Kane-Mele Model

  1. 4周前

    长岛冰茶

    1楼 1月17日 物理版主
    3周前长岛冰茶 重新编辑

    本文是“凝聚态中的拓扑相变”这课的课程报告的论坛版。大部分内容是这篇文章 的展开计算(细节来自学长提供的某个讲义),少部分是我自己的理解“我感觉是这样的”系列搬完了感觉自己啥都没写orz如果想要计算部分的代码可以私聊

    首先将给出石墨烯中的紧束缚模型(二次量子化版本)。

    石墨烯是典型的二维材料,其晶格为蜂窝状晶格,原胞中有两个原子。其布拉维格子的正格矢和对应的倒格矢分别为(如图)

    \begin{equation}
        \vec { a } _ { 1 } = \frac { a } { 2 } ( \hat { x } + \sqrt { 3 } \hat { y } ) , \quad \vec { a } _ { 2 } = \frac { a } { 2 } ( - \hat { x } + \sqrt { 3 } \hat { y } )
    \end{equation}

    \begin{equation}
        \vec { b } _ { 1 } = \frac { 1 } { a } \left( \hat { x } + \frac { \hat { y } } { \sqrt { 3 } } \right) , \quad \vec { b } _ { 2 } = \frac { 1 } { a } \left( - \hat { x } + \frac { \hat { y } } { \sqrt { 3 } } \right)
    \end{equation}

    lattice.png

    依此可以很容易地写出其紧束缚模型下的哈密顿量:

    \begin{equation}
        H = - t \sum _ { \langle i \alpha , j \beta \rangle } \left( c _ { i \alpha } ^ { \dagger } c _ { j \beta } + h . c . \right) + \sum _ { i \alpha } m _ { \alpha } c _ { i \alpha } ^ { \dagger } c _ { i \alpha }
    \end{equation}

    式中\(i,j\)代表原胞的位置,\(\alpha ,\beta =1,2 \)代表了原胞中两个原子。这里令\(m_\alpha =(-1)^\alpha m\)加入了原胞中两原子的差异性。

    利用傅里叶变换

    \begin{equation}
        c _ { i \alpha } ^ { \dagger } = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \sum _ { \mathrm { k } \alpha } c _ { \mathrm { k } \alpha } ^ { \dagger } e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { R } _ { i } }
    \end{equation}

    并在紧束缚模型中仅考虑最邻近作用,有

    \begin{equation}
        \begin{aligned}
        H = & - t \sum _ { i } \left( c _ { i 1 } ^ { \dagger } c _ { i 2 } + c _ { i 1 } ^ { \dagger } c _ { i - \vec { a } _ { 1 } , 2 } + c _ { i 1 } ^ { \dagger } c _ { i - \vec { a } _ { 2 } , 2 } + h . c . \right) + \sum _ { i \alpha } m _ { \alpha } c _ { i \alpha } ^ { \dagger } c _ { i \alpha } \\ = & - t \sum _ { \mathbf { k } } \left[ c _ { \mathbf { k } 1 } ^ { \dagger } c _ { \mathbf { k } 2 } \left( 1 + e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 1 } } + e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 2 } } \right) + c _ { \mathbf { k } 2 } ^ { \dagger } c _ { \mathbf { k } 1 } \left( 1 + e ^ { i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 1 } } + e ^ { i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 2 } } \right) \right] \\ & + \sum _ { \mathbf { k } \alpha } m _ { \alpha } c _ { \mathrm { k } \alpha } ^ { \dagger } c _ { \mathbf { k } \alpha }
        \end{aligned}
        \label{Hamiltonian_TBA}
    \end{equation}

    为了让\(\alpha ,\beta \)的物理意义更为鲜明,引入代表原胞中两个原子的二自由度赝自旋\(\vec \sigma\),因为

    \[\sigma ^+ =\begin{pmatrix}
        0&2\\
        0&0
    \end{pmatrix},
    \sigma ^- =\begin{pmatrix}
        0&0\\
        2&0
    \end{pmatrix}\]

