一个复变函数论中的指标定理

  1. 4月前
    3月前DTSIo 重新编辑

          原帖子地址: https://zhuanlan.zhihu.com/p/24482236 我已经基本弃用知乎, 现在正在逐步把当初写在知乎上的数学内容搬运过来. 此文也是搬运计划的一部分.

          这是一个属于Bernard Malgrange(此人是Laurent Schwartz的学生)的指标定理. 因为什么都不懂, 不知道这个定理有什么背景, 最多能做到把它解释成"平面区域的Riemann-Roch定理", 所以也就是描述一下罢了, 诸位看官图一乐吧.

          参考文献:

          GTM 125, p. 624 (我最早查到这个定理的地方)

          Malgrange, B., Sur les points singuliers des équations différentielles, Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) (1971-1972): 1-13. (原始文献)

          定理可以表述如下.

          设$\Omega\subset\mathbb{C}$是多连通区域, 具有有限的连通数(即第一Betti数)$b_1$. 考虑全纯函数空间的微分算子$L:\mathcal{O}(\Omega)\rightarrow\mathcal{O}(\Omega)$, 定义为
    $$L=a_n(z)\frac{d^n}{dz^n}+...+a_1(z)\frac{d}{dz}+a_0(z),$$
    这里诸系数都是$\Omega$上的全纯函数, $a_n$在$\Omega$中的零点数目(计算重数)$N$为有限. 则$L$是有指标的算子, 且有下列指标公式:
    $$\mathrm{Ind}(L)=n(1-b_1)-N.$$

    在这里, 指标的定义与通常一样:
    $$\mathrm{Ind}(L)=\mathrm{dim}(\mathrm{ker}L)-\dim(\mathrm{coker}L).$$
    注意$\mathrm{ker}L$指的是定义在整个区域$\Omega$上的$L$的零空间, 因此它的维数$\leq n$.

          这个定理的证明要分几步.

          第一步: 局部的指标定理. 设$w\in\Omega$是$a_n$的一个零点, 取$r$足够小使得$B(w,r)$中没有$a_n$的其它零点. 命$E_k(w,r)=\mathcal{O}(B(w,r))\cap{C}^k(\bar{B}(w,r))$, 则熟知它是Banach空间. 易见
    $$a_{n-1}(z)\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}+...+a_0(z):E_{n}(w,r)\rightarrow E_0(w,r)$$
    是紧算子, 从而若计算指标, 只需要计算首项的指标就够了. 据此容易算出
    $$\mathrm{Ind}(L:E_n(w,r)\rightarrow E_0(w,r))=n-v(a_n,w).$$
    这里$v(f,w)$表示全纯函数$f$在$w$点的赋值(零点的阶). 由此再加上一些初等的复变函数知识, 容易过渡到局部的指标定理
    $$\mathrm{Ind}[L:\mathcal{O}(B(w,r))]=n-v(a_n,w).$$

          第二步: 首项$a_n$没有零点的情形. 设$\Delta$是有限连通区域, 第一个Betti数是$\beta$. 在$\Delta$上考虑微分算子$L:\mathcal{O}(\Delta)\rightarrow\mathcal{O}(\Delta)$, 定义为
    $$L=a_n(z)\frac{d^n}{dz^n}+...+a_1(z)\frac{d}{dz}+a_0(z),$$
    其中$a_n$在$\Delta$上不取零值. 要证明$\mathrm{Ind}(L)=n(1-\beta)$.

          根据拓扑知识, 可以造出$\beta$条彼此不相交的Jordan弧$J_1,...,J_\beta$, 使得
          (1)它们的端点都在$\partial\Delta$上;
          (2)$\Delta\setminus J$是单连通的区域, 其中$J=J_1\cup...\cup J_\beta$.
    又可以作出彼此不交的单连通区域$U_1,...,U_\beta\subset\Delta$, 使得$J_k\subset U_k$且$U_k\setminus J_k$有两个分支(如图).

