一种 \(\boldsymbol\nabla\) 算符的运算方法

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  2. 9月前

    FatFish

    11楼 2018年3月28日 物理版主, 优秀回答者

    老实说我没理解这个贴子,(1)式的$A\partial U$角标似乎说明A在导数外面,那最右边应该是$ (\vec A \vdot \grad) U$才对啊。再比如说,很多例子根本没看出来怎么“推导”的,比如说例2是怎么直接出来$$[\curl(\curl \vec E)]_{\partial^2 E} = [\grad(\div\vec E) - \laplacian \vec E]_{\partial^2 E}$$的这中间跳过了什么。

  3. 9月前小时 重新编辑

    @FatFish (1)式的$A\partial U$角标似乎说明A在导数外面,那最右边应该是$ (\vec A \vdot \grad) U$才对啊。

    你是指式 3 吧, 这个的确是我打错了,已经修改了。

    @FatFish 比如说例2是怎么直接出来

    由于 $[\curl(\curl\vec E)]_{\partial^2 E}$ 右下角已经声明了二阶导数都要对 $E$ 进行(事实上也只能对 $E$ 进行), 所以方括号中就可以把 $\grad$ 看成一个普通矢量(例如 $\vec A$)进行连续叉乘的化简
    $$\vec A \cross (\vec A \cross \vec E) = \vec A (\vec A\vdot \vec E) - \vec A^2 \vec E$$
    因为众所周知,
    $$\vec A \cross (\vec B \cross \vec C) = \vec B (\vec A \vdot \vec C) - \vec C (\vec A \vdot \vec B)$$
    剩下的例子也类似, 还有就是由乘法的求导法则, 我们有
    $$[\dots]_{\partial (AB)} = [\dots]_{B\partial A} + [\dots]_{A\partial B}$$

  4. 支持一下楼主。个人感觉就是把 \(\nabla\) 形式上的向量性和作为微分算子的性质分开来处理了,感觉是干净了许多。问题是这种方法建立在Vector algebra(三维向量空间的点乘、叉乘)上,不太容易推广到一般张量场的微分算子上。如果能用geometric algebra(外代数)的语言重新整理一下说不定可以得到更好的结果。

  5. 9月前小时 重新编辑

    @aleph0 ……不太容易推广到一般张量场的微分算子上……

    有道理,谢谢

  6. 9月前小时 重新编辑

    我在读英文教材的时候时常会遇到作者自己发明的各种小符号, 例如 Daniel 的 An Introduction to Thermal Physics 中, 在“弱相互作用气体”一章发明了如下符号
    1.png
    2.png
    3.png
    (其实我不确定这个是不是大家都这么用还是作者发明的)

  7. @小时 我开这个贴主要是想介绍一种简单得多的符号,推导时可以省去爱因斯坦求和约定,一大堆角标,一堆单位矢量,还有那个 identity,你不觉得这在教育学中是一件很有意义的事情吗?杀鸡焉用牛刀,等到学张量了再开始学你那些也不迟啊。我最近在写教材,我给你引用一句话,“美国的教材:不懂?我给你打个比方吧,懂了吧,我们来学下一个。国内的教材:你们这群傻X,来看看我有多牛X”。

    再说我都一再强调已经会你那套推导了,觉不觉得麻烦是我的观点是我的自由,我就是不喜欢杀鸡用牛刀。我不是做理论物理的,我是做应用光学实验的,也不学广义相对论微分几何张量分析。每个人懂的东西都不一样,我觉得理所应当然要懂的说不定你也不懂。这不是高中,给你来个考纲,大家每天就学这几个东西。

    是这样 我确实是戾气重了 向你道歉

  8. 9月前unsinn 重新编辑

    @小时 我在读英文教材的时候时常会遇到作者自己发明的各种小符号, 例如 Daniel 的 An Introduction to Thermal Physics 中, 在“弱相互作用气体”一章发明了如下符号
    (其实我不确定这个是不是大家都这么用还是作者发明的)

    这些图被称为cluster,相关的技术是Cluster expansion.

  9. @勇者护手 是这样 我确实是戾气重了 向你道歉

    没关系 /<<

  10. @unsinn 这些图被称为cluster,相关的技术是Cluster expansion.

