求助一个数列相关的证明……

  1. 2周前

    baishuxu

    1楼 1月31日 天文版主
    2周前baishuxu 重新编辑

    虽然我知道这个题肯定很弱智,但是我真的没想出来咋做……想过取mod然后看有没有循环,但是电脑枚举了一下并没有看出余数的规律……不过7的倍数大约是14%的比例,这倒是很容易理解……


    考虑数列$\left\{a_n\right\}$,$a_1=1$,$a_n=a_{n-1}+a_{\left[\frac{n}{2}\right]}\quad\left(n=2,3,\dots\right)$。求证:数列$\left\{a_n\right\}$中有无穷多项7的倍数。


    OEIS A033485

  2. 2周前郁林成森 重新编辑

    令 $b_n=a_{n+1}-a_n$,则存在 $c(n)$ 使得 $\displaystyle b_{n+1}-b_n=c([\frac{n+1}{2}])$,易知$\displaystyle c(n+1)-c(n)=[\frac{n+1}{2}]$
    所以 $\displaystyle c_n=c_1+\sum_{k=1}^n[\frac{n+1}{2}]$
    易得 $c_{2k-1}=k^2-k+1$,$c_{2k}=k^2+1$
    而 $\displaystyle b_n=b_1+\sum_{k=2}^nc([\frac{k}{2}])$,$\displaystyle a_n=a_1+\sum_{j=2}^{n}b_j$
    然后找些特殊的 $n$ 应该就行了

 

后才能发言