unsinn

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最新动态 1小时前

  1. 4周前
    2019-01-19 21:11:22

    那我们就有必要复习一下微积分了。设有光滑函数$f(x)$,然后有一个小量$\omega(x)$,此时考虑$f(x+\omega(x))$,其近似于
    \[
    f(x)+f'(x)\omega(x)+\cdots,
    \]所以书里面的$\partial x/\partial \omega$对应这里应该是$f'(x)$. 在这里,我们当然也可以还原出来:如果我们将$f(x+\omega)$看成omega的函数$g(\omega)$,则
    \[
    \left.\frac{\partial g}{\partial \omega}\right|_{\omega=0}=f'(x).
    \]然后他混用符号,将其还是记作$\partial f/\partial \omega|_{\omega=0}$.

    如果你感到困惑,完全可以在推导的开始,将坐标变换写成
    \[
    x^\mu\to x^\mu+y_a^\mu(x)\omega_a(x),
    \]其中$y_a^\mu$是一个有限量,而$\omega_a$是一个一阶小量,然后重复所有的推导即可。

    我怀疑atland在推导里面已经用过运动方程了,否则1.43的第二项不会那么好看,但是我实在不想跟他算一次,它上下标都不分的。不管怎么样,推导是保留到一阶小量,$\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi^{i}}F^{i}_{a}\omega _{a}$也是不能扔的。和$\omega$正比的项应该是消去了的,可能用了运动方程。

  2. 5周前
    2019-01-18 14:26:42

    就你问的问题来说,首先$\omega$是小量,但可以依赖于坐标,所以本身求导是没什么问题的。其次,$\partial x/\partial \omega$是一个有限量,这样$\omega \partial x/\partial \omega$是一个一阶小量。举个例子,考虑变换$x\mapsto \exp(at)x$,其中$a$是一个小量,则展开应该是\[
    x\mapsto x+atx+\dots,
    \]这里的$t$就是$\partial x/\partial \omega$,显然不是小量。所以测度部分保留到$\omega\partial x/\partial \omega$就是保留到一阶,和其他的没有矛盾。

    下面解释一些Atland与别的教科书上的区别和联系,顺道回答一下第二点。

    一般来说,我们都会无视坐标的变换,因为\[
    \int dx' \Psi[\varphi'(x')]=\int dx \Psi[\varphi'(x)],
    \]其中$\Psi$是场的函数,这基本只是做了一个坐标的重命名而已。所以,我们只要关注场的主动变换,此即一般的教科书上 Noether 定理唯一关注的东西。以无穷小坐标变换$x^\mu\to x^\mu+a^\mu(x)$为例,我们令$\varphi'(x')=\varphi(x)$. 在Atland的表述中,此时场是没有变的,即$F=0$,只有坐标部分。这里,等价地,我们只要关注场的变换
    \[
    \varphi'(x)=\varphi'((x-a)')=\varphi(x-a)=\varphi(x)-a^\mu(x)\partial_\mu \varphi(x)
    \]即可。更一般地,我们可以把任意的(保险一点,足够好的局部的)的坐标变换都变到场的变换上去。(这也可以看到为什么坐标变换会和场的变换牵连到一起。)

    不管怎么样,假设我们有场的变换
    \[
    \phi(x)\to \phi(x)+\alpha(x)\Delta\phi(x),
    \]如果它使得作用量$S$的变化(并不假设诸如要on-shell,即满足运动方程等)如下
    \[
    \Delta S=-\int dx \,j^\mu(x)\partial_\mu\alpha(x).
    \]此时,如果作用量在这个变换下保持不变(对任意的$\alpha$),则应该成立$\partial_\mu j^\mu(x)=0$. 这就是 Noether 定理。

    还是以平移为例,$x^\mu\to x^\mu-\epsilon^\mu(x)$显然不会改变作用量,等价地,考虑一个矢量场$\varphi^\mu$的变换$\varphi^\mu\to \varphi^\mu+\epsilon^\nu\partial_\nu\varphi^\mu$,则我们有
    \[
    \begin{aligned}
    0=\Delta S=&\int d x\,\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi^\mu}\epsilon^\nu(x)\partial_\nu \varphi^\mu(x)+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\rho \varphi^\mu}\partial_\rho[\epsilon^\nu(x)\partial_\nu \varphi^\mu(x)]\right)\\
    =&\int d x\,\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi^\mu}\partial_\nu \varphi^\mu(x)+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\rho \varphi^\mu}\partial_\rho\partial_\nu \varphi^\mu(x)\right)\epsilon^\nu(x)+\int d x\,\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\rho \varphi^\mu}\partial_\rho\epsilon^\nu(x)\partial_\nu \varphi^\mu(x)\\
    =&\int d x\,\left(\epsilon^\nu(x)\partial_\nu \mathcal{L}+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\rho \varphi^\mu}\partial_\nu \varphi^\mu(x)\partial_\rho\epsilon^\nu(x)\right)\\
    =&\int dx\,\left(\delta^\mu_\nu\epsilon^\nu(x)\partial_\mu \mathcal{L}+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\mu \varphi^\rho}\partial_\nu \varphi^\rho(x)\partial_\mu\epsilon^\nu(x)\right)\\
    =&\int d x\,\left(-\delta^\mu_\nu \mathcal{L}+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\mu \varphi^\rho}\partial_\nu \varphi^\rho(x)\right)\partial_\mu\epsilon^\nu(x)
    \end{aligned}
    \]这里我们没有用过任何运动方程,也应该得到
    \[
    \partial_\mu\left(-\delta^\mu_\nu \mathcal{L}+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\mu \varphi^\rho}\partial_\nu \varphi^\rho(x)\right)=0,
    \]这就是能量动量张量的守恒方程,可见其即使是off-shell都成立的。

