楚耘

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最新动态 2月前

  1. 2月前
    2018-12-02 11:13:46

    @tyj518 这是Gordan’s theorem of alternative的一部分,应该是要用凸集分离定理的。

    大概明白了,多谢分享!

  2. 2018-12-02 09:58:18

    设$V$是$n$维欧氏空间,其内积为$(,)$。设向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\in V$满足如下条件:

    如果非负实数$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m$使得$\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\cdots+\lambda_n\alpha_m=0$,那么必有$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_m=0$。

    证明:必然存在向量$\alpha \in V$,使得$(\alpha,\alpha_i)>0$,$i=1,\cdots,m$。

    这个问题主要的难点在于条件很难用上去。如果向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性相关,我们可以用施密特正交化过程来构造符合要求的$\alpha$。现在的条件明显不符;有一种无从下手的感觉,求助,谢谢!

  3. 去年
    2017-04-14 19:18:18

    是的,无法证明收敛到0.这个问题已想通。先要证明f一致连续。

  4. 2017-04-11 07:27:44
    楚耘 发表了帖子 求助一道极限与导数的综合题

    设$f(x)\in C[0,+\infty)$,且对任何非负实数$a$,有
    \begin{align*}
    \lim_{x\to \infty}(f(x+a)-f(x))=0
    \end{align*}
    证明:存在$g(x)\in C[0,+\infty)$和$h(x)\in C^1[0,+\infty)$,使得$f(x)=g(x)+h(x)$,且满足
    \begin{align*}
    \lim_{x\to \infty}g(x)=0,~~\lim_{x\to \infty}h'(x)=0
    \end{align*}

    如果令$h(x)=\frac1 a\int_x^{x+a}f(t)dt$,则$h$的问题解决了。然而能否证明$g=f-h$当$x\to \infty$时趋于$0$?或者,由条件$\lim_{x\to \infty}(f(x+a)-f(x))=0$能否推出$\lim_{x\to \infty}f(x)$存在?

  5. 2017-03-11 19:31:11

    [attachment:58c3e4d2767fc]

  6. 2017-03-11 18:38:40

    已读懂,很巧妙,非常感谢Lozen !

  7. 2017-03-11 15:34:17

    设$-\infty<x_1<x_2<\cdots<x_n<+\infty$$(n\leqslant 2)$,并设次数不超过$n-1$次的代数多项式$C_k(x)$$(k=1,2,\cdots,n)$,满足条件
    \begin{align*}
    C_k(x_i)=\begin{cases}
    0,i\neq k,\\
    1,i=k
    \end{cases}~(i=1,2,\cdots,n)
    \end{align*}
    试证:$C_k(x)+C_{k+1}(x)\geqslant 1$,$x_k\leqslant x\leqslant x_{k+1}$ $(1\leqslant k\leqslant n-1)$。

  8. 2年前
    2017-02-13 14:49:05
    楚耘 更新于 求证f(x)f(x)f(x)为常值函数

    换个说法,设$f(x)$是$\mathbb{R}$上有界,或者有上界的连续可微函数,且存在正数$a$,使得$f'(x)=-a(f(x)-f(x-1))$.求证:$f'(x)=0$.

  9. 2017-02-13 13:00:50
    楚耘 发表了帖子 求证f(x)f(x)f(x)为常值函数

    设$f(x)$是$\mathbb{R}$上有界,或者有上界的连续函数,且存在正数$a$,使得$f(x)+a\int_{x-1}^x f(t)d t$为常数.求证:$f(x)$为常数.

  10. 2017-02-13 11:56:46
    楚耘 更新于 数学分析

    由$\lim_{n\to \infty}b_n=0$知$\{b_n\}$为有界数列,设$|b_n|<M$,$\forall n\in \mathbb{N}$.由$\sum_{n=1}^\infty a_n$绝对收敛知存在$L>0$,使得$\sum_{n=1}^\infty |a_n|<L$.此外,对$\lim_{n\to \infty}b_n=0$利用极限定义知,任给$\varepsilon>0$,必存在$N_1\in \mathbb{N}$,使对$\forall n>N_1$有
    \begin{align*}
    |b_n|<\frac{\varepsilon}{2L}\text{.}
    \end{align*}
    再由$\sum_{n=1}^\infty a_n$绝对收敛知,对以上$\varepsilon>0$,又存在$N_2\in \mathbb{N}$,使对$\forall l\geqslant m>N_2$,
    \begin{align*}
    \sum_{j=m}^l |a_j|<\frac{\varepsilon}{2M}\text{.}
    \end{align*}
    于是只要$n>N_1+N_2$,就有
    \begin{align*}
    \left|\sum_{k=1}^n b_ka_{n+1-k}\right|\leqslant & \sum_{k=1}^{N_1}| b_ka_{n+1-k}|+\sum_{k=N_1+1}^n |b_ka_{n+1-k}|\\
    \leqslant &M \sum_{k=1}^{N_1}|a_{n+1-k}|+\frac{\varepsilon}{2L}\cdot \sum_{k=N_1+1}^{n}|a_{n+1-k}|\\
    =& M \sum_{j=n-N_1+1}^{n}|a_{j}|+\frac{\varepsilon}{2L}\cdot \sum_{j=1}^{n-N_1}|a_{j}|\\
    \leqslant &M\cdot\frac{\varepsilon}{2M}+\frac{\varepsilon}{2L}\cdot L=\varepsilon\text{.}
    \end{align*}
    从而由极限定义知$\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n b_ka_{n+1-k}=0$.

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