蔡家麒

物理版主

最新动态 3天前

  1. 5天前
    2019-02-18 01:35:05

    事实上绝大部分需要疯狂使用这些identity的人都会熟悉一套非常简单的“微分形式”作为工具,计算会更加直接与清晰,例如对于1-form $A$,和0-form f:
    $$\text{div} A= *\d*A, \text{grad} f = \d f, \text{curl} A = *\d A$$
    那么推导上面的最复杂的公式:
    $$\text{curl} (\text{curl} A)=( *\d)( *\d) A=( *\d *)\d A=\d^\dagger \d A=(\Delta - \d\d^\dagger)A=\Delta A + \d( *\d *)A =\Delta A +\text{grad} (\text{div}A)$$
    非常方便。

  2. 上周
    2019-02-15 23:52:03
    蔡家麒 更新于 拓扑序

    写得非常棒。

  3. 5周前
    2019-01-14 23:24:46

    @折木 奉太郎 古典的(三维)欧氏几何理论是非常典型的公理化理论,其公理系统仅用到了基础的数理逻辑概念,甚至可以做到不依赖于集合论。因此“欧氏几何是向量空间”这种说法没什么意义。
    不过另一方面,我们可以用集合论给欧氏几何构造一个“模型”:任取一维数为$3$、其上定义有内积的实数域上的线性空间$V$,将$V$中的元素作为“点”,$V$的形如$\{s\mathbf{t}+\mathbf{b}:s\in\mathbb{R}\}$(其中$\mathbf{t},\mathbf{b}\in V$)的集合作为“线”,$V$中形如$\{\mathbf{x}\in V:(\mathbf{a},\mathbf{x})=b\}$(其中$\|\mathbf{a}\|=1$)的集合作为“面”,“点在线上”对应于集合的属于关系,“线在面上”对应于集合的包含关系等等。那么可以证明,古典欧氏几何中的各个公理与定理,均可转化为关于线性空间$V$的定理。这实际上就是解析几何干的事情。
    随着$3$维实内积空间成为古典欧氏几何的标准模型,数学家便把任意有限维的实内积空间称作“欧氏空间”,并且反过来用高维的欧氏空间来研究高维的欧氏几何,将其看作是古典欧氏几何的推广。

    类似于古典欧氏几何,非欧几何理论在创立之初同样是典型的公理化理论,公理系统仅用到基础的数理逻辑概念,并可以做到不依赖于集合论。因此“非欧几何是否是向量空间”这种说法同样没有什么意义。
    但我们同样可以在集合论的框架下给常见的非欧几何理论构造模型。与欧氏几何不同的是,非欧几何的模型一般不再能单纯建立在有限维线性空间之上,而通常是建立在更一般的微分流形之上。

    事实上,几何是一门学科分支的名字。题主问得类似“量子物理是希尔伯特空间不?”。什么是几何?按照通常的说法,几何就是研究流形及其上结构的一个数学分支。

    补充一个最近看到的和楼主的问题有关的事情,觉得很有趣。
    确定了几何之后,我们应该用什么样的办法去研究几何?下面一个纲领给出了回答:

    埃尔兰根纲领:
    https://en.wikipedia.org/wiki/Erlangen_program
    1、要利用变换群及其不变量去刻画几何性质。
    2、进一步,由变换群分类出所有可能的几何分类

  4. 6周前
    2019-01-07 21:54:36
    京斯 把 蔡家麒 移到了 物理版主
  5. 2019-01-07 21:46:40
    蔡家麒 更新于 Thermalization, ETH, MBL

    希望能看到更多的理解,随着你的更新,我可以及时补充一些comment。

  6. 3月前
    2018-11-07 23:38:34
    蔡家麒 更新于 PT对称

    @laserdog 我昨天算(qualitatively的思考了一下),Master Equation yields nothing new。而且本身也不是在强调superradiance而是在强调这种系统

    这就要看自己的风格了;Master Equation不需要给出新东西但是给出了哪里来的。superradiance是为了把整个改做的讨论的做完(说不定会有新东西)

  7. 2018-11-07 09:25:48
    蔡家麒 更新于 PT对称

    @laserdog 不是这个问题,是有一个referee说这个是错的… 不是不够prl标准而是错的… 这就很尴尬了

    说明有的时候也不能丢PRL去看看意见;最新的一些东西referee有时候看不懂

  8. 2018-11-06 00:06:08

    我想指出一些事情,是从龚明老师在科大开的拓扑在凝聚态物理中的应用一课中领悟到的。
    我们最常见的一类模型如下(一大类模型可以化作这个模型):
    \(H = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
      0&{{q^\dagger }} \\
      q&0
    \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
      0&{p + m\left( x \right)} \\
      {p + m\left( x \right)}&0
    \end{array}} \right)\)
    其中\(m(x)\)在x<0区域是负数,在x>0区域是正数。
    根据我们在SUSY Quantum Mechanics里的经验,看到我们就会想去平方,就会拿到:
    \({H^\dagger }H = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
      {{q^\dagger }q}&0 \\
      0&{{q^\dagger }q}
    \end{array}} \right) = I\left( {{p^2} + mp + pm + {m^2}} \right) = I\left( {{{\tilde p}^2} + \delta \left( x \right)} \right)\)

    我们熟知,在delta函数势下的薛定谔方程具有一个Bound state的解,这个本征解恰好对应了上面模型的edge state.

    进一步的,
    \(\begin{gathered}
      H = Q + {Q^\dagger } \hfill \\
      {H^2}Q = Q{H^2} = Q{Q^\dagger }Q \hfill \\
       \to \left[ {{H^2},Q} \right] = 0 \hfill \\
       \to {H^2}\psi = {\lambda ^2}\psi ,{H^2}Q\psi = {\lambda ^2}Q\psi \hfill \\
    \end{gathered} \)
    进而我们发现,如果\(\psi =(\psi_1,\psi_2)^T\)是一个零模,就会有\(q\psi_1=q^\dagger\psi_2=0, Q\psi = Q^\dagger \psi =0\)于是,具有SUSY的\(H^2\)的基态保持SUSY的条件是基态能量为0.

    而h也能给出我们熟知的winding number.

    这可能会导致一些深刻的后果;我还在想。

    此外,还有一些个high-order的模型可以通过这种办法(H^n)构造出一个low-order的模型进而被拓扑分类。
    我现在觉得winding number: \(W={1 \over {C_{2n+1}}} \int (GdG^{-1})^{2n+1}\) 会很基本。

  9. 2018-11-05 23:22:24
    蔡家麒 更新于 PT对称

    @laserdog 这个文章挺好读的,很清楚。不知道审稿出现了什么偏差,但是
    1、不用Linblad Master Equation仔细的去讨论,我觉得很奇怪,这个并不难;
    2、这样的Dicke Model还有一些superradiance之类的,如果能够给出 一个完整的dissipative phase diagram,仔细的去察看耗散下的标度关系(如果有), 我觉得PRL有戏;即便很有可能这样的耗散在没有泵浦的时候不会对superradiant phase造成很大的移动 (直觉上)。
    3、看起来这种自发破缺会打破不确定性原理。。

  10. 2018-10-29 23:40:04
    蔡家麒 更新于 PT对称

    PT symmetry不再是一个实验上很值得关注的事情了, 相对于PT symmetry,更加generic 的non-Hermitian system更加有趣。如果仅仅针对于光学系统,上面的参考文献已经差不多了。

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