    特别地,我们可以考虑在满足运动方程意义上的守恒律。 此时,一般来说,我们还可以给出一个$j$的表达式,比方说,如果某个变换不仅使得$S$不变,而且使得$\mathcal L$也不变,则对标量场$\phi$的变换而言,此时\[
    j^\mu=\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial^\mu\phi)}\Delta\phi.
    \]这个推导是简单的,这里就略去了。

  3. 2019-01-18 13:25:58

    @ShongLee 翻了半天tikz和asymplote的资料,好像除了看官方手册,没有别的什么途径可以学了 /-- 连本书都不出一下,都这么艰难了的吗

    tikz的文档上千页呢,循循善诱,除了没有书的形式,就是本书了。

  4. 2019-01-16 17:44:09

    我也是比较喜欢asymptote,语法比tikz好太多了,虽然我用tikz还是比较多,毕竟它的文档过于优秀了,还有一个很好的例子网站。不管怎么样,我觉得用code画图的都是很好上手的东西,如果语法还比较靠谱的话。

  5. 2019-01-16 16:58:36

    理论上完备的画图语言都可以完成所有数学(乃至非数学)做图。这方面,比如xypic, tikz, matplotlib, mathematica, matlab, R, asymptote,它们各有各的倾向。具体的图啊、例子什么的可以看这里

    与TeX比较相容的主要是 tikz, asymptote, xypic 之类的,当然还有远古的 metapost 之类的。

    其实甚至你用Windows 画图软件都可以,我同学还有用ps, ai之类的。

  6. 2019-01-14 19:26:45
    unsinn 更新于 粒子的空间局域性

    不要试图将场论和量子力学割裂开来,任何量子力学操作/概念(与狭义相对论相容的话)都可以用到场论上。如果场论中没有这个概念,那自然量子力学中也没有。

    我们不引入场论的语言,还是从量子力学出发。粒子在各个地方的概率,不正是说明其无处不在吗?这完全没有表征粒子的局域性。如果你说,我们可以制备一个粒子态(波包),其只在一小块地方明显非零,但一般来说这只能是给定的。就像你要读出来粒子在某个地方的概率,你至少得有个粒子波函数吧?然后这粒子波函数是量子力学这个理论体系自带的吗?显然不是。量子力学至少告诉你怎么表述他,并告诉你它怎么演化。比方说,假设你初始态是一个很local的粒子波函数,量子力学结论就会告诉你,这个波函数会随着时间演化弥散开来,铺满整个空间。

    所以所有的(粒子的)信息在哪里?在初始态这里。你要一个局域的粒子,那你就制备一个波包,但这个凸包函数是你给的,而不是量子力学自然产生的。量子力学回答的是,给定初始态,系统的演化(的概率)。所以,如果你要问给定两个初始态(假设初始态很局部)的粒子(离得很远的粒子)按照直觉应该不相互作用,那你就应该算出来这个系统往相互作用的那种态的演化概率为零。这一点一般来说并不能由另一些基础原理给出,所以通常我们要引入所谓的“集团分解原理”来表述之。粗略来说,这是在说,如果两个量子力学系统离得足够远,则它们应该独立演化。

    稍微扯一下集团分解原理。我们用数学一点的语言来表述,首先,一旦有一个量子力学系统,Wigner定理就告诉你按照相对性原理(假设对应Poincare群变换下概率不变)我们有一个表示$U$. 设系统$A$可以分为两个子系统$B$和$C$,则Hilbert空间的关系是$\mathcal{H}_A=\mathcal{H}_B\otimes \mathcal{H}_C$,但是,由于$B$和$C$不独立,所以一般地,对应的 Poincare 群的表示$U_A$, $U_B$和$U_C$并不成立关系$U_A=U_B\otimes U_C$. 但是,集团分解原理告诉我们这至少是渐进成立的。考虑平移算符$T_B(a)=U_B(1,a)\otimes 1$和$T_C(a)=1 \otimes U_B(1,a)$. 那么,对于任何的归一化态矢量$\Psi$和$\Phi$,我们都应有内积的极限:
    \[
    \lim_{(b-c)^2\to +\infty} \left(\Phi,T_C^\dagger(\Lambda c) T_B^\dagger(\Lambda b) \left[U_A(\Lambda,a)-U_B\otimes U_C(\Lambda,a)\right]T_B(b)T_C(c)\Psi\right)=0,
    \]其中$b-c$是类空的。这就是集团分解原理的数学表述。我们时常会用更强的条件来表述
    \[
    \lim_{(b-c)^2\to +\infty}T_C^\dagger(\Lambda c) T_B^\dagger(\Lambda b) \left[U_A(\Lambda,a)-U_B\otimes U_C(\Lambda,a)\right]T_B(b)T_C(c)\Psi=0.
    \]这个强收敛条件比前面那个弱收敛条件更好操作,但不见得更正确。但我们也没必要在数学上麻烦自己。

