Bézout's identity for more than 2 integers

  1. 3月前

    就是1可以表示为多个互质的整数的线性组合的那个定理。
    两个数的时候系数可以用辗转相除法确定,多个数的时候要怎么弄呢?

  2. 先证明对于$\mathbb{Z}$的一个对减法封闭的子集$S$, 存在唯一的正整数$d$, 使得$S$恰好由$d$的所有倍数构成; 然后考虑不全为零的$n$个数$a_1$, $\ldots$, $a_n$ 的所有整系数线性组合构成的的集合, 去证明这个集合恰好由$(a_1, \ldots, a_n)$的所有倍数构成.

  3. 3月前DTSIo 重新编辑

    两个整数能够进行辗转相除的操作, 正是因为整数环上有自然的欧氏赋值$n\to|n|$. 所有的欧氏环都是主理想整环. 因此, 对于任意$n$个整数$a_1,...,a_n$, 它们生成的理想$(a_1,...,a_n)$一定可以由某个单一的生成元$a$生成. 这个生成元显然应当是诸$a_i$的公因子. 在诸$a_i$互素的情形, 公因子只能是$\pm1$, 而正负号在这里当然是无所谓的了.

  4. @e^(iπ)+1=0 先证明对于$\mathbb{Z}$的一个对减法封闭的子集$S$, 存在唯一的正整数$d$, 使得$S$恰好由$d$的所有倍数构成; 然后考虑不全为零的$n$个数$a_1$, $\ldots$, $a_n$ 的所有整系数线性组合构成的的集合, 去证明这个集合恰好由$(a_1, \ldots, a_n)$的所有倍数构成.

    呃我的意思是,不是求证明,是怎么确定系数

  5. @DTSIo 两个整数能够进行辗转相除的操作, 正是因为整数环上有自然的欧氏赋值$n\to|n|$. 所有的欧氏环都是主理想整环. 因此, 对于任意$n$个整数$a_1,...,a_n$, 它们生成的理想$(a_1,...,a_n)$一定可以由某个单一的生成元$a$生成. 这个生成元显然应当是诸$a_i$的公因子. 在诸$a_i$互素的情形, 公因子只能是$\pm1$, 而正负号在这里当然是无所谓的了.

    感觉知识超我的纲了...有什么简单的像扩展欧几里得算法那样的方法来求系数吗?

  6. @1344928452 感觉知识超我的纲了...有什么简单的像扩展欧几里得算法那样的方法来求系数吗?

    如果任何两个数都互素的话,那就随便挑两个数做线性组合组合出一个1就可以了啊。

  7. @DTSIo 如果任何两个数都互素的话,那就随便挑两个数做线性组合组合出一个1就可以了啊。

    这样吗...感觉很凑合的样子 /T_T
    你看两个数的时候,系数空间可以由一个基本解生成,三个数的时候是不是也存在这样的基本解?

  8. @1344928452 这样吗...感觉很凑合的样子 /T_T
    你看两个数的时候,系数空间可以由一个基本解生成,三个数的时候是不是也存在这样的基本解?

    那就是解多元一次不定方程,然后可以讨论它的解的结构

  9. 天马行空

    9楼 9月25日 数学版主

    每次取俩拼出gcd,换掉原先那俩..

  10. @[作者已删除] 那就是解多元一次不定方程,然后可以讨论它的解的结构

    嗯好像是这样

  11. @天马行空 每次取俩拼出gcd,换掉原先那俩..

     ...

  12. 天马行空

    12楼 9月28日 数学版主

    @1344928452 ...

    ?

 

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