非欧几何是向量空间不

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  2. 4周前

    [quote=47317:@埘光之沙]向量空间可以等价于矢量空间吧

  3. baishuxu

    6楼 1月12日 天文版主
    4周前baishuxu 重新编辑

    @自然法师之神 向量空间可以等价于矢量空间吧

    搬运一下维基百科对『向量空间』的定义……

    【顺便:『向量』和『矢量』都是对『Vector』的翻译】

    对域$F$定义的向量空间是一个集合$V$以及对$V$定义的两种二元运算,这两种运算要满足八条公理。

    运算一 向量加法(Vector Addition) $+: V\times V\rightarrow V$
    把$V$中两元素$\mathrm{\bf{v}}$和$\mathrm{\bf{w}}$映射到$V$中另一元素,记作$\mathrm{\bf{v}}+\mathrm{\bf{w}}$。

    运算二 标量乘法(Scalar Multiplication) $\cdot: F\times V\rightarrow V$
    把$F$中的一个元素$a$和$V$中的一个元素$\mathrm{\bf{v}}$映射到$V$中另一元素,记作$a\cdot\mathrm{\bf{v}}$或者$a\mathrm{\bf{v}}$。

    $V$中的元素称为向量(Vector),$F$中的元素称为标量(Scalar)。

    这两种运算要满足以下八条公理。下面的$\mathrm{\bf{u}}$、$\mathrm{\bf{v}}$和$\mathrm{\bf{w}}$都是$V$中元素,$a$和$b$则是$F$中元素。

    1、向量加法的结合律:$\mathrm{\bf{u}}+\left(\mathrm{\bf{v}}+\mathrm{\bf{w}}\right)=\left(\mathrm{\bf{u}}+\mathrm{\bf{v}}\right)+\mathrm{\bf{w}}$;
    2、向量加法的交换律:$\mathrm{\bf{u}}+\mathrm{\bf{v}}=\mathrm{\bf{v}}+\mathrm{\bf{u}}$;
    3、向量加法的单位元:$\exists\mathrm{\bf{0}}\in V\ \mathrm{s.t.}\ \forall \mathrm{\bf{v}}\in V, \mathrm{\bf{v}}+\mathrm{\bf{0}}=\mathrm{\bf{v}}$,其中$\mathrm{\bf{0}}$称为零向量(Zero Vector);
    4、向量加法的逆元素:$\forall\mathrm{\bf{v}}\in V,\exists -\mathrm{\bf{v}}\in V\ \mathrm{s.t.}\ \mathrm{\bf{v}}+\left(\mathrm{\bf{-v}}\right)=\mathrm{\bf{0}}$,其中$\mathrm{\bf{-v}}$称为$\mathrm{\bf{v}}$的加法逆元(Additive Inverse);
    5、标量乘法与标量的域乘法相容:$a\left(b\mathrm{\bf{v}}\right)=\left(ab\right)\mathrm{\bf{v}}$;
    6、标量乘法的单位元:$\exists 1\in F\ \mathrm{s.t.}\ \forall \mathrm{\bf{v}}\in V, 1\mathrm{\bf{v}}=\mathrm{\bf{v}}$;
    7、标量乘法对向量加法的分配律:$a\left(\mathrm{\bf{u}}+\mathrm{\bf{v}}\right)=a\mathrm{\bf{u}}+a\mathrm{\bf{v}}$;
    8、标量乘法对域加法的分配律:$\left(a+b\right)\mathrm{\bf{v}}=a\mathrm{\bf{v}}+b\mathrm{\bf{v}}$。

    前四个公理说明装备了向量加法的$V$是交换群,余下的四个公理应用于标量乘法。需要注意的是向量之间的加法『$+$』和标量之间的加法『$+$』是不一样的,标量与向量之间的标量乘法$\cdot$和两个标量之间的乘法(域$F$中自带的乘法)也是不一样的。

    简而言之,向量空间是一个$F-$模。这句我并看不懂
    -image-

    A Euclidean space is not technically a vector space but rather an affine space, on which a vector space acts by translations, or, conversely, a Euclidean vector is the difference (displacement) in an ordered pair of points, not a single point.

