如何从几何角度理解旋量场?

  1. 5周前

    一直没能很好的理解旋量场是什么。对于经典的旋量场,一般书上是通过洛伦兹变换的表示来引入的,而矢量场和张量场的场量值具有比较明确的几何意义,可以不依赖于变换来定义,那么旋量场能不能像矢量场和张量场一样有更几何的描述方式?从这引申出的一个问题就是矢量场和张量场可以作一个一般的非洛伦兹的坐标变换,旋量场在一般的坐标变换下会变成什么样?

  2. 沙发

  3. 旋量场是旋量丛的截面。所谓旋量丛(spinor bundle),即李群$\mathrm{Spin}(n)$的主丛,或者讲我们讨论的是旋量场的“标架丛”。这里主要涉及到两个问题,一个是为什么我们要考虑$\mathrm{Spin}(n)$,另一个是为什么我们用标架丛来刻画旋量,而非使用向量丛来刻画。

    我们知道$\mathrm{Spin}(n)$一般定义为特殊正交群$\mathrm{SO}(n)$的二次覆盖。一个更本质的定义是,$\mathrm{Spin}(n)$实际上是$\mathrm{SO}(n)$的万有覆盖,即李代数和$\mathfrak{so}(n)$同构的那个单连通李群(换句话说,旋量满足局部的旋转对称性)。在$n=3$的特殊情况下,我们有$\mathrm{Spin}(n) \cong \mathrm{SU}(2)$,这也是一般平直时空上场论一般先讨论$\mathrm{SU}(2)$表示的一部分原因。从这里可以知道,旋量是直接依赖于时空上的内积结构的,因而我们也可以讨论诸如“黎曼流形上的旋量丛”,以及对应的联络。

    关于第二个问题,简短的回答是“标架丛的性质比向量丛好”。给定一个结构群是李群$G \leq \mathrm{GL}(r)$的向量丛$E \to M$,我们总可以找到和它对应的的一个$G$-主丛作为$E$的标架丛,即纤维取$E$在$G$作用下不变的转移矩阵。$E$的标架丛保持了$E$的全部信息,同时拥有更好的性质,比如原本不存在全局截面的向量丛,它的标架丛存在全局截面(向量丛存在全局截面和向量丛平凡是等价的,对于主丛则不是)。

  4. 4周前

    多谢,我原本以为可以简单地在切空间和余切空间中定义旋量,看来还是得用纤维丛啊。

 

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