请教一个拓扑群问题

  1. 2月前

    来源于黎景辉《拓扑群引论》(第二版),红色划线处是怎么得到的?
    如果需要参考该书前面的内容的话,我可以把整本书电子版发上来。

    • 20181210_163858.jpg
  2. 我发现这本书不少印刷错误……重点是红色划线处影响到下面的证明,而证明过程并没有用到U=U^-1的条件,感觉很奇怪。

  3. 2月前DTSIo 重新编辑

    划线的部分不影响下面的证明, 而且它本身也不对. 考虑最简单的例子即有限维向量空间, 赋以标准的欧氏内积, 则其中的对称邻域就是开球. 命$\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$为$\varphi(x)=x$, 取$U=(-\delta,\delta)$, 则$\varphi(U)=(-\delta,\delta)$, 而不管怎样的原点开邻域$V$都无法满足$\varphi(U)=V+\varphi(U)$的要求.

    这个证明很明显是仿照拓扑线性空间中的开映像定理而得到的. 在一般的拓扑群中没有 Frechet 空间那样自然的半范数结构, 就只好凑出使用 Baire 纲定理所需要的结构. 可以参考任何一本泛函分析的书. 这个证明没有写清楚哪里用到了$U^{-1}=U$, 实际上用到的并不是它, 而是$W^{-1}=W$, 由此可得对于$x\in W$, 有$x^{-1}W\subset U$.

  4. 6周前
    6周前ShongLee 重新编辑

    @DTSIo 划线的部分不影响下面的证明, 而且它本身也不对. 考虑最简单的例子即有限维向量空间, 赋以标准的欧氏内积, 则其中的对称邻域就是开球. 命$\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$为$\varphi(x)=x$, 取$U=(-\delta,\delta)$, 则$\varphi(U)=(-\delta,\delta)$, 而不管怎样的原点开邻域$V$都无法满足$\varphi(U)=V+\varphi(U)$的要求.

    这个证明很明显是仿照拓扑线性空间中的开映像定理而得到的. 在一般的拓扑群中没有 Frechet 空间那样自然的半范数结构, 就只好凑出使用 Baire 纲定理所需要的结构. 可以参考任何一本泛函分析的书. 这个证明没有写清楚哪里用到了$U^{-1}=U$, 实际上用到的并不是它, 而是$W^{-1}=W$, 由此可得对于$x\in W$, 有$x^{-1}W\subset U$.

    由于$W^{-1}W\subset U$,从而得到对于$x\in W$, 有$x^{-1}W\subset U$吧。
    如果不要证明过程中的第一段,那么最后证得$y^{-1}V\in -V$(那个形式的V不知道怎么输入)的作用究竟是什么?这并不能说明$\varphi(U)$是开集。

 

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