    Ref: Euclidean space - Wikipedia
    -image-
    希望能提供一丢丢帮助吧……也希望各位大佬不要嫌太水把我的回复删了(捂脸)

  4. 长岛冰茶

    7楼 1月12日 物理版主

    主要大概是欧氏几何并不是一个集合吧

  5. @自然法师之神 [quote=47317:@埘光之沙]向量空间可以等价于矢量空间吧

    对的,不是等价,完全就是一个意思。

  6. 矢量是物理中的说法,向量是数学中的叫法,不过两者可以混用。这个高中就应该知道的啊

  7. @长岛冰茶 主要大概是欧氏几何并不是一个集合吧

    难道是欧式几何(欧式空间)作为一个整体,而向量空间只是它当中的元素(或者真子集)的原因。

  8. 古典的(三维)欧氏几何理论是非常典型的公理化理论,其公理系统仅用到了基础的数理逻辑概念,甚至可以做到不依赖于集合论。因此“欧氏几何是向量空间”这种说法没什么意义。
    不过另一方面,我们可以用集合论给欧氏几何构造一个“模型”:任取一维数为$3$、其上定义有内积的实数域上的线性空间$V$,将$V$中的元素作为“点”,$V$的形如$\{s\mathbf{t}+\mathbf{b}:s\in\mathbb{R}\}$(其中$\mathbf{t},\mathbf{b}\in V$)的集合作为“线”,$V$中形如$\{\mathbf{x}\in V:(\mathbf{a},\mathbf{x})=b\}$(其中$\|\mathbf{a}\|=1$)的集合作为“面”,“点在线上”对应于集合的属于关系,“线在面上”对应于集合的包含关系等等。那么可以证明,古典欧氏几何中的各个公理与定理,均可转化为关于线性空间$V$的定理。这实际上就是解析几何干的事情。
    随着$3$维实内积空间成为古典欧氏几何的标准模型,数学家便把任意有限维的实内积空间称作“欧氏空间”,并且反过来用高维的欧氏空间来研究高维的欧氏几何,将其看作是古典欧氏几何的推广。

    类似于古典欧氏几何,非欧几何理论在创立之初同样是典型的公理化理论,公理系统仅用到基础的数理逻辑概念,并可以做到不依赖于集合论。因此“非欧几何是否是向量空间”这种说法同样没有什么意义。
    但我们同样可以在集合论的框架下给常见的非欧几何理论构造模型。与欧氏几何不同的是,非欧几何的模型一般不再能单纯建立在有限维线性空间之上,而通常是建立在更一般的微分流形之上。

  9. @折木 奉太郎 ,谢谢你的精彩回答!

  10. FatFish

    13楼 1月13日 物理版主, 优秀回答者

    楼主这个问题在我看来仿佛是在问“爆米花是不是阿兹特克历法”。答案:当然不是,但是是什么知识背景驱动你问出这么奇怪的问题?阿兹特克人崇拜玉米之神?

    一般说欧几里得几何、非欧几何,说的是一个公理框架,或者满足这个公理框架的模型,一个整套的推理体系和相关结果。而向量空间是满足若干性质的一个集合。就我能想到的,他们之间那么点关系,不比玉米和阿兹特克人的关系多:欧几里得空间$\mathbb{R}^n$可以是一个向量空间,且这个空间可以作为一个欧几里得几何模型的背景。但是这个空间本身不是“欧几里得几何”,最多说是某个欧几里得几何模型的一部分。从你10楼的回复来看,你似乎是把欧几里得空间和欧几里得几何搞混了。

