写一点点有关于数学的东西

  1. 5周前
    5周前埘光之沙 重新编辑

    这个帖子来源于知乎里这个回答:“初等数学很难学,不学初等数学可以直接学高等数学吗?” - 知乎
    https://www.zhihu.com/question/306898056 我觉得答主在回答中说的路线很有趣,甚至产生了按照这个路线写点东西的冲动.并且在评论里提了一句.正所谓自己说出的话哭着也要做到(笑),于是就有了这篇贴.本来应该首发在知乎专栏再转发过来的,但是我是知乎小透明,不让我建专栏.嗯,好了闲话少说,希望大家多多关注,争取两开花(手动滑稽),另本人才疏学浅,希望大家多多指正,感激不尽。
    前言
    我们学习数学时,常常会产生这样的问题:”xx为什么是xx”.这样的问题在大多数人看来是没有任何意义的.而笔者认为即使他问的问题没有意义,但他为什么会问出这样的问题确实很有意思的.这往往意味着它对某一知识没有深刻的理解.笔者一直相信数学应该有清晰的逻辑路线并且是符合直觉的(即使有一些很反直觉,但总有我们可以理解的切入点).说这些是因为这个系列的文章叫做”逆练九阴真经”,笔者尝试一种自上而下的路线.读者很可能会产生这样的疑问。为了可读性,笔者尽量不会铺垫厚重的理论,因为在应用之前学一堆以后才能用得上甚至于不知道什么时候能用得上的理论是很痛苦的事情.我大概会在碰到问题时在介绍解决问题的理论,现学现用.
    一个数学对象的出现,源于我们对自然界中某个共同特征的抽象.我们讨论一个东西是什么,(至少)有两种方法,一种是将其列举出来,另一种则是描述它的性质。这和我们表示集合的方法不谋而合。例如我们考量度量的定义:在集合X上有一个函数$ ρ: X^2→R_+$,其满足:
    (1)对于$ \forall x_1, x_2 \in X,ρ (x_1,x_2)≥0$,当且仅当$ x_1=x_2$时有$ρ(x_1,x_2 )=0$
    (2)对于$ \forall x_1, x_2\in X, ρ(x_1,x_2)=ρ(x_2,x_1)$
    (3)对于$ \forall x_1, x_2 ,x_3\in X,ρ(x_1,x_2)+ρ(x_2,x_3)≥ρ(x_1,x_3)$
    满足这样性质的函数我们都叫做某集合上的度量。这就是典型的描述式定义。定义是因为其有这样的性质,这样的性质很有用,所以我们给它取了个名叫度量。并不是度量叫做度量所以它有这样的性质。同时我们注意到度量实际是从欧式空间下的距离抽象过来的,带有明显的痕迹,例如(3),我们称作三角不等式性,因为它是在欧式空间三角形中两边之和大于第三边过来的(曲率为0的平面才有这个性质)。了解了这两点,大概就不会再问出“为什么xx是xx”这样的问题。
    另外我可能会更得很慢(主要因为我懒),读者见谅(不要顺着网线过来打我)。
    Part 1 自然数
    数学里我们第一个接触到的数学对象是“数”的概念,这里的数指的是自然数。自然数,听这个名字,多自然啊(手动滑稽)我们从小学就会数1,2,3,…。并且我们知道其上简单的运算,如加减乘除,也知道有这样的操作:1<2<3<…
    如果假设读者了解基本的朴素集合论和关系,函数的概念,我们会惊喜的发现加法和乘法可以看做是函数,而其上的大小关系则是一个序关系。我们之后会证明加法和乘法是在自然数集上保持运算的,而自然数集上的一般序是一个良序。但在这之前,容我唠叨几句朴素集合论。因为这个是写给初中生看的,我要尽力让他们能看懂。
    一、朴素集合论初步
    1.1 集合
    集合的概念:集合几乎是数学里最基础的概念了,这样的概念我们一般不加定义的。另一个极端,不加定义就意味着会有很多种定义。这里按照朴素集合论里的集合概念简单的定义集合。集合是指具有同一性质p的对象组成的全体。记做: A={x|x满足性质p}
    例如所有看这个贴的人就可以组成一个集合。朴素集合论的定义会导致罗素悖论,但咱们要讲的东西应该不会引起了罗素悖论,所以就这样用了。
    对于集合 A={x|x满足性质p},其中满足性质p的对象,称为集合A的元素如果一个对象x是集合A的元素,则称x属于集合A,记做$ x\in A$ ,否则称x不属于A,记做$ x\notin A$ 。例如 x=鲸鱼,A={x|x属于硬骨鱼纲},$ x\notin A $
    若对于$ \forall x\in A,x\in B$,则称A包含于B,称B为A的子集,记做$ A\subseteq B$。即A中所有的元素都在B中,B完全覆盖了A。
    若$ A\subseteq B$且$ B\subseteq A$,则称$ A=B$。互相覆盖的就完全重合了,此处定义类似于“a≤b且b≤a则a=b”
    定理1.1 设A,B,C均为集合,有
    (1)$ A=A$
    (2)若$ A=B$,则$ B=A$
    (3)若$ A=B,B=C$,则 $ A=C$
    这个定理说的是集合上的相等是个等价关系,此处按住不表
    定理1.2 设A,B,C均为集合,有
    (1)$ A \subseteq A$
    (2)若$ A\subseteq B$,且$ B\subseteq A$,则$A=B$
    (3)若$ A\subseteq B$,$ B\subseteq C$,则 $ A\subseteq C$
    这个定理说的是集合间的包含关系是偏序关系,此处按住不表。
    以集合作为元素的集合我们称作集族,一般用花体字母表示。我们常常要讨论一种集族,我们称之为该集合的幂集族。对于集合X={$ x_1,x_2,x_3$},X的幂集族是指所有X的子集组成的集族,用$ \mathscr P$表示,即$ \mathscr P$={{$ x_1$},{$ x_2$},{$ x_3$},{$ x_1,x_2$},{$ x_2,x_3$},{$ x_1,x_3$},$P$ ,$\phi$ }

  2. baishuxu

    2楼 1月15日 天文版主
    5周前baishuxu 重新编辑

    那个,论坛支持TEX代码的……用两个「$\$$」括起来就好……
    例如:$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}+1=0$
    P.S. 你引号错了一个
    P.P.S. 你终于有头像了
    P.P.P.S 论坛支持文字超链接

  3. 5周前埘光之沙 重新编辑

    嗯我得学一下TEX代码,以前没用过。233我以前都比怎么看论坛的,所以一直没头像。关于公式的问题感谢指出,已经尽力更改了~

 

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