正方晶格模型与HgTe量子井的关系

  1. 去年

    在张首晟和他的学生Bernvig,Hughes关于利用HgTe量子井实现QSHE的经典文献中,他们使用了一个基于紧束缚近似的正方晶格模型来描述QSHE。这个模型的哈密顿量和基于k.p微扰方法得出的描述hgte量子井的哈密顿量在k->0时几乎是一样的。我的疑惑是,正方晶格模型看上去和hgte量子井区别很大,为什么它们的哈密顿量这么相似?

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  2. Phantom_Ghost

    2楼 2017年5月26日 数学版主, 物理版主, 优秀回答者
    去年Phantom_Ghost 重新编辑

    这里你缺乏的是关于人们对材料研究的逻辑思路的整体理解:

    第一性原理数值计算的办法可以给出整个BZ的能带结构,但是却难以在解析上对波函数的性质进行分析,也因此不能理论上方便地给出材料结构变化而影响电子结构的描述;进而人们根据第一性原理的数据,可以利用$\mathbf{k}\cdot\mathbf{p}$方法从解析上分析,当然它也是只能在一定区域内能细致地描述能带的结构(也就是可以得到低能有效的少能带模型,这些模型里面的有效参数就根据第一性原理计算来的准确数值来赋值)。从这些低能的模型中,人们抓住模型的主要性质——对称性,进而构造得到低能的晶格模型来完全理论地分析一个晶格材料下的低能物理(这就是凝聚态物理下的演生的思维模式体现)。

    现在来看HgTe/CdTe量子阱这种半导体体系。在描述直接带隙的III-V族或者II-VI族半导体材料,人们一般只考察最低导带和最高几个价带。在$\Gamma$点处,导带通常由s轨道的电子构成,价带则由p轨道的电子构成。

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    再考虑到自旋自由度之后,导带所对应的表示为$|\Gamma_6,\pm\frac{1}{2}\rangle$,而价带则则由于(内禀)自旋-轨道耦合作用被劈裂成四重简并$|\Gamma_8,\pm\frac{3}{2}\rangle$,$|\Gamma_8,\pm\frac{1}{2}\rangle$子带(它们分别被称为重空穴带和轻空穴带)和两重简并的$|\Gamma_7,\pm\frac{1}{2}\rangle$子带(又被称为自旋轨道劈裂带)。