    另:
     楼主如果只是概念不清,则问题不大。但在发现有概念分歧的时候应该立刻说出来,然而你看2~5楼的对话,完全就没构成任何有效信息交流。2楼和我表达了差不多的意见,而楼主在3楼的回复除了念一遍线性空间的定义外,完全没有谈对2楼有关“非欧几何”的定义什么看法。根本不清楚你是没看懂这个定义还是不认同这个定义。而5楼更是和4楼的内容牛头不对马嘴,之前的讨论完全没出现“矢量空间”这个词,也看不出这个“等价”对于4楼的疑问有任何帮助,更何况矢量和向量本来只是一个东西的两个名字,就是一回事,而不只是个“可以等价……吧”,楼主在这里的概念也有些奇怪的错误认识。
         总之我是不明白这个交流是怎么变成这个样子的,楼主3楼和5楼的回复给我感觉就是完全没能理解2楼和4楼在说什么,而不只是概念不清。(如果概念不清至少应该有一些针对性的发问或反驳)这种交流风格完全无助于搞清问题关键。楼主应该好好想一下为什么会出现这种交流障碍,不然以后这种场合还会出问题。

  11. @FatFish,我就是认为欧几里得几何就是欧几里得空间,几何和空间等价

  12. 照我理解, 楼主实际上想要表达的是欧几里得几何的度量结构与其底空间的向量空间结构之间的相容性, 也就是说, 尽管$\mathbb{R}^n$上可以赋予各种各样的黎曼度量, 但是在平移变换之下不变的黎曼度量只能是欧氏度量.

  13. N_a_O_H_

    16楼 1月14日 数学版主
    4周前N_a_O_H_ 重新编辑

    @海龙 , @但是法官…… 的批准下,公布以下决议:
    在前几楼提供如此详尽回答的情况下,楼主的回答未能表现出对其他任何人回复的理解。14楼的发言中可见一斑。
    本着有效交流的原则,在此将楼主封禁。
    此举也可告诫论坛内的诸位,学而不思则罔,思而不学则殆。

  14. @N_a_O_H_@海龙 , @但是法官…… 的批准下,公布以下决议:
    在前几楼提供如此详尽回答的情况下,楼主的回答未能表现出对其他任何人回复的理解。14楼的发言中可见一斑。
    本着有效交流的原则,在此将楼主封禁。
    此举也可告诫论坛内的诸位,学而不思则罔,思而不学则殆。

    建议明确告知封禁的期限,因为封禁的作用毕竟应该是警告,而不是清除。

  15. Phantom_Ghost

    18楼 1月14日 数学版主, 物理版主, 优秀回答者
    4周前Phantom_Ghost 重新编辑

    这也要封?我认为只要是没有逾越理性讨论这点原则都不可以实施封禁处罚,别人能不能理解那是他自己的事,你解释得好不好也是你自己的事情,自由理性讨论是每个用户在学术论坛上应享有的基本权利。如果觉得对方不能理解而懒得进一步交流你完全可以不回复不再参与讨论。

  16. baishuxu

    19楼 1月14日 天文版主

    @Phantom_Ghost 我认为只要是没有逾越理性讨论这点原则都不可以实施封禁处罚

    悄悄说一句,版主都有解封和封禁的权限……

  17. 蔡家麒

    20楼 1月14日 物理版主

    @折木 奉太郎 古典的(三维)欧氏几何理论是非常典型的公理化理论,其公理系统仅用到了基础的数理逻辑概念,甚至可以做到不依赖于集合论。因此“欧氏几何是向量空间”这种说法没什么意义。
    不过另一方面,我们可以用集合论给欧氏几何构造一个“模型”:任取一维数为$3$、其上定义有内积的实数域上的线性空间$V$,将$V$中的元素作为“点”,$V$的形如$\{s\mathbf{t}+\mathbf{b}:s\in\mathbb{R}\}$(其中$\mathbf{t},\mathbf{b}\in V$)的集合作为“线”,$V$中形如$\{\mathbf{x}\in V:(\mathbf{a},\mathbf{x})=b\}$(其中$\|\mathbf{a}\|=1$)的集合作为“面”,“点在线上”对应于集合的属于关系,“线在面上”对应于集合的包含关系等等。那么可以证明,古典欧氏几何中的各个公理与定理,均可转化为关于线性空间$V$的定理。这实际上就是解析几何干的事情。
    随着$3$维实内积空间成为古典欧氏几何的标准模型,数学家便把任意有限维的实内积空间称作“欧氏空间”,并且反过来用高维的欧氏空间来研究高维的欧氏几何,将其看作是古典欧氏几何的推广。

