物理中的因果性

  1. 5月前

    lh1962

    1楼 8月2日 优秀回答者

    本文讨论物理中线性系统的因果性与函数解析行为的关系,试图说明为了让信号传递速度不超过光速,需要对我们的物理模型加入哪些限制。

    本文假定读者拥有复变函数的相关知识。

  2. lh1962

    2楼 8月2日 优秀回答者
    5月前lh1962 重新编辑

    线性因果系统

    先来谈最简单的情形:我们在线性非时变系统的框架下,讨论如何去描述,只能是过去的原因导致未来的结果这件事。这个东西在信号与系统中叫做因果系统。

    假定系统具有输入信号 A 和输出信号 B 。他们可以是单口电路网络中的电压与电流,或者双端口网络中两端的信号。考虑到系统是线性非时变的,那么如果我输入稳态的一个单频信号 $A(t) = \tilde A(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega t}$ ,出来的也一定是单频信号 $B(t) = \tilde B(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega t}$ ,且两个信号幅值之间满足一个线性关系
    \[
    \tilde B(\omega) = X(\omega)\tilde A(\omega)
    \]
    其中 $X(\omega)$ 是某个与频率相关的系数,称为响应函数。接下来我们就要把注意力放在这个东西上面。
    我们尤其关心的是 $X(\omega)$ 取无穷大值的地方,这意味着只需要无穷小的输入信号便可以激发有限的输出信号。这意味着什么呢?我们来看两个例子:

    1.jpg
    LC谐振电路

    我们取外电流为输入信号,外电压为输出信号。有关系
    \[
    U(\omega)=\frac{I(\omega)}{\mathrm i\omega C+\frac{1}{\mathrm i\omega L}}
    \]
    那么响应函数为
    \[
    \tilde X(\omega) = \frac{\mathrm i\omega L}{1-\omega^2LC}
    \]
    显然,当 $\omega = \pm1/\sqrt{LC}$ 时,响应函数变为无穷大。我们容易注意到,这个频率恰好是LC谐振电路发生谐振的频率——不需要外界的电流输入,电路本身就能以这个频率震荡。也就是说,响应函数发散的点对应着系统内部的共振频率。
    此外,响应函数也可能会在 $\omega$ 取复值时发散。我们看第二个例子
    2.jpg
    LCR谐振电路

    电路中外加了一个电阻R,这样响应函数写作
    \[
    \tilde X(\omega) = \frac{R+\mathrm i\omega L}{1-\omega^2LC+\mathrm i\omega RC}
    \]
    此时响应函数发散,也即分母为零的点变为
    \[
    \omega = \mathrm i\frac{R}{2L}\pm\sqrt{\frac{1}{LC}-\left(\frac{R}{2L}\right)^2}
    \]
    成了一个复数,我们可以注意到有 $\mathrm{Im}\, \omega>0$ 。

    以一个复数频率震荡是什么意思?我们不妨明确的写出对时间依赖的式子
    \[
    B(t) =\tilde B(\omega) \mathrm e^{\mathrm i\text{Re}\,\omega t}\mathrm e^{-\text{Im}\,\omega t}
    \]
    这样,我们得到的便是一个随时间衰减的震荡,或者说阻尼震荡的结果。
    另外,从这里可以知道, $\text{Im}\,\omega\ge 0$ 这个结果并不是特例,而是一个普遍性的结论——我们显然不期望看到一个系统在没有任何激励的情况下,振幅越来越大直至发散。
    我们把这样响应函数发散的点称为它的极点,那么上面所讨论的结论便可记作:响应函数的全部极点分布在复平面的上半平面上。
    这个结论可以给我们什么进一步结果吗?下面便来看看:
    现在考虑输入信号并不仅仅是单频波,而是一般性的组合
    \[
    A(t) = \int\tilde A(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega t}\,\mathrm d\omega
    \]
    那么可以相应的给出输出信号
    \[
    B(t) = \int\tilde X(\omega)\tilde A(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega t}\,\mathrm d\omega
    \]
    利用卷积定理,我们有
    \[
    B(t)=\int_{-\infty}^{\infty} X(\tau)A(t-\tau)\,\mathrm d\tau
    \]
    这里 $X(\tau)$ 是相应的傅里叶变换
    \[
    X(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}\tilde X(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega \tau}\,\mathrm d\omega
    \]
    我们考虑如何通过围道积分的办法来求这个积分。对于 $\tau>0$ 的情形,我们可以为这个实轴上的积分补上一个上半圆周成为一条闭合回路。由于指数因子的压低,上半圆周的积分值为零,从而考虑整条围道的积分即可。而围道的积分又等于围道内的全部极点的留数之和,这样我们便知道被积函数有一个非零值。