    其中\(\sigma ^ { \pm } = \sigma ^ { x } \pm i \sigma ^ { y }\),所以\eqref{Hamiltonian_TBA}可写成

    \begin{equation}
    \begin{aligned}
        H = & - \frac { t } { 2 } \sum _ { \mathbf { k } \alpha \beta } \left[ \sigma _ { \alpha \beta } ^ { + } c _ { \mathbf { k } \alpha } ^ { \dagger } c _ { \mathbf { k } \beta } \left( 1 + e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 1 } } + e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 2 } } \right) + \sigma _ { \alpha \beta } ^ { - } c _ { \mathbf { k } \alpha } ^ { \dagger } c _ { \mathbf { k } \beta } \left( 1 + e ^ { i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 1 } } + e ^ { i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 2 } } \right) \right] + \\ & + m \sum _ { \mathbf { k } \alpha } \sigma _ { \alpha \alpha } ^ { z } c _ { \mathbf { k } \alpha } ^ { \dagger } c _ { \mathbf { k } \alpha }
    \end{aligned}
    \end{equation}

    该形式已经足够用于计算,但为了让计算更为简洁,并引入一种有用的技巧,定义

    \begin{equation}
    \begin{aligned}
        d ^ { z } ( \mathbf { k } ) & = m \\
        d ^ { \pm } ( \mathbf { k } ) & = - t \left( 1 + e ^ { \mp i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 1 } } + e ^ { \mp i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 2 } } \right) \\
        d ^ { x } ( \mathbf { k } ) & = \frac { 1 } { 2 } \left( d ^ { + } ( \mathbf { k } ) + d ^ { - } ( \mathbf { k } )\right) = - t \left( 1 + \cos \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 1 } + \cos \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 2 } \right) \\
        d ^ { y } ( \mathbf { k } ) & = \frac { 1 } { 2 i } \left( d ^ { + } ( \mathbf { k } ) - d ^ { - } ( \mathbf { k } )\right) = - t \left( \sin \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 1 } + \sin \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 2 } \right)
    \end{aligned}
    \end{equation}

    考虑到\(\sigma ^\pm d^\pm (\mathbf k)= d ^x (\mathbf k) \sigma ^x + d ^y (\mathbf k) \sigma ^y\),哈密顿量可以写成

    \begin{equation}
        H = \sum _ { \mathbf { k } , \alpha , \beta } \mathbf { d } ( \mathbf { k } ) \cdot \vec { \sigma } _ { \alpha \beta } c _ { \mathbf { k } \alpha } ^ { \dagger } c _ { \mathbf { k } \beta }
        \label{Hamiltonian_ compact}
    \end{equation}

    要计算其本征值,只需要对角化

    \begin{equation}
        H ( \mathbf { k } ) = \mathbf { d } ( \mathbf { k } ) \cdot \vec { \sigma }
        \label{Hamiltonian_ matrix}
    \end{equation}

    考虑到泡利自旋矩阵的特性\(\sigma ^i \sigma ^j =\epsilon_{ijk} \sigma ^k ,(i\neq j) ,\sigma ^i \sigma ^i = \bm 1 ,(i = j)\)

    \begin{equation}
        {H(\mathbf k)}^2 = d^i d^j \sigma ^i \sigma ^j =d^i d^i +\epsilon_{ijk} d^i d^j \sigma ^k = \mathbf { d } ( \mathbf { k } ) \cdot \mathbf { d } ( \mathbf { k } )
    \end{equation}

    其中第二项因其为对称张量和反对称张量的乘积为零。因\({H(\mathbf k)}^2\)对角,本征值可以容易地看出

    \begin{equation}
        \epsilon _ { \pm } ( \mathbf { k } ) = \pm \sqrt { \mathbf { d } ( \mathbf { k } ) \cdot \mathbf { d } ( \mathbf { k } ) }
    \end{equation}

    作为一个广为人知的结论,当原胞中的原子相同,即\(m=0\)时,石墨烯的能带中将出现狄拉克锥,狄拉克锥的顶点被称作狄拉克点,可以由能带的零点给出。在本文的坐标下,狄拉克点的坐标为:

    \begin{equation}
    \begin{aligned}
        k _ { x } & = \frac { 4 \pi } { 3 a } , k _ { y } = 0 \\ k _ { x } & = \frac { - 4 \pi } { 3 a } , k _ { y } = 0
    \end{aligned}
    \end{equation}