    类似于古典欧氏几何,非欧几何理论在创立之初同样是典型的公理化理论,公理系统仅用到基础的数理逻辑概念,并可以做到不依赖于集合论。因此“非欧几何是否是向量空间”这种说法同样没有什么意义。
    但我们同样可以在集合论的框架下给常见的非欧几何理论构造模型。与欧氏几何不同的是,非欧几何的模型一般不再能单纯建立在有限维线性空间之上,而通常是建立在更一般的微分流形之上。

    事实上,几何是一门学科分支的名字。题主问得类似“量子物理是希尔伯特空间不?”。什么是几何?按照通常的说法,几何就是研究流形及其上结构的一个数学分支。

    补充一个最近看到的和楼主的问题有关的事情,觉得很有趣。
    确定了几何之后,我们应该用什么样的办法去研究几何?下面一个纲领给出了回答:

    埃尔兰根纲领:
    https://en.wikipedia.org/wiki/Erlangen_program
    1、要利用变换群及其不变量去刻画几何性质。
    2、进一步,由变换群分类出所有可能的几何分类

  18. 京斯

    21楼 1月15日 管理员
    4周前京斯 重新编辑

    @Phantom_Ghost 我认为只要是没有逾越理性讨论这点原则都不可以实施封禁处罚,别人能不能理解那是他自己的事

    不是不骂人就叫「理性」讨论了,抄一段维基百科对「理性」的解释:指在审慎思考后,以推理方式,推导出合理的结论。

    楼主的回复完全没有表现出他在思考你们的讨论内容。诸位态度更加温和,当然能尽力将原提问合理化,但我更认为如 @FatFish 所说,楼主就是单纯的概念不清,至少是在回答都指出他概念不清的情况下拒绝澄清。如果这帖还表现不明显,楼主在生物版另一帖下的大量回复就是通篇乱推理。要怎么定义才能把这看作理性讨论啊?


    解封我倒没意见,我认为各位版主应当具有自己的决定权,而且楼上的公告也没指明是永封。
    不过封禁的决定是经过一定范围内部讨论的,也希望下回出现此类情况,能及时得到你的意见。

  19. FatFish

    22楼 1月15日 物理版主, 优秀回答者
    4周前FatFish 重新编辑

    关于这个封禁问题,虽然 @京斯 和 @但是法官…… 开会决定封禁的时候我不在,不过我事后进行了一些沟通。虽然我是物理版主不是数学版主,但是论坛现在只支持全区封禁,可以认为这个事应该涉及所有管理层。何况这两个争议贴我都批评过楼主——再说从维持整体论坛气氛的角度讲,我也应该说说我的意见。


    我是认为楼主不至于封禁,特别是我还很想问问“既然你说欧几里得几何就是欧几里得空间,那你觉得非欧空间又是什么,如何定义”呢。不过被封了么,我觉得也没什么冤枉的。

    但是另一方面,封禁应该有个预期。之前论坛是封过几个溜过来的民科,那个倒是没公告,直接灭杀了。不过我认为这种论坛封杀民科基本上是个共识了倒不用太声明。而且论坛有个相当霸道且口袋的使用协议 ,可以确保这些行为有预先说明。但是这个协议不够具体,对本贴这种争议场景只能提供个“法理依据”,没法提供今后类似事件的具体的执行标准。

    这种情况,在封禁前预先警告比较好,“如果你再做某种行为,可能会被封禁”,然后再犯再封禁。

    另外由于论坛的封禁功能比较简陋,空间上不能单区封禁,实践上无法限时封禁,只能依靠手动操作,因此一般执行时默认就是封杀,而不是 @DTSIo 的警告了——不过在无预警的情况下彻底封杀就有点过分了。现在既然被 @Phantom_Ghost 解封了,我不支持在没有进一步恶劣表现前追加封禁。


