关于累积分布函数的处处连续性问题

  1. 3月前
    3月前萌滚滚嗷呜熊 重新编辑

    如果$(\Omega, \mathcal{F},P)$是一个概率空间,$X$是一个随机变量,累积分布函数可以定义为
    \[
    F_X:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, \ F_X(x):=P\left(X^{-1}\left(\left(-\infty,x\right]\right)\right)
    \]
    证明总存在一个可数集$Q\subset\mathbb{R}$使得$F_X\mid_{\mathbb{R}-Q}$是连续的。

    我就想象不出来怎么会有一个不连续的累积分布函数……除非用delta函数……

  2. 2月前DTSIo 重新编辑

    累分布函数一定是单调非降的, 所以它的不连续点集只能是可数的, 这样一来它的连续点集就非常之大了. 反过来, 任意给定一个单调非降的函数$F:\mathbb{R}\to [0,1]$, 使得$F(-\infty)=0$, $F(+\infty)=1$ (规范条件), 都很容易造出一个随机变量$X:[0,1]\to\mathbb{R}$使得$X$的累分布函数是$F$; 实际上只需要定义
    $$X(t):=\sup\{x\in\mathbb{R}:\,F(x)\leq t\},$$
    即$F$的"广义反函数"; 当$F$严格单调的时候, 这就是$F^{-1}$. 这样一来, 只要是有不连续点的单调函数, 都可以是某个随机变量的累分布函数. 当然, 从数学分析可以知道, 单调函数的不连续点只能是跳跃点, 所以累分布函数的不连续点都是"很容易想象的".

  3. @萌滚滚嗷呜熊 如果$(\Omega, \mathcal{F},P)$是一个概率空间,$X$是一个随机变量,累积分布函数可以定义为
    \[
    F_X:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, \ F_X(x):=P\left(X^{-1}\left(\left(-\infty,x\right]\right)\right)
    \]
    证明总存在一个可数集$Q\subset\mathbb{R}$使得$F_X\mid_{\mathbb{R}-Q}$是连续的。

    我就想象不出来怎么会有一个不连续的累积分布函数……除非用delta函数……

    比如一个离散的分布,它的累积分布函数就不是连续的。。。

  4. @DTSIo foozhencheng

    理解了……确实我能够想象到一个不连续的CDF,我之前想象不出来什么样的PDF能够造成这样的CDF。感谢。

  5. @foozhencheng 比如一个离散的分布,它的累积分布函数就不是连续的。。。

    那不就是delta么,

  6. @萌滚滚嗷呜熊 那不就是delta么,

    不过一般离散的分布,我们都不谈其PDF(Probability Density Function)而是谈PMF(Probability Mass Function)

 

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