    在这两点附近展开\eqref{Hamiltonian_ matrix}可得到狄拉克点附近的哈密顿量

    \begin{equation}
    \begin{aligned}
        H _ { + } ( \mathbf { k } ) & = v \left( k _ { x } \sigma ^ { x } + k _ { y } \sigma ^ { y } \right) + m \sigma ^ { z } \\ H _ { - } ( \mathbf { k } ) & = v \left( - k _ { x } \sigma ^ { x } + k _ { y } \sigma ^ { y } \right) + m \sigma ^ { z }
    \end{aligned}
    \end{equation}

    其中\(v=\frac{\sqrt{3}ta}{2}\),类似于上面引入\(\vec \sigma\),引入代表两个狄拉克点的谷自旋\(\vec \tau\),上式可以写成

    \begin{equation}
        H ( \mathbf { k } ) = v \left( k _ { x } \tau ^ { z } \sigma ^ { x } + k _ { y } \sigma ^ { y } \right) + m \sigma ^ { z }
    \end{equation}

    Kane-Mele Model

    首先我们将讨论宇称变换\((\mathcal { P } : \mathbf { k } \rightarrow - \mathbf { k })\)以及时间反演\(( \mathcal { T } : \mathbf { k } \rightarrow - \mathbf { k } , \quad \mathbf { S } \rightarrow - \mathbf { S } )\)下哈密顿量中各项的行为。

    宇称变换通俗来说是一个空间反演变换,在这个变换下原胞中的两原子将互换,所以\(\vec \sigma\)将由下式给出:

    \begin{equation}
        \mathcal { P } : \vec \sigma \rightarrow
        \begin{pmatrix}
            0&1\\
            1&0
        \end{pmatrix} \vec \sigma
        \begin{pmatrix}
            0&1\\
            1&0
        \end{pmatrix}
    \end{equation}

    所以有\(\mathcal { P } : \sigma ^ { x } \rightarrow \sigma ^ { x },\sigma ^ { y } \rightarrow - \sigma ^ { y },\sigma ^ { z } \rightarrow - \sigma ^ { z }\)动量空间的反演显然会让两个狄拉克点交换,故\(\vec \tau\)在\(\mathcal { P }\)下变换同上。而时间反演下动量的变换关系和宇称变换相同,故\(\vec \tau \)的变换也相同。时间反演下原胞中两原子显然不会变化,故\(\vec \sigma\)不变。电子自旋\(\vec S\)显然在宇称变换下不变。以上总结为表。


        \begin{array}{c|c|c}
              &\mathcal { P }&\mathcal { T }\\
            \hline
            \sigma ^x&\sigma ^x&\sigma ^x\\
            \sigma ^y&-\sigma ^y&\sigma ^y\\
            \sigma ^z&-\sigma ^z&\sigma ^z\\
            \tau ^z&-\tau ^z&-\tau ^z\\
            S ^z&S ^z&-S ^z
        \end{array}

    自旋轨道耦合是经典的电磁相互作用,故必然满足电荷共轭对称,所以也必然满足PT联合对称,(看不懂了开始瞎写)由上表可以容易地猜到一个满足PT联合对称的自旋轨道耦合哈密顿量:

    \begin{equation}
        \sigma ^ { z } \tau ^ { z } \left( S ^ { z } \right) _ { \alpha \beta }
    \end{equation}

    下面将考虑进次近邻相互作用得到这一表达式。

    如图为次近邻的所有的正的可能跃迁,对应的哈密顿量为

    hopping.png

    \begin{equation}
        H _ { S O } = i t _ { 2 } \sum _ { \langle \langle i , j \rangle \rangle \alpha \beta } \nu _ { i j } \left( S ^ { z } \right) _ { \alpha \beta } c _ { i \alpha } ^ { \dagger } c _ { j \beta }
    \end{equation}

