@1344928452 ...

?

每次取俩拼出gcd,换掉原先那俩..

\[\frac{a_{n+1}}{(n-1)!}=n+\frac{a_n}{(n-2)!}\]\[a_n=\frac{n!}2(n\ge2)\]

4.
x^2+x+41=1(mod 2)
x^2+x+41=1,2(mod 3)

2.
其实才12121..

我也觉得. /asnowwolf-amuse

其实就是改成\(\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}^3}{b_{i}}\le A\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2+B\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2\),然后尝试局部\(\frac{a_{i}^3}{b_{i}}\le Aa_{i}^2+Bb_{i}^2\).
化成\(x^3-Ax^2-B\le0,x=\frac{a_i}{b_i}\),且已知\(x\in[\frac12,2]\).
显然尝试令\((x-\frac12)(x-2)\)是\(x^3-Ax^2-B\)的因式,即\(\frac18-\frac A4-B=8-4A-B=0\),解得\(A=\frac{21}{10},B=-\frac25\),于是A+B确实就是\(\frac{17}{10}\).
\(x^3-Ax^2-B=x^3-\frac{21}{10}x^2+\frac25=(x-\frac12)(x-2)(x+\frac25)\)这式子就这么来的.

@玩家一号 这个方法有点强，很想知道为什么会想到构造函数来得出不等式的，以前从来没有想过，算是打开了一条新思路 /<<

我也有那个式子但我不是构造的 /asnowwolf-amuse

目测固定两个ai或两个bi的话极值点为ai/bi=定值(或者区间端点).
其次(ai,bi)=(1,1)或(2,2)的可以扔掉,一对(1,2)和一对(2,1)可以一起扔掉,所以可以把所有(ai,bi)分成若干对(ai,kai)和若干对(1,2),或若干对(ai,kai)和若干对(2,1).

I.
\(\frac{\sum{a_i^2}}k+8t\le\frac{17}{10}(k^2\sum{a_i^2}+t),\sum{a_i^2}+4t=k^2\sum{a_i^2}+t\)
\(\sum{a_i^2}=\frac{3t}{k^2-1}\)
\(\frac{63t}{10}\le(\frac{17k^2}{10}-\frac1k)\sum{a_i^2}\)
\(21k^2-21\le17k^2-\frac{10}k\)
\(4k^3-21k+10=(2k+5)(k-2)(2k-1)\le0,\frac12\le k\le2\)

II.
\(\frac{\sum{a_i^2}}k+\frac t2\le\frac{17}{10}(k^2\sum{a_i^2}+4t),\sum{a_i^2}+t=k^2\sum{a_i^2}+4t\)
\(\sum{a_i^2}=\frac{3t}{1-k^2}\)
\((\frac1k-\frac{17k^2}{10})\sum{a_i^2}\le\frac{63t}{10}\)
\(\frac{10}k-17k^2\le21-21k^2\)
跟I一样了..

不保证对..

@玩家一号 不过我想请教的其实是那个不等式的证明诶 /<<

这就是一帖带多问题的后果..对方会选择性回复 /asnowwolf-amuse

@玩家一号 (不大会用编辑器，为什么上下标跑到了右边）

因为你用的是

\(喵了个咪\)

而不是

\[喵了个咪\]

.前者是行内的.