第一次到数学版发帖……关于delta函数的问题

  1. 4月前

    问题其实看上去很简单,完全等价于证明delta function的一种写法:
    Proof:
    $\frac{1}{\pi}\lim_{N->\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin Nx}{x}U(x)dx=U(0)$
    问题在于,我们是想,不说明$\frac{1}{\pi}\lim_{N->\infty}\frac{\sin Nx}{x}=\delta(x)$的前提下,直接证明这个结论。换句话说,不证明整体积分为1,非0处为0,0处发散,而直接证明上面的这一个极限成立,一个如何做。
    我曾想能不能利用复变函数里围道积分+留数定理的方法去证明,后来发现这种证明太依赖于U的形式了。如果他不是我们常见的那种带有离散的奇点的函数,或者U在无穷远处不能满足大圆弧定理什么的,甚至连围道积分的形式都写不出来。
    后来尝试了许多次,虽然有一种方法,看上去虽然挺“合情合理”的:把积分和极限交换顺序,先在x有限大的时候取好N趋于无穷大的极限,再积分,会得到这个结果。可是问题又来了,我们毕竟不是讨论QFT的问题,积分与求和的顺序问题还是应该注意的。本来数学分析有个一致收敛情况下的结果,但是还是因为U是任意函数,所以这个条件太难满足了。
    于是我请教了我数学系的朋友,他们说在实变函数里,有专门的勒贝格控制收敛定理,可以检验这一点。所以我就带进去看了一下。
    $\lim_{N->\infty}\frac{\sin Nx}{x}$这个函数如果真的按逐点收敛的话,虽然确实是能诸点分别收到一个数上,但最后这个函数好像就是delta函数自己呀……当然我管不了那么多了,套控制收敛定理,这个时候只要U是勒贝格可积的就行了。但是勒贝格可积虽然已经比我们本科微积分的黎曼可积要宽松了,但是还是没有达到我们一般认为的,是个函数带进去都是U0的样子。
    这个时候我就突然发现这么一个问题了。您看我们定义的那些趋近于delta函数的,又带极限又带积分的函数,如果都用这种方法检验他们是否是delta函数,都会遇到跟这个例子一样的疑难。而似乎在所有这些例子里,都不约而同的做了积分和极限的交换 ——即便是从“几何”意义上讲,似乎也是一样的。所以我有这么几个问题:

    1,这种积分有没有一种合适的求解方法?
    2,假如我们套用控制收敛定理没问题的话,那是不是意味着,在使用delta函数的时候,本身就对前面参与积分的函数有一定的限制?

    (顺带一提我已经受不了了,然后给我能找到最近的“如来佛祖”吴崇试先生发邮件了 /TT

  2. tyj518

    2楼 9月15日 优秀回答者
    4月前tyj518 重新编辑

    在广义函数的定义中,测试函数$U$都具有很好的性质,例如$U$任意阶可微且有紧支撑集,或是$U$任意阶可微且对任意$k\in\mathbb{N}$,$\alpha>0$有$\sup_{x\in\mathbb{R}}|x^\alpha\cdot d^kU(x)/dx^k|<+\infty$。因此你如果想从广义函数的意义上证明$\sin(N\pi x)/(\pi x)\rightarrow\delta(x)$,你也只需证明对那些性质足够好的$U$,有
    $$
    \lim_{N\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(N\pi x)}{\pi x}U(x)\,dx=U(0).
    $$
    实际上很容易构造反例看出上式也没办法对任意的函数$U$都成立。由于$\sin(N\pi x)/(\pi x)$是平方可积的,且$U(x)$性质足够好,故可以用傅里叶变换的帕塞瓦尔定理证明上式。

    另外,$\sin(N\pi x)/(\pi x)$在$x\neq 0$时也并不是逐点收敛到$0$的,你可以在wolframalpha里面画一下图像来理解一下$\sin(N\pi x)/(\pi x)$为什么能“收敛”到$\delta(x)$。

  3. @tyj518 在广义函数的定义中,测试函数$U$都具有很好的性质,例如$U$任意阶可微且有紧支撑集,或是$U$任意阶可微且对任意$k\in\mathbb{N}$,$\alpha>0$有$\sup_{x\in\mathbb{R}}|x^\alpha\cdot d^kU(x)/dx^k|<+\infty$。因此你如果想从广义函数的意义上证明$\sin(N\pi x)/(\pi x)\rightarrow\delta(x)$,你也只需证明对那些性质足够好的$U$,有
    $$
    \lim_{N\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(N\pi x)}{\pi x}U(x)\,dx=U(0).
    $$
    实际上很容易构造反例看出上式也没办法对任意的函数$U$都成立。由于$\sin(N\pi x)/(\pi x)$是平方可积的,且$U(x)$性质足够好,故可以用傅里叶变换的帕塞瓦尔定理证明上式。

    另外,$\sin(N\pi x)/(\pi x)$在$x\neq 0$时也并不是逐点收敛到$0$的,你可以在wolframalpha里面画一下图像来理解一下$\sin(N\pi x)/(\pi x)$为什么能“收敛”到$\delta(x)$。

    啊,谢谢……我其实凌晨写的时候我就觉得好像把收敛的地方搞错了……丢人啦 /O!O
    不过其实发现这个以后我挺害怕的,就这是不是意味着我们物理上用delta函数有时候用的其实不太规范,就是性质不那么好的测试函数也直接拿过来算了……所以我很纠结对测试函数到底有什么样的要求,物理上遇到的函数是不是都满足这些要求,要不然的话好多地方算起来都不放心了…… /TT

