一个δ函数相关积分

  1. 8周前
    8周前蹑履思登 重新编辑

    积分\(\iint f(x)\frac{\partial}{\partial x}\delta (x-y)g(y)dxdy\)(两积分变量x和y的积分区域都是负无穷到正无穷)
    应该等于
    \(-\int_{-\infty}^{\infty}f'(y)g(y)dy\) ... ... (1)
    还是
    \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)g'(x)dx\) ... ... (2)?

  2. 8周前蹑履思登 重新编辑

          一方面直接就有公式\(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\frac{d}{dx}\delta (x-a)=-f'(a)\),对应结果(1);另一方面作分部积分,应该还有一项\(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]dx\),不一定能消去,对应结果(2)。
          虽然结果(1)套用的公式也是分部积分得来的,但是a似乎得是一个有限大小的数才成立?

  3. 这种情况说明原来的积分定义不明确. 如果限定$f,g$都具有紧致支集的话, 那么两个结果当然一样.

  4. 7周前

    @DTSIo 这种情况说明原来的积分定义不明确. 如果限定$f,g$都具有紧致支集的话, 那么两个结果当然一样.

    意思是……f和g没特别要求的话,原积分式子本身就不是明确的?

  5. @蹑履思登 意思是……f和g没特别要求的话,原积分式子本身就不是明确的?

    对。

  6. @DTSIo 对。

    好的,谢谢大佬。

 

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