\(\int \frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x\)没有初等表示的证明?

  1. 2月前
    2月前京斯 重新编辑

    \(\int \frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x\)没有初等表示是熟知结论了,但是一直没有看到相关的证明。 /0o0

  2. 2月前DTSIo 重新编辑

    这是 Liouville 的一个定理, 具体内容可见 为什么大部分特殊函数都不是初等函数?. 定理的证明要用到一些简单的 Galois 理论. 附件 无法表示为初等函数的不定积分及其证明.pdf 是一个不错的介绍. 关于不定积分的理论 (微分域的 Liouville 扩张) 和微分方程的 Galois 理论其实不太一样, 前者很初等, 但后者牵扯到的数学就很深了 (我不是研究这个的, 所以只知道一点点基本的结论), 不过它们都是微分域范畴上的代数学. 这方面的标准参考材料是 van der Put, Marius; Singer, Michael F. (2003), Galois theory of linear differential equations.

    我本科的时候还拿这个话题交过抽象代数进阶课程的课程论文, 当时写得很用心, 把不定积分理论和微分方程 Galois 理论的基本定理都照顾到了, 可惜后来好像被我给搞丢了......

  3. 之前编辑了一个这个定理证明的帖子。。我晚上该发出来了

  4. @DTSIo 这是 Liouville 的一个定理, 具体内容可见 为什么大部分特殊函数都不是初等函数?. 定理的证明要用到一些简单的 Galois 理论. 附件 无法表示为初等函数的不定积分及其证明.pdf 是一个不错的介绍. 关于不定积分的理论 (微分域的 Liouville 扩张) 和微分方程的 Galois 理论其实不太一样, 前者很初等, 但后者牵扯到的数学就很深了 (我不是研究这个的, 所以只知道一点点基本的结论), 不过它们都是微分域范畴上的代数学. 这方面的标准参考材料是 van der Put, Marius; Singer, Michael F. (2003), Galois theory of linear differential equations.

    我本科的时候还拿这个话题交过抽象代数进阶课程的课程论文, 当时写得很用心, 把不定积分理论和微分方程 Galois 理论的基本定理都照顾到了, 可惜后来好像被我给搞丢了......

    感谢~ /vv

  5. @DTSIo 这是 Liouville 的一个定理, 具体内容可见 为什么大部分特殊函数都不是初等函数?. 定理的证明要用到一些简单的 Galois 理论. 附件 无法表示为初等函数的不定积分及其证明.pdf 是一个不错的介绍. 关于不定积分的理论 (微分域的 Liouville 扩张) 和微分方程的 Galois 理论其实不太一样, 前者很初等, 但后者牵扯到的数学就很深了 (我不是研究这个的, 所以只知道一点点基本的结论), 不过它们都是微分域范畴上的代数学. 这方面的标准参考材料是 van der Put, Marius; Singer, Michael F. (2003), Galois theory of linear differential equations.

    我本科的时候还拿这个话题交过抽象代数进阶课程的课程论文, 当时写得很用心, 把不定积分理论和微分方程 Galois 理论的基本定理都照顾到了, 可惜后来好像被我给搞丢了......

    我想补充一个有意思的点,如果要证明椭圆积分没有初等原函数的话,还需要在刘维尔定理之上借助一些额外的技巧讨论留数

 

后才能发言