    其中\(v_{ij}=\pm 1\)取决于跃迁时是向左拐还是向右拐(图中即为左拐),这对应于电子顺逆时针的旋转。由于A位原子得到次近邻仍为A位原子,且容易看出A,B两位置的对应的次近邻跃迁的拐弯方向相反,\(v_{ij}\)的贡献可以用\(\sigma^z\)描述,故自旋轨道耦合哈密顿量如下,对其进行傅里叶变换得

    \begin{equation}
        \begin{aligned}
            H _ { S O } &= i t _ { 2 } \sum _{i \alpha \beta} \sigma^z _{\alpha \beta} \left( S ^ { z } \right) _ { \alpha \beta } \left(c^{\dagger}_{i+\vec c_1 , \alpha} c_{i \beta}-c^{\dagger}_{i+\vec c_2 , \alpha} c_{i \beta}-c^{\dagger}_{i-\vec c_1 , \alpha} c_{i \beta}+c^{\dagger}_{i-\vec c_2 , \alpha} c_{i \beta}\right.\\
            &\left. -c^{\dagger}_{i+\vec c_1-\vec c_2 , \alpha} c_{i \beta} + c^{\dagger}_{i-\vec c_1+\vec c_2 , \alpha} c_{i \beta} \right)\\
            &= i t _ { 2 } \sum _{k \alpha \beta}\sigma^z _{\alpha \beta} \left( S ^ { z } \right) _ { \alpha \beta } c^{\dagger} _{k \alpha}c_{k \beta} \left( e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 1 } } - e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 2 } } - e ^ { i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 2 } } + e ^ { i \mathbf { k } \cdot \vec { a } _ { 2 } }\right. \\
            &\left. - e ^ { - i \mathbf { k } \cdot (\vec { a } _ { 1 } - \vec { a } _ { 2 }) } + e ^ { i \mathbf { k } \cdot (\vec { a } _ { 1 } - \vec { a } _ { 2 }) } \right)\\
            &= - 4 t _ { 2 } \sum _{k \alpha \beta}\sigma^z _{\alpha \beta} \left( S ^ { z } \right) _ { \alpha \beta } c^{\dagger} _{k \alpha}c_{k \beta} \sin \frac{a k_x}{2} \left( \cos\frac{a k_x}{2}- \cos \frac{\sqrt{3} a k_y }{2}\right)
        \end{aligned}
    \end{equation}

    在两个狄拉克点处展开至一阶可以得到

    \begin{equation}
        H_{SO}^{\pm}= \pm 3\sqrt{3}t_2 \sigma^z S ^z
    \end{equation}

    \begin{equation}
        H_{SO}= \Delta _{SO} \sigma^z \tau ^z S ^z
    \end{equation}

    边缘态

    (该部分计算来自学长大力帮助拖延症.jpg)为考虑石墨烯的边缘态,这里考虑一个石墨烯条带,\(x\)方向无限长,\(y\)方向有限,写出哈密顿量如下:(四个下标含义依次为\(x\)坐标,\(y\)坐标,原胞内A/B原子,自旋)

    \begin{equation}
        \begin{aligned}
            H& =\sum_{s=0,1}\sum_{i=-\infty}^\infty\Big[\sum_{j=2}^{n}t(c_{i,j,1,s}^\dagger c_{i,j,2,s}
            +c_{i,j,1,s}^\dagger c_{i-1,j,2,s}+c_{i,j,1,s}^\dagger c_{i,j-1,2,s})\\
            & +it_2 \sum_{j=2}^{n-1} (-1)^s(c_{i,j,1,s}^\dagger c_{i,j+1,1,s}
            +c_{i,j,1,s}^\dagger c_{i+1,j-1,1,s}+c_{i,j,1,s}^\dagger c_{i-1,j,1,s}\\
            &+c_{i,j,2,s}^\dagger c_{i,j-1,2,s}
            +c_{i,j,2,s}^\dagger c_{i-1,j+1,2,s}+c_{i,j,2,s}^\dagger c_{i+1,j,2,s})+h.c.\Big]\\
            & +\sum_{s=0,1}\sum_{i=-\infty}^\infty\Big[t(c_{i,1,1,s}^\dagger c_{i,1,2,s}+c_{i,1,1,s}^\dagger c_{i-1,1,2,s})\\
            & +it_2(-1)^{s} (c_{i,n,1,s}^\dagger c_{i+1,n-1,1,s}+
            c_{i,n,1,s}^\dagger c_{i-1,n,1,s}+c_{i,n,2,s}^\dagger c_{i+1,n,2,s}\\
            & +c_{i,n,2,s}^\dagger c_{i,n-1,2,s}+c_{i,1,1,s}^\dagger c_{i,2,1,s}
            +c_{i,1,1,s}^\dagger c_{i-1,1,1,s}\\
            & +c_{i,1,2,s}^\dagger c_{i+1,1,2,s}+c_{i,1,2,s}^\dagger c_{i-1,2,2,s})
            +h.c.\Big]
        \end{aligned}
    \end{equation}

