'+f$的形式. 证明对于"小"的$f$, 关于$u$的方程$^tu'\cdot u'={}^tu_0'\cdot u_0'+f$存在解.

          Nash 使用了一个本质上是 Newton 迭代的方法来证明上述方程的解的存在性. 他在论文的前言里面提到, 这一套方法似乎并不是只能应用于处理嵌入问题, 许多其它的微扰问题都可以纳入到这一框架之下. Moser 注意到了这一点, 于是将 Nash 的方法加以抽象提炼, 即得到了泛函分析中重要的 Nash-Moser 隐函数定理.

          这个定理的意义是很重大的. 传统的隐函数定理讨论的对象是 Banach空间, 并且要求所研究的映射具有导出映射. 然而在实际问题中碰到的许多空间都不是Banach空间, 例如紧流形上的无穷可微函数空间: 它是 Fréchet 空间. 在这种情况下, 研究隐函数问题就会碰到相当大的障碍. Nash的方法使用的导数只是方向导数, 而且也只要求背景空间是"柔性"的 Fréchet 空间, 比起传统的隐函数定理来讲, 应用面要宽广多了. 它几乎是关于微扰问题可解性的最一般的定理了. 许多困难的非线性分析问题(尤其是方程的可解性)都可以通过 Nash-Moser 方法加以解决.

          [注]八十年代时人们发现, 等距嵌入问题其实完全可以使用传统的隐函数定理来解决. Alinhac 和 Gérard 在他们的书中写道: 尽管这一方法(Nash的迭代方法)最终证明对解决嵌入问题并不必要, 它依旧是研究扰动问题的一个基本工具.

          限于篇幅, 不能在这里给出定理本身的任何细节, 因为说清楚任何一个细节都需要长篇大论. Nash的这两项工作都是非常困难的分析, 若是读他的原始文章, 常常会觉得此人的灵感或许来自上帝的提示. 由此可见 Nash 确实有一个天才的脑子.
          
          我不懂经济学和博弈论, 所以无法对后两个问题给出回答. 欢迎各种讨论.

 

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