    3.jpg

    对于 $\tau<0$ 的情形,我们就必须补上一个下半圆周了。考虑到下半平面上没有极点,就没有所谓的留数之和,那么这个积分便为零。我们便得到
    \[
    X(\tau<0)=0
    \]
    进而输出信号与输入信号的关系为
    \[
    B(t) = \int_0^\infty X(\tau)A(t-\tau)\,\mathrm d\tau
    \]
    这样,我们得到了一个非常重要的结论:某一时刻 $t$ 输出信号是多少,仅取决于此时刻之前($ t-\tau<t $)的输入信号,而与此时刻之后的输入信号无关。换句话说,原因总在结果之前!
    总结一下,我们以傅里叶变换和留数定理作为桥梁,证明了对于线性系统而言,孤立系统的运动总是自发衰减,与原因总在结果之前,这两件看上去毫无关联的事情完全是等价的。同时我们也提供了一个描述线性激发-响应过程的一般性工具。

  3. lh1962

    3楼 8月2日 优秀回答者
    5月前lh1962 重新编辑

    波动方程

    现在我们将空间上的传播加进来。一个典型的含源标量波动方程写作
    \[
    \left(\frac{1}{c^2}\partial_t^2-\nabla^2\right)u(\bm r,t) = f(\bm r,t),
    \]
    这里$c$为波速。两端作傅里叶变换至动量空间$(\bm k,\omega)$,得到
    \[
    \left(k^2-\frac{\omega^2}{c^2}\right)\tilde u(\bm k,\omega) =\tilde f(\bm k,\omega),
    \]
    考虑到波速可能依赖于频率,我们在方程中唯象的引入折射率$n(\omega)$:
    \[
    \left[k^2-\left(\frac{n\omega}{c}\right)^2\right]\tilde u(\bm k,\omega) =\tilde f(\bm k,\omega),
    \]
    对于电磁波,自然有$n=\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}$。将因子除过去,有
    \[
    \tilde u(\bm k,\omega) =\frac{\tilde f(\bm k,\omega)}{k^2-\left(\frac{n\omega}{c}\right)^2},
    \]
    再作傅里叶逆变换,利用卷积定理,我们便能得到问题的解
    \[
    u(\bm r,t) = \int G(\bm r',t') f(\bm r-\bm r',t-t')\,\mathrm d^3\bm r'\mathrm dt'.
    \]

    这里我们引入了格林函数$G$,由下式给出
    \[
    G(\bm r,t) = \frac{1}{(2\pi)^4}\int \mathrm e^{\mathrm i(\omega t-\bm k\cdot\bm r)}\frac{1}{k^2-\left(\frac{n\omega}{c}\right)^2+\mathrm i\delta}\,\mathrm d^3\bm k\mathrm d\omega,
    \]
    注意,此处我在分母上添加了一个无穷小量$\delta\rightarrow 0^+$以保证计算得到的是出射波,关于这个问题的详细解释,请读者参考那些讲得不错的数学物理方法(如吴崇试)或电动力学(如朗道),抑或是任意一本量子场论教材。

    下面我们来计算这个积分,先计算空间/动量部分
    \[
    \begin{aligned}
    &\int \frac{\mathrm d^3\bm k}{(2\pi)^3} \mathrm e^{-\mathrm i\bm k\cdot\bm r}\frac{1}{k^2-\left(\frac{n\omega}{c}\right)^2+\mathrm i\delta}\\
    =& \int_0^\infty \frac{k^2\mathrm dk}{(2\pi)^3}\frac{1}{k^2-\left(\frac{n\omega}{c}\right)^2+\mathrm i\delta}\times 2\pi\int_0^\pi \mathrm e^{-\mathrm ikr\cos\theta}\,\mathrm d\theta\\
    =& \int_0^\infty \frac{k^2\mathrm dk}{(2\pi)^2} \frac{1}{k^2-\left(\frac{n\omega}{c}\right)^2+\mathrm i\delta}\frac{\mathrm e^{\mathrm ikr}-\mathrm e^{-\mathrm ikr}}{\mathrm ikr}\\
    =&\frac{1}{2\pi r}\frac{1}{2\pi\mathrm i}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{k}{k^2-\left(\frac{n\omega}{c}\right)^2+\mathrm i\delta}\mathrm e^{\mathrm ikr}\,\mathrm dk\\
    =&\frac{1}{4\pi r} \mathrm e^{-\mathrm in\omega r/c}.
    \end{aligned}
    \]