    傅里叶变换后变为:

    \begin{equation}
        \begin{aligned}
            H_{k_x}& =\sum_{s=0,1}\Big[\sum_{j=2}^{n}t(c_{j,1,s}^\dagger c_{j,2,s}
            +c_{j,1,s}^\dagger c_{j-1,2,s}+e^{-i ak_x}c_{j,1,s}^\dagger c_{j,2,s})\\
            & +i t_2 \sum_{j=2}^{n-1} (-1)^s(c_{j,1,s}^\dagger c_{j+1,1,s}
            +e^{-i ak_x}c_{j,1,s}^\dagger c_{j,1,s}+e^{i ak_x}c_{j,1,s}^\dagger c_{j-1,1,s}\\
            &+c_{j,2,s}^\dagger c_{j-1,2,s}
            +e^{i ak_x}c_{j,2,s}^\dagger c_{j,2,s}+e^{-i ak_x}c_{j,2,s}^\dagger c_{j+1,2,s})+\mathrm{h.c}\Big]\\
            & +\sum_{s=0,1}\Big[t(
            c_{1,1,s}^\dagger c_{1,2,s}+e^{-i ak_x}c_{1,1,s}^\dagger c_{1,2,s})\\
            & +i t_2(-1)^{s}(e^{i ak_x}c_{n,1,s}^\dagger c_{n-1,1,s}+
            e^{-i ak_x}c_{n,1,s}^\dagger c_{n,1,s}+e^{i ak_x}c_{n,2,s}^\dagger c_{n,2,s}\\
            & +c_{n,2,s}^\dagger c_{n-1,2,s}+c_{1,1,s}^\dagger c_{2,1,s}
            +e^{-i ak_x}c_{1,1,s}^\dagger c_{1,1,s}\\
            & +e^{i ak_x}c_{1,2,s}^\dagger c_{1,2,s}+e^{-i ak_x}c_{1,2,s}^\dagger c_{2,2,s})
            +h.c.\Big]
        \end{aligned}
        \label{Hamiltonian_ SO}
    \end{equation}

    对\eqref{Hamiltonian_ SO}对角化绘制能谱如图,可以看到\(k=\frac{\pi }{a}\)处的能带交叉,这两条能带代表边缘态。

    E.png

    如果有人看到这里,显然这篇辣鸡报告烂尾了,接下去的部分直到考前我也没有写(装死)

  2. 3周前

    Phantom_Ghost

    2楼 1月24日 数学版主, 物理版主, 优秀回答者
    3周前Phantom_Ghost 重新编辑

    我觉得学习物理方面最为重要的是看到这些理论模型的物理来源和图像,固然一些技术性的细节如怎么去计算这个模型的能谱以及如何弄个程序能呈现出来也挺不错,但更重要的是这里面蕴含的物理内容。我在以下段落给出我的点评:

    要了解清楚这个模型最开始是怎么出来:以前人们在研究Haldane模型(基于蜂窝点阵上的紧束缚模型跃迁引入次近邻的时间反演对称破坏项和空间反演对称破坏项)具有能隙相和手征边缘态(所以也需要进一步追问为什么研究Haldane模型,这源于最初的IQHE方面的内容,人们从想仿照IQHE那样但不想加磁场这种动机构造并研究Haldane模型,这后来也成为了发现QAHE的基础),事实上这是第一类Chern绝缘体。于是后来人们开始考虑能不能不破坏时间反演对称,然后产生有能隙相,这就是Kane-Mele模型被提出的动机;而它也就可以理解为双份Haldane模型堆叠而成因此而有了时间反演对称(我用“堆叠”stack这个词在后来的拓扑相里面是有更深的含义的,例如两份手性相反的p-波超导的堆叠形成新的螺旋性拓扑超导,这就是一个由可逆拓扑序堆叠形成SPT的例子,放在这里也是一样的含义)。