    酱紫,谢啦

  11. FatFish

    20楼 2018年3月28日 物理版主, 优秀回答者

    @小时 你是指式 3 吧, 这个的确是我打错了,已经修改了。

    你说得对,是(3)式。

    @小时 因为众所周知$$\vec A \cross (\vec B \cross \vec C) = \vec B (\vec A \vdot \vec C) - \vec C (\vec A \vdot \vec B)$$

    其实计算这个式子不是一样要展开算一通分量吗……

  12. @FatFish 其实计算这个式子不是一样要展开算一通分量吗……

    这个 /== 但是这个式子但凡学了叉乘的人都应该学过吧。

  13. FatFish

    22楼 2018年3月28日 物理版主, 优秀回答者
    9月前FatFish 重新编辑

    @小时 这个 /== 但是这个式子但凡学了叉乘的人都应该学过吧。

     /-_- 主要是,我一开始看你的说法以为是某种不用算分量就能解决问题的技巧,但是结果也只是把微分的运算分开了,该算分量照样得算。那样其实从头算起的计算量没啥差别。

  14. 9月前小时 重新编辑

    @FatFish /-_- 主要是,我一开始看你的说法以为是某种不用算分量就能解决问题的技巧,但是结果也只是把微分的运算分开了,该算分量照样得算。那样其实从头算起的计算量没啥差别。

    好吧理解你的意思了。谢谢啊

  15. tyj518

    24楼 2018年3月29日 优秀回答者

    @FatFish 你说得对,是(3)式。

    其实计算这个式子不是一样要展开算一通分量吗……

    我好像在哪里见过不用展开分量来证这个等式的方法。

  16. 说起来法国人为了避免使用nabla算符的歧义混淆,使用\( \vec{grad}() \) 表示梯度,\( div() \)表示散度,\( \vec{rot} \)表示旋度,\( \Delta() \)表示拉普拉斯算符,之后的各种公式就靠推一遍背过了。

  17. 楼主的意思我大概明白,想把普通的矢量公式,运算法则推广到带算子的矢量公式,然后通过角标来辨明微分算子作用对象。其实大概在半年前我也考虑过这个,也写了一个小的总结,不过之后没有再看过,我觉得我们可以再讨论讨论

  18. @小时 我在读英文教材的时候时常会遇到作者自己发明的各种小符号, 例如 Daniel 的 An Introduction to Thermal Physics 中, 在“弱相互作用气体”一章发明了如下符号
    1.png
    2.png
    3.png
    (其实我不确定这个是不是大家都这么用还是作者发明的)

    @FatFish 我是不是和你讨论过这个来着的

  19. 2周前

    monad

    28楼 1月4日
    2周前monad 重新编辑

    @小时 在用 \(\grad\) 算符计算梯度, 散度和旋度时, 我们几乎可以将其看作一个矢量进行运算, 唯一的区别就是我们需要明确每一项中的偏微分是对那些变量进行的。 例如
    \begin{align}
    \div(U\vec A) &= \pdv{x} (UA_x) + \pdv{y} (UA_y) + \pdv{z} (UA_z)\\
    (\vec A \vdot \grad) U &= A_x \pdvTwo{U}{x} + A_y \pdvTwo{U}{y} + A_z \pdvTwo{U}{z}
    \end{align}
    如果以上两式中把 $\grad$ 符号替换成一个普通的矢量, 两式将没有任何区别。 可见 $\grad$ 符号包含了另一层信息, 这个信息通过 $\grad$ 所在的位置来体现, 但我们希望能定义一种新的符号 $[\dots]_{\dots}$, 把偏导算符的作用对象在方括号的角标中声明, 使得在方括号内的 $\grad$ 可以像普通矢量一样进行运算, 例如
    \begin{equation}
     [\div(U\vec A)]_{A\partial U}
     \equiv [\vec A\vdot \grad U]_{A\partial U}
     \equiv [U\div \vec A]_{A\partial U}
     \equiv \vec A \vdot \grad U
    \end{equation}
    又如, 利用矢量公式 $\vec A\cross(\vec B\cross \vec C) = \vec B (\vec A\vdot \vec C) - \vec C(\vec A\vdot\vec B)$, 有
    \begin{equation}
    [\curl (\vec A\cross\vec B)]_{\partial (AB)} = [\vec A (\div \vec B) + \vec B (\div \vec A)]_{\partial (AB)}
    \end{equation}
    另外, 由乘法的求导法则,有
    \begin{equation}
    [\dots]_{\partial (AB)} = [\dots]_{B\partial A} + [\dots]_{A\partial B}
    \end{equation}
    使用这个新符号, 我们可以推导许多常用的矢量公式。

    楼主的方法从本质上来说其实只是写了一些自己规定的“注释”,突出了一部分运算的核心逻辑。
    我自己在学习和使用Nabla符号的时候也遇到过很多怎么看怎么不顺眼的地方,不过现在用多了就习惯了。
    另外楼主提到的教育意义我很同意,至少可以让那些容易犯错的同学少出错。
    总的评价,很赞!

  20. monad

    29楼 1月4日

    其实吧,楼主的工作相当于把原本比较玄乎的心法给实体化了,这就很厉害了。

  21. 上周

    能搞清楚微分作用的对象大概确实是件好事吧。。。当初学规范场的时候看着一堆不知道往哪作用的算符超气。。。最后还是得自己从头推。。。。但是这种注释略繁琐

 

后才能发言