    注意特殊情况。固定$\Lambda=1$,然后取$a$在时间方向,然后将$a$趋向于$0$,则
    \[
    U_A(\Lambda,a)-U_B\otimes U_C(\Lambda,a)\sim ia (H_A-H_B\otimes 1-1\otimes H_C),
    \]其中$H_A-H_B\otimes 1-1\otimes H_C$几乎就是在描述$B$和$C$之间的相互作用,所以集团分解原理似乎告诉了我们相互作用在空间间隔变大的时候会渐进为零。从这个简单的观察应该可以认识到,集团分解原理会极大地限制相互作用的形式。

    以上一切都是量子力学意义上的,那么场论告诉了我们什么新的东西?首先,场论可能是最自然的满足集团分解原理、狭义相对性原理、量子力学基本原理的一个理论,而其他满足这三个原理的理论都并不比场论“自然”。其次,虽然场论带来了新物理,但这种物理并没有突破比如量子力学基本原理的框架。再者,场论算的是振幅是概率,本质也还是在解决这样的问题“给定初始值,算演化”。最后,场论给了一套方法去算演化,费曼图、路径积分等等。

    总之,所有粒子信息由粒子态描述。这是量子力学、量子场论的第一原理。

  7. 2019-01-14 16:05:33
    unsinn 更新于 请教一个范畴问题

    @随机概率 谢谢回复,但还是有点没理清楚,可以再请教一下如何由$\psi_YGF(f)\psi_X^{-1} =\mathrm{id}_{C_1}(f)$推出$F:\mathrm{Hom}(X,Y)->\mathrm{Hom}(FX,FY) $是单射吗?

    我们可以注意到以下事实: 设$f$, $g$是映射

    1. 如果$fg$是单的,则$g$是单的;
    2. 如果$fg$是满的,则$f$是满的。
  8. 2019-01-14 04:36:46
    unsinn 更新于 请教一个范畴问题

    这里的左可逆的意思就是这是个集合间的单射,在一般的范畴中一般会叫做左可消或者单态射什么的。所以这里的意思就是:因为 F:Hom(X,Y)->Hom(FX,FY) 是一个单射,所以这是个忠实函子。然后他剩下去证明这是个完全函子。

  9. 2月前
    2018-12-19 15:20:39

    我就做个翻译,虽然我没看懂你想做什么。

    设$k$是一个域,$p$和$q$是两个代数元,方便起见,设$k$是特征零的。于是,我们可以计算$k$-代数
    \[
    R=k[x,y]/(\min(p),\min(q))
    \]作为$k$-矢量空间的维度(以及其基),其中$\min(p)\in k[x]$, $\min(q)\in k[y]$是相应的极小多项式。很容易知道,它的维数是$\deg(\min(p))\deg(\min(q))$,基可以选做 $\{x^iy^j\}$,其中$0\leq i\leq \deg(\min(p))-1$以及$0\leq j\leq \deg(\min(q))-1$.

    现在,我们考虑所有形如$\lambda = \sum_{i,j} a_{ij}x^iy^j\in R$,然后我们计算得到 $\lambda^n \in R$ 对应的系数
    \[
    \lambda^n = \sum_{i,j} a'_{ij}x^iy^j,
    \]于是我们得到一个“矩阵”$ M_n:\{a_{ij}\}\to \{a'_{ij}\}$. (这是线性的吗?)
    然后我们考虑可能的线性组合$M=\sum_i c_i M_i$,作用在哪个矢量上,使得只有$1$的分量,然后求系数$c_i$即可。(是不是就是求$c_i$使得$\sum_i c_i\lambda^i\in k$.)

    (总之就是待定系数法求极小多项式?)

  10. 2018-12-12 11:36:43
    unsinn 更新于 GTM 197的翻译近况

    @monad 本站还有其他人在做或者想做GTM的翻译工作吗?我感觉就算不翻译整本书,给出一本书的新词汇汉英对照表也很有价值

    GTM 的内容一般都挺入门的,所以一般没什么新词汇,基本都有旧例可循的。在代数几何方面,因为周老师的 EGA I 中文版出版了,所以这里的译名会参考 EGA 的翻译(其书末有一张中英法词汇对照表)。

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