@一坨废翔 一般规律的话用欧拉公式 $ e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$ 把三角拆开也许可以看得更清呢

 /<< 你可以试试看，我觉得非也。。

我有了一个大胆的想法：
n为奇数时
\[\sin ^n\left( A+B \right) =\sin ^n\left( A \right) +\sin ^n\left( B \right) +\] \[\sum_{k=1}^{\frac{n+1}{2}}{\left( -1 \right) ^k\mu _k\sin \left( \frac{\left( 2k-1 \right)}{2}A \right)}\sin \left( \frac{\left( 2k-1 \right)}{2}B \right) \sin \left( \frac{\left( 2k-1 \right)}{2}\left( A+B \right) \right) \]
n为偶数时
\[\sin ^n\left( A+B \right) =\sin ^n\left( A \right) +\sin ^n\left( B \right) +\sum_{k=1}^{\frac{n}{2}}{\left( -1 \right) ^{k+1}\gamma _k\sin \left( kA \right)}\sin \left( kB \right) \cos \left( k\left( A+B \right) \right) \]

完完全全符合我的直觉233333

注意到\[ \sin(A+B)=\sin(A)+\sin(B)-4\sin(\frac{A}{2})\sin(\frac{B}{2})\sin(\frac{A+B}{2}) \]
与 \[\sin^2(A+B)=\sin^2(A)+\sin^2(B)+2\sin(A)\sin(B)\cos(A+B)\]

感觉非常微妙，有没有什么有意思的推广恒等式。。 /vv

( 2019/02/19) 尝试中…… \[\sin^3(A+B)=\sin^3(A)+\sin^3(B)-3\sin(\frac{A}{2})\sin(\frac{B}{2})\sin(\frac{A+B}{2})\]\[ +\sin(\frac{3A}{2})\sin(\frac{3B}{2})\sin(\frac{3A+3B}{2})\]
利用了W法，凑出来了……\[\sin^4(A+B)=\sin^4(A)+\sin^4(B)+2\sin(A)\sin(B)\cos(A+B)\] \[-\frac{1}{2}\sin(2A)\sin(2B)\cos(2A+2B)\]

1853年，傅科证明光速在水中比在空气中小，这是有利于波动说的一个有力证据。

请问是如何证明的（找不到记载，给链接也行 /-_- ）。

如下数列
\[a_{1}=0 \]\[a_{n+1}=n!+(n-1)a_{n}\]
是否能找到\(a_{n}\)通项。

[attachment:5b23352895229]

问题我觉得似乎和双曲函数有关。

[attachment:5b224a867ef0d]

 /...

我遇到的问题是这个：（1）
\[\int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\ln(\sin{x})}{\sqrt{x}}dx\]

我的想法是先算出 （2）
\[\int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{k} {x}}{\sqrt{x}}dx\]

开始了，我算了一下\( k=1\)时 （3）
\[\int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin{x}}{\sqrt{x}}dx=\sqrt{2\pi} S(1)\]

感觉（2）很难解决，（1）似乎。。。。

论坛之前也有一个类似的不等式：

\[nL_{n}^{+}L^2\geqslant L^2L_{n}^{+}\]

https://chaoli.club/index.php/4046/0#p45512

emmm，这样好像没什么用

\[\Leftrightarrow nL_{n}^{+}L^2(L^1-\frac{1}{n}L_{n}^{+})\geqslant 0\]