    然后再来看时间/频率部分
    \[
    G(\bm r,t) =\frac{1}{4\pi r} \int_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm d\omega}{2\pi} \mathrm e^{\mathrm i\omega[t-n(\omega)r/c]},
    \]
    这个积分中包含了未知的折射率$n(\omega)$。已经提到,对于电磁波,折射率等于相对介电常数乘相对磁导率再开根号。通常我们不考虑介质的磁效应,而介电常数已经在前面讨论过了:为保证因果性,或者孤立系统的运动自发衰减,介电常数在下半平面没有极点;那么开个根号之后在下半平面自然也没有极点,是下半平面的解析函数......
    ...
    ...
    似乎有些什么不对
    ...
    ...
    函数的零点在开根号之后会导致割线!类似于$f(z)=z$在全平面解析,但是$\sqrt{f(z)}=\sqrt{z}$却存在一条从零点连接到无穷远点的割线。介电常数若在下半平面上存在(非偶数阶)零点,那我们便无法通过之前的技巧来在此处证明因果律。
    很遗憾的是,我并没能找到哪里有对于介电常数在下半平面无零点这件事独立于因果律之外的解释。本节的最后将对洛伦兹模型给出一个验证。

    我们回到这个积分
    \[
    G(\bm r,t) =\frac{1}{4\pi r} \int_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm d\omega}{2\pi} \mathrm e^{\mathrm i\omega[t-n(\omega)r/c]},
    \]
    除了要求$n(\omega)$在下半平面解析之外,我们还需要当$\omega\rightarrow\infty$时$n(\omega)\rightarrow 1$,这个要求相当于介质对于充分高频率的光场没有(来不及)响应,在物理上应当是合理的。那么考察在$\omega\rightarrow\infty$处指数因子$\mathrm i\omega[t-n(\omega)r/c]$。当$t-r/c<0$时,我们需要在下半平面补积分围道,由于下半平面函数处处解析,从而
    \[
    G(t-r/c<0) = 0,
    \]
    而相应的
    \[
    G(t-r/c>0) \ne 0.
    \]

    这已经是一个极富物理意义的结论了:当相隔的时间短于距离除以光速时,你是不会收到对面的源(如电荷)产生的任何影响的。相应的也可以写下
    \[
    u(\bm r,t) = \int_{t'-|\bm r'|/c\ge 0} G(\bm r',t') f(\bm r-\bm r',t-t')\,\mathrm d^3\bm r'\mathrm dt'.
    \]

    最后我们来讨论一下真空,也就是$n(\omega)=1$的情形。此时可以解析算出格林函数
    \[
    G(\bm r,t) =\frac{1}{4\pi r} \delta(t-r/c),
    \]
    从而
    \[
    u(\bm r,t) = \int \frac{1}{4\pi|\bm r-\bm r'|}f(\bm r',t-|\bm r-\bm r'|/c)\,\mathrm d^3\bm r'.
    \]
    这便是熟知的推迟势。


    作为附录,我们对洛伦兹模型下折射率的解析行为作一个验证
    \[
    \varepsilon_r(\omega) = n^2(\omega) = 1+\frac{\omega_p^2}{\omega_0^2-\omega^2+\mathrm i\omega\gamma},\quad \gamma\ge 0
    \]
    可以解出其全部极点
    \[
    \omega_{p\pm} = \pm\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2/4}+\mathrm i\gamma/2,
    \]
    和全部零点
    \[
    \omega_{z\pm} = \pm\sqrt{\omega_0^2+\omega_p^2-\gamma^2/4}+\mathrm i\gamma/2,
    \]
    全部落在下半平面。折射率可以改写作
    \[
    n(\omega) = \sqrt{\frac{(\omega-\omega_{z+})(\omega-\omega_{z-})}{(\omega-\omega_{p+})(\omega-\omega_{p-})}}.
    \]
    这样,洛伦兹模型下折射率在上半平面存在两条割线,而在下半平面解析,在无穷远处趋于$1$,与之前的假设相符。

 

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