    我也不认同 @Phantom_Ghost 的标准。这个拿来律己还不错,但是论坛管理不只是个人问题。有一个完全无法沟通的问问题,懒得理的走了,又有一个根本不看回复的乱聊天,懒得搭理的走了,长期下去很多论坛用户的热情会被打磨掉的。现在论坛活跃用户很少,维持一个观感更好的环境也很有必要。
    对用户个人来说,论坛什么用户做了什么不太喜欢的事情,可以不管;论坛很多用户做了不太喜欢的事情,可以走人。但管理如果不注重这种事情,长此以往,某些不犯原则错误但是有所争议分歧的行为就会对论坛的活跃人员组成造成很大影响——特别是这种缺乏大基本盘的小论坛。我认为社区管理不只维护一些底线规则,还需要维护一个比较健康的符合论坛主题的文化环境。

    具体到本楼楼主,他当然表现的很“礼貌”,比如说对于@折木 奉太郎 的长篇回答表示了感谢:

    @自然法师之神 @折木 奉太郎 ,谢谢你的精彩回答!

    很客气是吧,但是我们看之后的某个发言:

    @自然法师之神 @FatFish,我就是认为欧几里得几何就是欧几里得空间,几何和空间等价

    看来他根本没搞懂折木写的东西。那么他到底在感谢什么?我不认为这种“友善客气”对于论坛的健康氛围有任何促进作用。不知道折木自己怎么想,但是我很郁闷。虽然我不想直接封禁,但我认为适当警告有所必要。
    ——这不单纯是对方是否缺乏理解能力、是否需要宽容理解程度低的问题,甚至楼主“没理解相关回复”都得从他的回复中推断。他自己从未明确表述过,对这些回复,自己有哪里存在理解困难。很多人因为过往经验、知识背景,会对一些特定的问题存在理解困难、接受困难。这是所有专业学习者都可能遇到的情况,论坛也没有对此进行排斥,看了之后仍然不理解需要多次询问也并非禁忌。但是想要答疑解惑,特别是针对性解答个人困惑,至少需要提问者明确做出合适的反馈。而本楼楼主似乎总是在重复自己最初的观念,其他人的回答造成了什么影响?他哪里不能接受?哪里看懂了?哪里没有?这些我们都不知道。特别是本楼各位回答者尝试了各种风格的答案之后楼主依然只表现出一股“我没仔细看你们说什么但是我这么想的”的态度,这个恐怕不单纯是“知识背景不足”“理解能力有限”“回答观点太高”“回答不易理解”等合情合理原因所致。换言之,这个人被封禁的原因(包括我也觉得该警告的原因)并不是大家觉得他太笨了,怎么说都没法理解而怒封。而是他的行为看不出任何对其他人回复的实质性尊重。从某种角度上说,虽然楼主只是概念比较混乱,而没有去发明什么奇怪的理论,但是这种近乎自说自话无视他人意见的行为很是有“民科”气息,完全没有表现出足够参与正常交流的“理性”.


    此外,
    论坛物理版有一个主要从物理吧吧规迁移过来的版规: http://chaoli.club/index.php/50
    版规中有很多对提问者的要求,远高于基本的“自由理性讨论”,当然,这个物理版规管不到数学版。但是这个版规大部分内容不是专门针对物理学科的特征制定,而是一些一般性的提问回答规范,虽不能作为本次行为的法理基础,作为一个“论坛管理层希望打造的文化氛围”说明却不为过。


    最后,由于论坛框架原因,现在全区封禁权力下放到版主,原则上这个权利应该只属于管理员才对。不过目前来看,考虑到封禁普遍不是因为被封禁用户只在某个学科上表现恶劣,版主封禁程度过大没有实际上造成任何困难。事实上本次封禁也是管理员 @京斯 主持的。而且流程上,因为封人直接缘由是数学版的贴子,封禁决定还署名了 @但是法官…… ,问题么,就是实际上这不只是数学版的问题, @京斯 对于其在生物版贴子 http://chaoli.club/index.php/4465 长篇大论离题万里的表现也很不满,本贴甚至也有所提及:

    @京斯 如果这帖还表现不明显,楼主在生物版另一帖下的大量回复就是通篇乱推理。要怎么定义才能把这看作理性讨论啊?