  4. tyj518

    4楼 9月15日 优秀回答者
    4月前tyj518 重新编辑

    @kkxq123987 啊,谢谢……我其实凌晨写的时候我就觉得好像把收敛的地方搞错了……丢人啦 /O!O
    不过其实发现这个以后我挺害怕的,就这是不是意味着我们物理上用delta函数有时候用的其实不太规范,就是性质不那么好的测试函数也直接拿过来算了……所以我很纠结对测试函数到底有什么样的要求,物理上遇到的函数是不是都满足这些要求,要不然的话好多地方算起来都不放心了…… /TT

    物理上能遇到的绝大多数函数不都可以假定有很好的性质么。而且由于物理理论的近似性以及测量上的限制,很多情况下即使遇到性质不好的函数也可以用性质好的函数去逼近。
    物理上用$\delta$函数的方式经常是不怎么规范的,不过导出的结果经前人验证都是正确的。
    另外勒贝格可积其实是个不怎么高的要求,你不用选择公理甚至构造不出闭区间上有界而勒贝格不可积的函数。

  5. @tyj518 物理上能遇到的绝大多数函数不都可以假定有很好的性质么。而且由于物理理论的近似性以及测量上的限制,很多情况下即使遇到性质不好的函数也可以用性质好的函数去逼近。
    物理上用$\delta$函数的方式经常是不怎么规范的,不过导出的结果经前人验证都是正确的。
    另外勒贝格可积其实是个不怎么高的要求,你不用选择公理甚至构造不出闭区间上有界而勒贝格不可积的函数。

    恩恩,那就好啦,现在心里就有底了

  6. 4月前DTSIo 重新编辑

    (在下面的讨论中为方便而省略非本质的常数因子)

    要想证明这个等式, 函数$U$得满足一些附加的局部正则性条件才行, 比如Dini条件: 若令$\omega(t)=\sup_{0<s\leq t}|U(s)-U(0)|$, 则
    $$\int_0^1\frac{\omega(t)}{t}dt<\infty.$$
    在逼近 delta function 的函数序列里$\sin Nx/x$并不是性质最好的. 最好的可能是 Gauss 函数的序列$e^{-x^2/N}$. 如果是Gauss函数的序列的话, 就只需要连续而不需要Dini条件了(Dini条件比连续要强). 这是调和分析之中所谓的approximate identity的问题.

    $\sin Nx/x$与函数卷积的收敛性问题, 或者说截断Fourier变换
    $$\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin Ny}{y}f(x-y)dy=\int_{-N}^N\hat{f}(\xi)e^{i\xi x}d\xi$$
    的收敛性问题是经典的调和分析中一个非常核心的问题. 这方面最强的结果是六十年代的Carleson-Hunt定理: 如果$f$是平方可积函数, 则上面的截断Fourier变换对几乎一切$x$收敛至$f(x)$. 这是一个非常困难的定理. 当然, 据此我们还是不能确定到底在哪一个点$x$处它是收敛的. 但假若$f$在点$x$满足Dini条件, 则的确就可以得到收敛性.

    如果是物理问题的话, 这些数学讨论的意义其实不大.

  7. @DTSIo (在下面的讨论中为方便而省略非本质的常数因子)

    要想证明这个等式, 函数$U$得满足一些附加的局部正则性条件才行, 比如Dini条件: 若令$\omega(t)=\sup_{0<s\leq t}|U(s)-U(0)|$, 则
    $$\int_0^1\frac{\omega(t)}{t}dt<\infty.$$
    在逼近 delta function 的函数序列里$\sin Nx/x$并不是性质最好的. 最好的可能是 Gauss 函数的序列$e^{-x^2/N}$. 如果是Gauss函数的序列的话, 就只需要连续而不需要Dini条件了(Dini条件比连续要强). 这是调和分析之中所谓的approximate identity的问题.

    $\sin Nx/x$与函数卷积的收敛性问题, 或者说截断Fourier变换
    $$\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin Ny}{y}f(x-y)dy=\int_{-N}^N\hat{f}(\xi)e^{i\xi x}d\xi$$
    的收敛性问题是经典的调和分析中一个非常核心的问题. 这方面最强的结果是六十年代的Carleson-Hunt定理: 如果$f$是平方可积函数, 则上面的截断Fourier变换对几乎一切$x$收敛至$f(x)$. 这是一个非常困难的定理. 当然, 据此我们还是不能确定到底在哪一个点$x$处它是收敛的. 但假若$f$在点$x$满足Dini条件, 则的确就可以得到收敛性.

    如果是物理问题的话, 这些数学讨论的意义其实不大.

    天哪大D出动了 /O!O 我根本没想到这个问题后面还有这种事情在的 /O!O

  8. @kkxq123987 天哪大D出动了 /O!O 我根本没想到这个问题后面还有这种事情在的 /O!O

    这都是经典的调和分析问题, 似乎和物理关系真的不太大了.....在处理物理问题的时候, 似乎是不关心函数在个别具体点的值的, 只要几乎处处相等就可以. 另外如果要考虑的$f$是缓增分布的话(如果要考虑的是量子场论的构型空间, 那这很合理), 那么在分布的意义下当然有
    $$\frac{\sin Nx}{x}*f\rightarrow f,\,N\to\infty.$$

 

后才能发言