重男轻女是男女比例失衡的直接原因吗?

  1. 4周前
    4周前ShongLee 重新编辑

        根据第六次人口普查,全国0~4岁婴幼儿的男女性别比达到$121:100$,失衡程度相当高了。社会普遍认为,重男轻女的观念是导致新生儿性别失衡的主要原因,甚至有部分人将性别失衡归咎于曾经的“一孩半政策”。

    一孩半政策:农村夫妇第一孩为男孩时不得再生育,第一孩为女孩时则可以在一段时间间隔后生育第二孩。

        在此我不打算讨论“一孩半政策”是否有违男女平等,我们要探讨的是,单单是观念原因,是否会导致新生儿性别比例失衡?考虑观念的直接作用,夫妇会根据已生育的孩子性别来决定接下来的生育规划。
        举“一孩半政策”来为例,假设正常生育男孩和女孩的概率分别为$p$和$q$,(注:这里以及后文都忽略多胞胎的情况)$p+q=1$,单次生育的性别比为$\text{男}:\text{女}=p:q$。在此政策之下存在三种孩子出生序列:男、女男、女女,概率分别为$p$,$qp$$q^2$,根据此概率可以计算男孩女孩数量的期望值:
    \begin{align*} E(\text{女孩})&=\rm 2\cdot P(\text{女女})+1\cdot P(\text{女男})\\ &=2\cdot q^2+1\cdot qp=q(2q+p)=q(1+q)\\ E(\text{男孩})&=\rm 1\cdot P(\text{男})+1\cdot P(\text{女男})\\ &=1\cdot p+1\cdot qp=p(1+q)\\ \end{align*}
        可见,在数学期望的意义上,男女性别比等于单次生育的性别比,“一孩半政策”并没有导致新生儿性别失衡。
        换一种更极端的生育观念来看看:假设第一孩为男孩,就不再生育,否则持续生育,直到生育得到一个男孩为止。初步来看,每一对夫妇都生育到男孩时停止生育,那么每一对夫妇都有一个儿子,于是直观上认为总体的男孩数量将比女孩的多。但是我们忽视了另一些情况,当第一孩不是男孩时,必定是女孩,再次生育得到男孩和女孩的概率和第一孩时一样。
        更严格地说,连续生育了$n$个女孩并且生育一个男孩的概率是$pq^n$,此时将有$n$个女孩,而仅仅一个男孩。计算两者数量的期望值:
    \begin{align*} E(\text{女孩})&=\sum_{n=0}^{\infty}n\cdot {\rm P}(\text{n女1男})\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}n\cdot pq^n=\frac{pq}{(1-q)^2}=\frac{q}{p}\\ E(\text{男孩})&=\sum_{n=0}^{\infty}1\cdot {\rm P}(\text{n女1男})\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}1\cdot pq^n=\frac{p}{1-q}=1\\ \end{align*}
        我们再次看到,在数学期望的意义上,男女性别比等于单次生育的性别比。
        我们还可以使用更通用更普遍的生育观念模型:生育意愿不仅会受到已有的孩子的影响,还会受到经济因素等等的影响,生不生不再是确定的,而是具有某个概率分布的。用一个由$g$和$b$组成的有限序列表示已经生育了的孩子,$g$表示女孩,$b$表示男孩,例如$gbb$表示第一孩为女孩,后两孩为男孩。所有由$g$和$b$组成的有限序列构成集合${\rm T}$。对于$\omega\in{\rm T}$,$Q(\omega)$表示在孩子序列为$\omega$的情况下这对夫妇还会生育孩子的概率,$n(\omega)$表示$\omega$的长度,$G(\omega)$表示孩子序列$\omega$下女孩的个数,$B(\omega)$表示孩子序列$\omega$下男孩的个数。例如,$n(gbb)=3$,$G(gbb)=1$,$B(gbb)=2$。
        为了讨论方便,继续定义一些符号概念。对于$\omega\in{\rm T}$,正整数$i\leq n(\omega)$,则$\omega_i$表示截取序列$\omega$的前$i$位得到的新序列。定义:
    \[P(\omega):=\begin{cases} 1-Q(\omega), &\text{if }n(\omega)=1;\\ (1-Q(\omega))\prod_{i=1}^{n(\omega)-1}Q(\omega_i),&\text{else}. \end{cases} \]
        为了使此模型有意义,当$n(\omega)\rightarrow\infty$时,$Q(\omega)$必须以足够快的速度趋向于$0$,因为现实中生孩子的意愿必定会随着已有的孩子数量的增加而减少。所以下文假设遇到的无穷级数都是收敛的。
    那么,可得:
    \[\begin{align*} E(\text{男孩})&=\sum_{\omega\in\rm T}B(\omega)P(\omega)p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}\\ &=p\frac{\partial}{\partial p}(\sum_{\omega\in\rm T}P(\omega)p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}){\Large\mid}_{p+q=1} \end{align*}\tag{1}\]
    同理有:
    \[E(\text{女孩})=q\frac{\partial}{\partial q}(\sum_{\omega\in\rm T}P(\omega)p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}){\Large\mid}_{p+q=1}\tag{2}\]