    所以这模型的体能带不是人们最关心的,其螺旋性边缘态的出现才是这个模型最重要的特点。进而要知道边缘态是受时间反演对称保护的,这一点在他们的文章里面也有描述,这也是非常重要的一点,是催生SPT这个领域的关键性的现象。整体理论方面人们有TKNN不变量刻画IQHE(Chern数),然而在这里两个自旋相反的能带贡献的Chern数符号相反进而抵消,所以人们不得不寻找新的拓扑不变量来刻画这种相,如所谓自旋Chern数以及$Z_2$不变量,在物理上对应着边缘态的自旋流(这里所谓体-边缘对应在数学上有个广为人知的Atiyah-Singer指标定理作为其背景)。

    然后我觉得他们仿照探测IQHE那样设计了一个四通道的设备来测纯自旋流也是非常有意思的东西,详细研究一下这里的输运的内容(弹性弹道输运、Landauer-Büttiker公式计算电导,以及定义自旋流导等等)都是不简单的。

    然后就是这个模型的具体物理实现问题,在文中提到可以根据自旋-轨道耦合来引入这种打开能隙而又保持时间反演对称的机制。但这个东西你们想必是没有仔细研究过的,怎么从最开始的格点模型中的原子自旋-轨道耦合来导出他们的低能有效能带理论里面那些项?这涉及固体物理里面很基本的计算方法(例如$k\cdot p$-微扰),在这里完全可以作为最简单的练习,既可以练理论推导能力,然后还可以练数值计算能力(把那些耦合常数从格点模型的参数出发计算出有效能带模型里的参数);显然做些这个比单纯解个能带模型要多花许多时间精力。最后还要讨论一下这里面为什么拿石墨烯实现这个模型是不现实的。然后Kane和Mele最后还想通过在石墨烯里面引入Coulomb相互作用然后用一点单圈自能修正的RG流来论证在低能下这个自旋-轨道耦合常数是会增强的,由它打开的能隙是可以变大的(大到可以勉强观察得到),以此来鼓吹人们关注这个工作。事实上哪怕这点小的论证,你们要是去做也是得花上些许功夫的。

    后面这个模型更多的意义就是指导了BHZ模型的提出从而能描述HgTe量子阱中出现的拓扑绝缘体相,可以参考
    正方晶格模型与HgTe量子井的关系(因此在这里实际上人们会说QSH就是TI,然而根据文小刚的定义QSH是不需要时间反演对称保护的,而是由电荷也即$U(1)$对称和$s_z$对称保护的,这个$s_z$就看做自旋荷,所以他会说Kane-Mele模型在描述2+1维TI,自然BHZ模型也是)。张首晟等人研究3+1维TI并提出时间反演对称的Chern-Simons拓扑场论描述,开启了SPT的拓扑场论时代。

  3. 14小时前
    14小时前jihai 删除了
  4. 14小时前jihai 重新编辑

    基本同意楼上的观点,做一些简单的补充,欢迎指正和讨论。
    虽然现在第一性原理计算很常见,但对于计算结果是否可靠的判断,往往还是从基本的物理模型中得到的理解和图像出发,特别是比较复杂的体系(磁性,$4d/5d$等等)
    关于拓扑绝缘体的模型其实还可以从Dirac方程的角度去理解(详细参见沈顺清的书拓扑绝缘体),Dirac方程本身就有一个零能的表面态解,只不过这个解本身与拓扑无关,但是如果添加上一个随参数演变的质量项就有联系了,与拓扑有关的表面态是robust的,也就是外界的微扰不会破坏她,从体态上就可以看到,小的微扰只要不改变band inversion则拓扑相不会受到影响。接着将Dirac方程看成是固体物理里面的连续性模型(类似$k$$\cdot$$p$),将其扩展到离散的晶格模型其实就得到了BHZ模型,这可以更容易理解为什么BHZ模型描述的是一个TI。

    因此在这里实际上人们会说QSH就是TI,然而根据文小刚的定义QSH是不需要时间反演对称保护的,而是由电荷也即U(1)对称和sz对称保护的,这个sz就看做自旋荷,所以他会说Kane-Mele模型在描述2+1维TI,自然BHZ模型也是

    请问2+1维具体是指什么意思?我之前一直以为QSH等价于是sz守恒的Z2的TI,Z2这个拓扑分类仅仅是有时间反演对称性就可以保证了。@Phantom_Ghost

 

后才能发言