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    将这些态作基函数,这个8能带模型的有效哈密顿量称为Kane模型。这里要注意的是,s波$\Gamma_6$带和p波$\Gamma_7$,$\Gamma_8$带直接耦合项总是线性的,正是这种线性的耦合使得这个哈密顿量在能隙接近于零的时候是Dirac型的。对于Kane模型,在空间反演下体系是保持不变的。但有些材料例如闪锌矿结构的半导体材料,体系不存在空间反演对称中心,这种情况就会出现Dresselhaus SOC;再例如对这里的HgTe量子阱的$z$方向上加应力或者电场,就会导致结构反演不对称,从而出现Rashba SOC。在这种情况下对于p型半导体材料中的空穴,当图中所示的能隙$E_0$和自旋-轨道劈裂$\Delta_0$均足够大时, 我们只需要用$\Gamma_8$四个带描述体系的低能行为,空穴态表现为一个3/2自旋的粒子(构造$\boldsymbol{S}$为相应的3/2自旋算符,$S_z\in\{-\frac{3}{2},-\frac{1}{2},+\frac{1}{2},+\frac{3}{2}\}$)。这时8带的Kane模型就有效地退化为4带Luttinger模型(用二阶微扰理论,将$\Gamma_6$和$\Gamma_7$带微扰掉):
    \[
    H=\frac{1}{2m}[(\gamma_1+\frac{5}{2}\gamma_2)k^2-2\gamma_2(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{S})]
    \]
    从以上这些模型,我们分析下低能的$\Gamma_8$能带的对称性,简单来看这是个$SU(2)_\text{LH}\times SU(2)_\text{HH}=SO(4)$,于是可寻思相应的Lie代数应为$\{\Gamma^a,\Gamma^b\}=2\delta_{ab}\mathbb{I}_{4\times 4}$,哈密顿量应该可以通过生成元来重新表示$H=\varepsilon(\boldsymbol{k})+d_a(\boldsymbol{k})\Gamma^a$。但实际上$SO(4)$是不足够的,我们需要一个更大但又不太冗余的对称群覆盖这个对称性,一个自然选择是$SU(4)=SO(5)\times S^5$,$SO(5)$的生成元构造为$\Gamma^a=\xi_a^{ij}\{S^i,S^j\}$,于是就把3/2自旋的对称性自然包含进来了。于是目标空间的Bloch矢量分量根据之前Luttinger模型的哈密顿量重新表达后得到:
    \begin{align*}
    \varepsilon(k)&=\frac{\gamma_1}{2m}k^2\;\;\;,\;\;\;d_a(k)=-3\xi_a^{ij}k_i k_j
    \end{align*}
    张首晟等人构造的BHZ模型就是基于这个低能模型的有效对称性,于是动量(波矢)空间的BHZ模型哈密顿量就用之前的对称性下的$\Gamma^a$矩阵表示(而这里Lie代数就是Clifford代数,然后可以选择熟悉的Pauli矩阵进行直积构造出来表象$\Gamma^1=\sigma^x\otimes\tau^x,\Gamma^2=\sigma^y\otimes\tau^x,\Gamma^3=\sigma^z\otimes\tau^x,\Gamma^4=\mathbb{1}\otimes\tau^y,\Gamma^5=\mathbb{1}\otimes\tau^z$):
    \begin{align*}
    H_\text{BHZ}&=\varepsilon(\boldsymbol{k})\mathbb{I}_{4\times 4}+d_3(\boldsymbol{k})\Gamma^3+d_4(\boldsymbol{k})\Gamma^4+d_5(\boldsymbol{k})\Gamma^5\\
    \\
    &=
    \left(\begin{array}{cc}
    h(\boldsymbol{k})& 0\\
    0 & h^*(-\boldsymbol{k})\\
    \end{array}\right)\;\;\;,\;\;\;h(\boldsymbol{k})=\varepsilon(\boldsymbol{k})\mathbb{I}+\boldsymbol{d}(\boldsymbol{k})\cdot\boldsymbol{\sigma}
    \end{align*}
    如果读过Kane,Mele的工作(QSH的理论奠基工作)这个哈密顿量就和Kane-Mele模型类似,哈密顿量是块对角化的,其中每一块都是一个有质量能隙的Dirac哈密顿量。这两块分别代表自旋向上和自旋相下的部分,互为时间反演共轭。

    而要得到正方晶格的紧束缚模型,就将此能带周期延拓(也就是所谓的周期BZ区图像),(逆向地)使用常见的近似手段$k_i\leftrightarrow \sin(k_i)$和$1-\frac{k_i^2}{2}\leftrightarrow\cos(k_i)$。那么BHZ模型哈密顿量就变为
    \[
    H_\text{BHZ}=\sum_{\boldsymbol{k}}[\hbar v_F\sin(k_x)\Gamma^3+\hbar v_F\sin(k_y)\Gamma^4+M(\boldsymbol{k})\Gamma^5]
    \]
    Fourier变回实空间就得到晶格紧束缚模型。这个晶格模型在取有限尺寸(比如在$y$轴方向)以后,就可以通过Schrödinger方程解出边缘态,那么在区域拓扑非平庸相的参数区内也得出无能隙的1+1D螺旋费米子边缘态(在边缘上取连续极限得到场形式):
    \[
    H_\text{edge}=\hbar v_F\int dx(\psi^\dagger_{R\uparrow}i\partial_x\psi_{R\uparrow}-\psi^\dagger_{L\downarrow}i\partial_x\psi_{L\downarrow}).
    \]

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    由于时间反演对称性,总的Hall电导则一定等于零。考虑自旋Hall电导,按照通常的定义,应该等于自旋向上的Hall电导减去自旋向下的Hall电导,则显然是不为零而是$2e/h$量子化的。

    而事实上,也正如我上面提到,从理论上提出QSH的当然并不是张首晟,而是Kane和Mele,所以实际上张等人正是受到Kane-Mele模型的启发去通过对称性构造这样的哈密顿量,进而寻找合适的体系去实现。至于为何会寻找HgTe这种半导体体系,可以更进一步阅读:石墨烯理论

 

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