初来乍到,问道数学题

  1. 去年

    设函数f(x)在[0,2]上连续,且\( \int_{0}^{2}f(x)dx\)=0,\(\int_{0}^{2}xf(x)dx\)=a\(> \)0.证明 \(\exists \xi
     \)\(\in \)[0,2],使\( \left | f(\xi)\right | \geq a\)

  2. 应该可以用反证法。

  3. @涂效灰 应该可以用反证法。

     /TT 不会啊

  4. @1726494692 /TT 不会啊

    具体操作我懒得写了 /<<

  5. @涂效灰 具体操作我懒得写了 /<<

    帮忙写一下呗 /0o0

  6. 11月前

    $\sup\left | f \right |\geqslant \frac{(\int_{\Sigma } Pf \mathrm{d}x)\lambda +(\int_{\Sigma } Qf \mathrm{d}x)\mu }{\int_{\Sigma } \left | \lambda P+\mu Q \right | \mathrm{d}x}$
    $\Sigma = \left [ 0,2 \right ],
    P=1,Q=x,\lambda =-1,\mu =1$
    由闭区间上连续性知区间内上确界必能达到

  7. 9月前

    由于f连续,故只需证明\[\max\left | f(x) \right |\geq a\]
    反证法,假设f在[0,2]的最大值小于a,则
    \[a=\int_{0}^{2}(x-1)f(x)dx\leq \int_{0}^{2}\left | x-1 \right |\left | f(x) \right |dx
                                           \leq a\int_{0}^{2}\left | x-1 \right |dx
                                           =a\]
    故\[\int_{0}^{2}\left | x-1 \right |\left | f(x) \right |dx=a\]
    因此\[\int_{0}^{2}(a-\left | f(x)\right |)\left | x-1 \right |dx=0\]
    故f恒等于a或f恒等于-a 这显然与题意矛盾

    北大的《数学分析解题指南》有一道类似的题

  8. 9月前低调神 重新编辑

    \[|a|=\abs{\int _{0}^{2} (x-1)f(x)dx}\leqslant \int _{0}^{2}| x-1||f(x)|dx=f(\xi ) \int _{0}^{2}| x-1|dx=f(\xi ) \]

     /<<


    偷偷改一波

  9. 9月前十三幺 重新编辑

    @低调神 \[|a|=|\int _{0}^{2} (x-1)f(x)dx|\leqslant \int _{0}^{2}| x-1||f(x)|dx=f(\xi ) \int _{0}^{2}| x-1|dx=f(\xi ) \]

     /<<

    还以为是给上一楼纠错,原来......
     /<< /:/
    话说绝对值比里面内容还小不觉得看着难受嘛

  10. 京斯

    10楼 2018年3月25日 管理员

    @十三幺 话说绝对值比里面内容还小不觉得看着难受嘛

    这样是不好看,可以写成 \left|...\right|
    $$\left|\int _{0}^{2} (x-1)f(x)\d x\right|$$或者用论坛设置的宏 \abs{...}

 

后才能发言