对atland书上对诺特定理推导的一些疑问。

  1. 5周前

    在atland的凝聚态场论书讲到noether 定理的时候所提到的对坐标和场的变换:$$ X_{u} \mapsto X_{u}^\prime=X_{u}+\dfrac{\partial{X_{u}}}{\partial{\omega_{a}}}|_{\omega=0}\omega _{a}(x)$$
    $$\phi ^i \mapsto \phi ^{\prime i } = \phi ^i+ \omega _{a}(x) F^i _{a}[\phi]$$
    感觉这个和我之前看到的描述完全不一样,我比较奇怪的是这里的\( \omega _{a}(x) \)指的是一个有限大的量的函数还是一个无穷小的量?因为后面涉及到了\((\partial / \partial x_{u})( \omega _{a}\partial x_{u} / \partial \omega _{a}) \) ,我感觉这里有点迷,因为后面再推导诺特流的时候又用了保留 \(\dfrac{ \partial \omega _{a}}{\partial x_{u}} \)的一次项,所以感觉有点晕,想问一下这里该如何处理?
    还有一个问题就是,他算出 $$ \Delta S= - \displaystyle\int d^m x j^a _{u}(x)\partial _{u} \omega_{a}$$ 就得出了\( \partial j^a _{u}=0\) ,他给出的理由是:对满足运动方程的 \( \phi \)来说,“the variation of the action in any parameter must vanish ”.我想他应该是想要指分部积分之后把对\( \omega \)上的 微分变到了j的上面,然后使其为0,不知道我的想法对不对?而且对他这个理由我觉得有些疑惑,他给出的变换里面\( \omega (x) \) 表示了坐标的变换,但是场的变换也被这个给牵连着,而我们在得出运动方程的时候不是只考虑了场的变换而没有坐标的变化吗?
    最后一个我很奇怪的地方是感觉其他书上推诺特流的时候都用到了 运动方程,可是他这里却并没有用到....
    感觉其他的书上都跟atland的描述方法不一样呢,有没有哪本书跟atland的描述方法是类似的?

  2. 5周前unsinn 重新编辑

    就你问的问题来说,首先$\omega$是小量,但可以依赖于坐标,所以本身求导是没什么问题的。其次,$\partial x/\partial \omega$是一个有限量,这样$\omega \partial x/\partial \omega$是一个一阶小量。举个例子,考虑变换$x\mapsto \exp(at)x$,其中$a$是一个小量,则展开应该是\[
    x\mapsto x+atx+\dots,
    \]这里的$t$就是$\partial x/\partial \omega$,显然不是小量。所以测度部分保留到$\omega\partial x/\partial \omega$就是保留到一阶,和其他的没有矛盾。

    下面解释一些Atland与别的教科书上的区别和联系,顺道回答一下第二点。

    一般来说,我们都会无视坐标的变换,因为\[
    \int dx' \Psi[\varphi'(x')]=\int dx \Psi[\varphi'(x)],
    \]其中$\Psi$是场的函数,这基本只是做了一个坐标的重命名而已。所以,我们只要关注场的主动变换,此即一般的教科书上 Noether 定理唯一关注的东西。以无穷小坐标变换$x^\mu\to x^\mu+a^\mu(x)$为例,我们令$\varphi'(x')=\varphi(x)$. 在Atland的表述中,此时场是没有变的,即$F=0$,只有坐标部分。这里,等价地,我们只要关注场的变换
    \[
    \varphi'(x)=\varphi'((x-a)')=\varphi(x-a)=\varphi(x)-a^\mu(x)\partial_\mu \varphi(x)
    \]即可。更一般地,我们可以把任意的(保险一点,足够好的局部的)的坐标变换都变到场的变换上去。(这也可以看到为什么坐标变换会和场的变换牵连到一起。)

    不管怎么样,假设我们有场的变换
    \[
    \phi(x)\to \phi(x)+\alpha(x)\Delta\phi(x),
    \]如果它使得作用量$S$的变化(并不假设诸如要on-shell,即满足运动方程等)如下
    \[
    \Delta S=-\int dx \,j^\mu(x)\partial_\mu\alpha(x).
    \]此时,如果作用量在这个变换下保持不变(对任意的$\alpha$),则应该成立$\partial_\mu j^\mu(x)=0$. 这就是 Noether 定理。