    可以说这其实是综合考虑其表现后进行的封禁,那封禁说明也该提到生物版主的意见。这个被忽视了。而且当时只是单纯封禁,没有说明理由,是我主张这种不是特别恶劣的行为,封禁需要声明清楚之后,才发布带有决策人信息的封禁说明。

    这个流程虽然算得上正式但是显然疏漏不少,不过诸如全体版主圆桌会议之类的事情毫无实践价值,所以也只能从部分版主意见中参考了。像是 @Phantom_Ghost 事后得知有分歧意见的,也只能事后再交流协调了。

    (这个贴子似乎偏到了管理政策上,不过坦白来说,我觉得题目的问题已经该说的都说了。偏就偏吧,为避免类似情况今后造成混乱,吸收其他人的意见,也许茶馆区应该准备个议政广场之类的?)

  20.       谢谢各位的解答,也谢谢各位的原谅!的确,我概念不清,在你们回答了过后,我开始也是没懂。现在把你们的解答,和维基上的,自己想的说出来看看理解对没。
           1、欧式几何研究图形的性质、特征、属性,从几条公设推出这门几何相关的定理的一门学科。满足欧式定理及公设的几何性质的空间叫欧式空间;
           2、向量空间是一种集合满足楼上各位说的(定义的两条运算满足八个运算规律),这样的集合可以是向量空间;
          3、英文维基原话:(1)Classical Greek geometry defined the Euclidean plane and Euclidean three-dimensional space using certain postulates, while the other properties of these spaces were deduced as theorems. Geometric constructions were also used to define rational numbers as ratios of commensurable lengths. When algebra and mathematical analysis became developed enough, this relation reversed and now it is more common to define Euclidean spaces from vector spaces, which allows using Cartesian coordinates and the power of algebra and calculus. This means that points are specified with tuples of real numbers, called coordinate vectors, and geometric shapes are defined by equations and inequalities relating these coordinates. This approach has also the advantage of allowing easily the generalization of geometry to Euclidean spaces of more than three dimensions.
            (2)Differential geometry uses techniques of calculus and linear algebra to study problems in geometry. It has applications in physics, including in general relativity.
             维基上说用向量空间来处理欧式空间可以和欧式空间里的欧式几何公设与定理相一致,推导出来的性质和计算不矛盾。
          我是在看一个视频,说三维空间里的矢量想到非欧几何里面是否有矢量的。也许大概是这样出现的这么回事,具体都记不清了。好吧,我很愚蠢,因为矢量这东西在任何形状的空间里都是存在的吧。
           如有错误多谢指点!

  21. FatFish

    24楼 1月18日 物理版主, 优秀回答者
    4周前FatFish 重新编辑

    @自然法师之神 满足欧式定理及公设的几何性质的空间叫欧式空间

    咳,一般来说,欧式空间就是$\mathbb{R}^n$,以n元有序数组为元素的一个集合,至于在上面定义符合欧几里得几何的点线面距离,还是定义符合向量空间定义的向量法则,都是根据需要后加的。当然了,概念起源上看,$\mathbb{R}^n$是来自于欧几里得几何的直观印象。

    另外,你也可以在$\mathbb{R}^n$(的一部分)上搞非欧几里得几何模型,比如说我们定义球的大圆是“非欧直线”,对径点是一个“非欧点”,那么就可以在球面搞出一套满足非欧几何公设的体系——数学细节就不写了,不过这类模型是早期验证非欧几何不会出现矛盾的重要依据:这个“非欧几何”的任何矛盾都可以对应转化为欧几里得几何中球面命题的一些矛盾。所以只要欧几里得内部无矛盾,那这个非欧几何模型也不可能有。

 

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