    -image-

          这个时候就需要开始借助一点层论工具了. 容易定义$\Delta$上$L$的零空间层, 它在一点的的stalk是$L$在这一点处的零空间. 于是这是一个复向量空间的层, 每一点的stalk都可以看成全纯函数芽空间的子空间, 具有复维数$n$. 记这个层为$\mathcal{N}$. 由于微分算子$L$的首项系数没有零点, 根据常微分方程解的局部存在定理, 有层的短正合列
    $$0\rightarrow\mathcal{N}\rightarrow\mathcal{O}\xrightarrow{L}\mathcal{O}\rightarrow0.$$
    由此导出上同调的长正合列
    $$0\xrightarrow\Gamma(\Delta,\mathcal{N})\xrightarrow\Gamma(\Delta,\mathcal{O})\xrightarrow{L}\Gamma(\Delta,\mathcal{O})\xrightarrow....$$
    又有下面的两个层的短正合列:
    $$0\rightarrow\mathcal{N}_J\rightarrow\mathcal{N}\rightarrow\mathcal{N}_{\Delta\setminus J}\rightarrow0.$$
    $$0\rightarrow\mathcal{O}_J\rightarrow\mathcal{O}\rightarrow\mathcal{O}_{\Delta\setminus J}\rightarrow0.$$
    由此导出两个上同调的长正合列
    $$0\rightarrow\Gamma(J,\mathcal{N})\rightarrow\Gamma(\Delta,\mathcal{N})\rightarrow\Gamma({\Delta\setminus J},\mathcal{N})\rightarrow H^1_J(\Delta,\mathcal{N})\rightarrow...$$
    $$0\rightarrow\Gamma(J,\mathcal{O})\rightarrow\Gamma(\Delta,\mathcal{O})\rightarrow\Gamma({\Delta\setminus J},\mathcal{O})\rightarrow H^1_J(\Delta,\mathcal{O})\rightarrow...$$
    把这些长正合列拼成一个行列都正合的二维交换图, 然后用一下snake lemma, 并且注意到切除定理给出$$H^1_J(\Delta,\mathcal{N})\cong\bigoplus_{k=1}^\beta H^1_J(U_k,\mathcal{N}),$$
    而每一个$H^1_J(U_k,\mathcal{N})$的维数是$n$; 最终得到了指标公式
    $$\mathrm{Ind}(L)=n(1-\beta).$$

          第三步: 最终情形. 记$a_n$的零点集为$Z=\{w_1,...,w_m\}$, 命第二步中的$\Delta=\Omega\setminus Z$. 显然有$\beta=m+b_1$. 注意到
    $$\mathrm{Ind}(L,\mathcal{O}(\Omega))=\mathrm{Ind}(L,\mathcal{O}(\Delta))-\mathrm{Ind}(L,\mathcal{O}(\Delta)/\mathcal{O}(\Omega)).$$
    只需要计算$\mathrm{Ind}(L,\mathcal{O}(\Delta)/\mathcal{O}(\Omega))$. 现在取$r$充分小, 使得圆盘$B(w_j,r)$彼此不交. 立刻可以看出
    $$\mathcal{O}(\Delta)/\mathcal{O}(\Omega)\cong\bigoplus_{j=1}^m \mathcal{O}(B'(w_j,r))/\mathcal{O}(B(w_j,r)),$$
    其中$B'(w_j,r)$表示去心邻域.

          于是算得
    $$\begin{aligned}
    \mathrm{Ind}(L,\mathcal{O}(\Omega))&=\mathrm{Ind}(L,\mathcal{O}(\Delta))-\sum_{j=1}^m\{\mathrm{Ind}[L,\mathcal{O}(B'(w_j,r))]-\mathrm{Ind}[L,\mathcal{O}(B(w_j,r))]\}\\
    &=n(1-b_1-m)+\sum_{j=1}^m(n-v(a_n,w_j))\\
    &=n(1-b_1)-N.
    \end{aligned}$$
    这里用到了$\mathrm{Ind}[L,\mathcal{O}(B'(w_j,r))]=0$(用第二步的结论即可推出, 因为去心圆盘的第一Betti数是1).

  2. 3月前
    3月前Phantom_Ghost 删除了
 

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