    还是以平移为例,$x^\mu\to x^\mu-\epsilon^\mu(x)$显然不会改变作用量,等价地,考虑一个矢量场$\varphi^\mu$的变换$\varphi^\mu\to \varphi^\mu+\epsilon^\nu\partial_\nu\varphi^\mu$,则我们有
    \[
    \begin{aligned}
    0=\Delta S=&\int d x\,\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi^\mu}\epsilon^\nu(x)\partial_\nu \varphi^\mu(x)+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\rho \varphi^\mu}\partial_\rho[\epsilon^\nu(x)\partial_\nu \varphi^\mu(x)]\right)\\
    =&\int d x\,\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi^\mu}\partial_\nu \varphi^\mu(x)+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\rho \varphi^\mu}\partial_\rho\partial_\nu \varphi^\mu(x)\right)\epsilon^\nu(x)+\int d x\,\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\rho \varphi^\mu}\partial_\rho\epsilon^\nu(x)\partial_\nu \varphi^\mu(x)\\
    =&\int d x\,\left(\epsilon^\nu(x)\partial_\nu \mathcal{L}+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\rho \varphi^\mu}\partial_\nu \varphi^\mu(x)\partial_\rho\epsilon^\nu(x)\right)\\
    =&\int dx\,\left(\delta^\mu_\nu\epsilon^\nu(x)\partial_\mu \mathcal{L}+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\mu \varphi^\rho}\partial_\nu \varphi^\rho(x)\partial_\mu\epsilon^\nu(x)\right)\\
    =&\int d x\,\left(-\delta^\mu_\nu \mathcal{L}+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\mu \varphi^\rho}\partial_\nu \varphi^\rho(x)\right)\partial_\mu\epsilon^\nu(x)
    \end{aligned}
    \]这里我们没有用过任何运动方程,也应该得到
    \[
    \partial_\mu\left(-\delta^\mu_\nu \mathcal{L}+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\mu \varphi^\rho}\partial_\nu \varphi^\rho(x)\right)=0,
    \]这就是能量动量张量的守恒方程,可见其即使是off-shell都成立的。

    特别地,我们可以考虑在满足运动方程意义上的守恒律。 此时,一般来说,我们还可以给出一个$j$的表达式,比方说,如果某个变换不仅使得$S$不变,而且使得$\mathcal L$也不变,则对标量场$\phi$的变换而言,此时\[
    j^\mu=\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial^\mu\phi)}\Delta\phi.
    \]这个推导是简单的,这里就略去了。

  3. 4周前

    非常感谢!讲的很棒。
    但是对于第1点,以我有限的微积分知识来说,你提到\( \dfrac{\partial x}{ \partial \omega} \)是一个有限量,那么\( \dfrac{ \partial \omega }{ \partial x } \)也应该是一个有限量吧?毕竟这两乘起来应该是1。
    那么在 \(\Delta S \)的推导中:
    -image-
    -image-
    可以看到他使用了 \( \dfrac{\partial x_{\nu}}{\partial x_{u}} =\delta _{u \nu }-\partial _{u}(\omega_{a}\partial _{\omega a} x_{u}) \),这个显然是要求\( \partial _{u}(\omega_{a}\partial _{\omega a} x_{u}) \)为小量吧?而\( \partial _{u}(\omega_{a}\partial _{\omega a} x_{u})=\dfrac{\partial \omega_{a}}{
     \partial x_{u}} \dfrac{\partial x_{u}}{\partial \omega_{a}} \) (因为是在 \(\omega =0\) 的地方对\(\omega \) 求的导)那这两者都是有限量的话就没法满足那个条件了。
    而且这个问题在贯穿在后来我自己的推导中,
    -image-
    在最后一行中,\( \omega_{a} \)是无穷小量,那么可以把\( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi^{i}}F^{i}_{a}\omega _{a} \)扔掉,但是括号中的\( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial\partial_{\mu} \phi^{i}}F^{i}_{a}\partial_{\mu} \omega_{a} \)却没法扔掉,这样的话,与atland推出的诺特流会差一项:
    -image-。而atland说的如果把含有 \( \partial _{x_{u}} \partial \omega_{a}\)的高次项拿掉,那么就跟他一样了,可是毕竟那里不是无穷小啊.......怎么能随便拿掉T-T
    你后面讲的部分我觉得几乎都体会到了,但是有个小问题就是,atland说:
    -image-
    ,但是他后面推导的时候好像又没有用运动方程,我怀疑他想说分部积分出的边界项是因为 作用量的一阶变分为0才为0的吗?
    再次感谢!

  4. 4周前unsinn 重新编辑

    那我们就有必要复习一下微积分了。设有光滑函数$f(x)$,然后有一个小量$\omega(x)$,此时考虑$f(x+\omega(x))$,其近似于
    \[
    f(x)+f'(x)\omega(x)+\cdots,
    \]所以书里面的$\partial x/\partial \omega$对应这里应该是$f'(x)$. 在这里,我们当然也可以还原出来:如果我们将$f(x+\omega)$看成omega的函数$g(\omega)$,则
    \[
    \left.\frac{\partial g}{\partial \omega}\right|_{\omega=0}=f'(x).
    \]然后他混用符号,将其还是记作$\partial f/\partial \omega|_{\omega=0}$.

    如果你感到困惑,完全可以在推导的开始,将坐标变换写成
    \[
    x^\mu\to x^\mu+y_a^\mu(x)\omega_a(x),
    \]其中$y_a^\mu$是一个有限量,而$\omega_a$是一个一阶小量,然后重复所有的推导即可。

    我怀疑atland在推导里面已经用过运动方程了,否则1.43的第二项不会那么好看,但是我实在不想跟他算一次,它上下标都不分的。不管怎么样,推导是保留到一阶小量,$\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi^{i}}F^{i}_{a}\omega _{a}$也是不能扔的。和$\omega$正比的项应该是消去了的,可能用了运动方程。

  5. 啊,多谢,我再仔细算算吧。

 

后才能发言