    其中,
    \begin{align*} &\sum_{\omega\in\rm T}P(\omega)p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}\\ &=q(1-Q(g))+p(1-Q(b))+\sum_{n(\omega)>1}{\Large(}p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}(1-Q(\omega))\prod_{i=1}^{n(\omega)-1}Q(\omega_i){\Large)}\\ &=p+q+\sum_{n(\omega)>1}{\Large(}p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}\prod_{i=1}^{n(\omega)-1}Q(\omega_i){\Large)}-\sum_{\omega\in\rm T}{\Large(}p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}\prod_{i=1}^{n(\omega)}Q(\omega_i){\Large)} \end{align*}
        因为每一个长为$n-1$的(属于$\rm T$的)序列都可以由两个长为$n$的序列通过截断最后一个符号得到,并且这两个长为$n$的序列最后一个符号分别为$g$和$b$,所以:
    \[\sum_{n(\omega)>1}{\Large(}p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}\prod_{i=1}^{n(\omega)-1}Q(\omega_i){\Large)}=(p+q)\sum_{\omega\in\rm T}{\Large(}p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}\prod_{i=1}^{n(\omega)}Q(\omega_i){\Large)}\]
    所以:
    \begin{align*} &\sum_{\omega\in\rm T}P(\omega)p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}\\ &=p+q+(p+q-1)\sum_{\omega\in\rm T}{\Large(}p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}\prod_{i=1}^{n(\omega)}Q(\omega_i){\Large)}\\ &=p+q+(p+q-1)F(p,q) \end{align*}
    其中$F(p,q)=\sum_{\omega\in\rm T}{\Large(}p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}\prod_{i=1}^{n(\omega)}Q(\omega_i){\Large)}$ 。
    于是:
    \begin{align*} &\frac{\partial}{\partial p}(\sum_{\omega\in\rm T}P(\omega)p^{B(\omega)}q^{G(\omega)}){\Large\mid}_{p+q=1}\\ &={\Large(}1+F(p,q)+(p+q-1)\frac{\partial}{\partial p}F(p,q){\Large)}{\Large\mid}_{p+q=1}\\ &=1+F(p,q) \end{align*}
        将此结果代回$(1)$式可得$E(\text{男孩})=p(1+F(p,q))$,同理,根据$(2)$式经过相同运算可得$E(\text{女孩})=q(1+F(p,q))$。我们再次看到,男孩女孩的数学期望之比等于单次生育的男女概率比。
        对于这个结果,我们可以这样理解:影响男孩女孩数量比值的不是生不生,而是每次生育得到男孩、女孩的概率。如果生育次数有限,那么可以通过数学归纳法来证明上文的结论。只要每次生男生女的概率相等,在数学期望上来看,新生儿男女比例都不会失衡太多。(不过,不同的生育观念,男孩女孩数量的方差会不同。)
        所以,重男轻女的观念虽然可能是我国新生儿男女比例失衡的主要原因,但绝不是直接原因。所有影响生还是不生的,都不会直接导致男女比例变化。
        那为什么我国新生儿男女比例失调这么严重呢?我手上没有各方面的数据,这个问题我解决不了。或许有很多夫妇暗地里做了胎儿性别鉴定继而选择性流产,又或者某个民间生男孩偏方确实产生了疗效,甚至可能是因为五千年的人工选择,生男孩比较多的女性有机会产生更多后代(这就要扯进化论了……)。无论怎么说,导致$p$和$q$发生改变的,才可能是直接原因。

    假装有脚注:
    讨论男女比例失衡干嘛呢?生育率过低才是当前最主要的人口问题啊,加把劲啊各位。

    本文原创,禁止未经授权的转载,禁止抄袭。

    本文来自于本人的知乎专栏“数学物理原理”,原文链接:重男轻女是男女比例失衡的直接原因吗? - 知乎专栏[数学物理原理]
    亦可在微信公众号“数学物理原理”查看此文,不过因为微信公众号无法编辑公式,所以省去了后面的证明过程。链接:重男轻女是男女比例失衡的直接原因吗?-微信[数学物理原理]

  2. 海龙

    2楼 1月12日 茶馆馆长

    标题似可改为「『想生男孩』是男女比例失衡的直接原因吗?」,毕竟文中的重点是生育策略,用重男轻女这一说法有点笼统?而且重男轻女不一定表现为不想生女孩,也可能是生下来以后待遇不平等,比如不给继承权怎么样的。

    关于在公众号里使用公式,马同学高等数学 好像做得很不错,不过也都是插入图片做的,真不容易。。

 

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