$$
f_t:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ t \in \mathbb{R}
$$
是一族可积函数使得函数
$$
g_x:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ g_x(t):=f_t(x)
$$
对于任一个 $x\in\mathbb{R}$ 连续。

如果存在一个可积函数 $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 使得对任一 $t\in\mathbb{R}$ 有 $|f_t|<g$。证明函数
$$
h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ h(t):=\int \! f_t\,\text{d}m
$$
是连续的，并给出一个例子 $f_t$ 使得 $h$ 不连续如果不存在上述函数 $g$ 。

@foozhencheng 比如一个离散的分布，它的累积分布函数就不是连续的。。。

那不就是delta么，

@DTSIo foozhencheng

理解了……确实我能够想象到一个不连续的CDF，我之前想象不出来什么样的PDF能够造成这样的CDF。感谢。

如果$(\Omega, \mathcal{F},P)$是一个概率空间，$X$是一个随机变量，累积分布函数可以定义为
\[
F_X:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, \ F_X(x):=P\left(X^{-1}\left(\left(-\infty,x\right]\right)\right)
\]
证明总存在一个可数集$Q\subset\mathbb{R}$使得$F_X\mid_{\mathbb{R}-Q}$是连续的。

我就想象不出来怎么会有一个不连续的累积分布函数……除非用delta函数……

似乎其实是很简单的问题……
如果A,B是 Null Set，A+B是否为Null Set？
如果A和B都可数或者有一者可数的话，可以用
\(\bigcup_{a_i \in A} \{a_i + b: b \in B\}\)
证明A+B是Null Set。
但是如果A和B都是不可数的话我就没有思路了……感觉可能就不是null set了？我尝试如果A和B都是Cantor Set，但是还是很迷茫。

思考了一下感觉我热统还没学到这=，=