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  1. 2月前
    2018-11-29 21:34:19

    谢谢考证。
    但我懂的东西太少了,只知道一点点微分流形和一点点代数拓扑。我想问要看懂指标定理的热核证明需要些什么基础,该怎么样点技能点,该按顺序看些什么书呢?

  2. 2018-11-29 04:03:26

    @DTSIo 这是带边流形的 Hodge 分解的特例. 一般结论可参考有第二和第三作者署名的另一篇文章 Cohomology of Harmonic Forms on Riemannian Manifolds With Boundary , 那里把来龙去脉解释得更清楚.

    闭流形上的hodge分解是上世纪30年代发表的,这篇论文是2005年的,多了一个带边条件,为什么隔了这么久,是因为遇到本质困难?

  3. 2018-11-20 11:19:26

    @折木 奉太郎 $VF(\bar\Omega)$的确不希尔伯特。不过对于任意满足$V\perp G$的$V\in VF(\bar\Omega)$,有
    $$
    0=\int_{\Omega} V\nabla\phi
    =\int_{\Omega}\nabla\cdot(\phi V)-\int_{\Omega}\phi\nabla\cdot V
    =\int_{\partial\Omega}\phi V\cdot n-\int_{\Omega}\phi\nabla\cdot V,\qquad
    \forall \phi\in C^\infty(\bar\Omega).
    $$
    由$\phi\in C^\infty(\bar\Omega)$的任意性并注意到$V$光滑,可得$\nabla\cdot V=0$以及$V\cdot n=0$。

    原文证明的逻辑就是我问题中表述的那样。
    实际上原文的目的是证明$\{V=\nabla\times U|\nabla\cdot U=0,U\cdot n=0\}$中$V\cdot n=0$,
    然后他证明了$V\perp G$,然后就是问题中表述的那样,$V\in K$,所以$V\cdot n=0$。

    但实际上因为$V=\nabla\times U$,所以$\nabla\cdot V=0$,经过您的提示,$0=\int_{\Omega} V\nabla\phi=\int_{\partial\Omega}\phi V\cdot n-\int_{\Omega}\phi\nabla\cdot V=\int_{\partial\Omega}\phi V\cdot n$,取$\phi=V\cdot n$就有$V\cdot n=0$了。

    所以我感觉是作者误导了我 /><

  4. 2018-11-20 10:50:33

    @DTSIo 这是带边流形的 Hodge 分解的特例. 一般结论可参考有第二和第三作者署名的另一篇文章 Cohomology of Harmonic Forms on Riemannian Manifolds With Boundary , 那里把来龙去脉解释得更清楚.

    感谢! /vv 果然有更广泛的结论,不过看样子我还要学不少东西才能看懂了。

  5. 2018-11-19 14:24:49

    $\Omega\subset \mathbb{R}^3$是有界开区域,有光滑边界$\partial{\Omega}$,
    定义$VF(\bar\Omega):=C^{\infty}(\bar\Omega,\mathbb{R}^3)$,
    其上有内积$\langle V,W\rangle:=\int_{\Omega}V\cdot W\mathrm{d\,vol}$.
    可以证明$VF(\bar\Omega)$是$K$与$G$的正交直和,其中$K:=\{V\in VF(\bar\Omega)|\nabla\cdot V=0,V\cdot n=0,n$为$\partial{\Omega}$上的法向量$\}$
    ,$G:=\{V\in VF(\bar\Omega)|V=\nabla \varphi ,\varphi\in C^{\infty}(\bar\Omega)\}$

    问:若$V\in VF(\bar\Omega),V\perp G$,则是否有$V\in K$?

    (似乎$VF(\bar\Omega)$关于这个内积是不是Hilbert空间?)

    我在看美国数学月刊上一篇文章Vector Calculus and the Topology of Domains in 3-space。证明过程中有这一步,我只知道有个定理说Hilbert空间$H$,$M$是闭子空间,则$H=M\bigoplus M^{\perp}$,但感觉用不到上面一个问题上啊。
    希望大家指点。

  6. 3月前
    2018-11-14 23:32:03

    @munuxi 首先lz应该很清楚$H(f)$的定义,反复应用ker和coker的泛性质,可以得到如下小命题:

    请问图中性质是哪本书里的吗?或者说有什么书是不借助freyd-mitchell嵌入定理讲同调代数的吗?(我看freyd-mitchell嵌入定理的证明似乎挺复杂。。。)

  7. 2018-11-12 04:55:58

    @munuxi 首先lz应该很清楚$H(f)$的定义,反复应用ker和coker的泛性质,可以得到如下小命题:

    感谢!小命题性质1.5.证了半天才证出来。。。

  8. 2018-11-05 18:37:42

    非常感谢

  9. 2018-11-04 18:01:25

    我看到两种stokes公式,一种是流形上的链上的stokes公式,一种是带边流形上的stokes公式。后者复杂许多,两者是等价的吗,若有区别,区别是什么?

  10. 2018-10-30 14:19:03

    @unsinn abelian category 也可以追图,技术上没问题的,元素 可以用所有指向该object的箭头的等价类来表示。

    emmm,看了wiki的介绍,然而我还是没能做出来 /:(

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