这是莲子的又一个坑，用于记录和学习概统。
所用教材为《概率论与数理统计》第二版，朱翼隽主编。

随机事件与概率

当我们进行一个实验（例如抛硬币）时，
“样本空间”是这个实验所有可能的结果，记为\(\Omega \)；其中一个结果为“样本点”，记为\(\omega \)；包含一个或多个“样本点”的集合称为“事件”，\(\phi \)为“不可能事件”即不可能发生的事件。
例：
投掷一个骰子，观察其落地后朝上面的点数
“样本空间”：1,2,3,4,5,6
一个“样本点”：1
将“出现点数为偶数”这个“事件”记为A，
A={2,4,6}或A={X|X=2,4,6}

“事件A发生必然导致事件B发生”，记作A\(\subset \)B，如果A\(\subset \)B且B\(\subset \)A，则A=B
“事件A或事件B至少发生一个”，记作A\(\cup \)B或A+B
“事件A和事件B同时发生”，记作A\(\cap \)B或AB
“事件A与事件B不可能同时发生”，则A与B“互斥”
“事件A与事件B必定发生其中一个，且A与B互斥”，则A与B互逆，A的逆事件\(\overline{A}\)=B
“事件A发生且事件B不发生”，记为A-B

定义发生事件A的概率P(A)=p。
对任意事件，0\(\leq \)p\(\leq \)1，且P(\(\phi \))=0，P(\(\Omega \))=1。
P(A)+P(\(\overline{A}\))=P(\(\Omega \))=1。
若B\(\subset \)A，P(A-B)=P(A)-P(B)。
对任意事件A,B，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)，
古典概型：结果有限，两两互斥，概率相等。例：投掷一枚骰子的结果。
几何概型：等可能性，借助几何度量确定概率。例：在[0,10]中点A落在某一范围。

在事件B发生的情况下发生事件A的概率，称为条件概率，记作P(A|B)
P(A|B)=\(\frac{P(AB)}{P(B)}\)
当两个事件相互独立（即两个事件相互之间无影响）时，P(A|B)=P(A)。
若P(AB)=P(A)\(\cdot \)P(B)，则事件A与事件B相互独立，且\(\overline{A}\)与B，A与\(\overline{B}\)，\(\overline{A}\)与\(\overline{B}\)均相互独立。

在重复独立试验中，如果每次结果只有两个，即事件A与事件\(\overline{A}\)，且P(A)=p，P(\(\overline{A}\))=1-p=q，则该试验称为伯努利试验。
事件A在n次试验中出现k次的概率为\(P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\)

问题来了，莲子因为挖坑不填而被隙间的概率有多大？这貌似还是一个条件概率……
P(莲子被隙间|莲子挖坑不填)=?

@crazypeanut 问题来了，莲子因为挖坑不填而被隙间的概率有多大？这貌似还是一个条件概率……
P(莲子被隙间|莲子挖坑不填)=?

这两个是独立事件，所以P=0。
我莲子是不可能被隙间的！

随机变量及其分布

如果对于样本空间\(\Omega \)中每一个基本事件\(\omega \)，都有一个单值实函数X(\(\omega \))与之对应，且\(\forall \)x\(\in\)R，{\(\omega \),X(\(\omega \))\(\leq \)x}是一个随机事件，则称X=X(\(\omega \))为随机变量。
F(x)＝P(X\(\leq \)x)为随机变量X的分布函数。

如果随机变量X有限或可数无限，则称X为一个离散型随机变量，p\(_{k}\)＝P(X＝x\(_{k}\))(k＝1,2,…)为随机变量X的概率分布或分布律。

二点分布：概率分布为
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是的没看错\(X\)仍然是我│我就是用在\(0\)没有表格的这个论坛\(1\)
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 传说\(P(X=x_{i})\)中的│美丽帅气的\(q\)视情况增减的占位字\(p\)
  ━━━━━━━━━━┻━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
的分布称为二点分布（其中q=1-p），记为B(1,p)，其中p为参数（也就是发生概率），如果随机变量X的分布为二点分布，也称X服从二点分布，记为X~B(1,p)
例：X为抛1次硬币后正面向上。

二项分布：概率分布为
\(P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k},k=0,1,2,\cdots ,n;q=1-p,0< p< 1\)
的分布称为二项分布，记为B(n,p)，其中n,p为参数，如果X服从二项分布，记为X~B(n,p)
例：X为抛n次硬币后正面向上的次数。

泊松分布：
泊松定理：设\(\lim_{x\to\infty }np_{n}=\lambda \)，则
\(\lim_{x\to\infty}C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}=\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }\)，\((q_{n}=1-p_{n})\)
概率分布为\(P(X=k)=\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }\)，\(k=0,1,2,\cdots\)
的分布为泊松分布，当二项分布的n非常大，p很小时，二项分布可以近似用泊松分布代替。

如果随机变量X的分布函数F(x）可以表示成非负函数f(x)的积分
\[F(x)=\int_{-\infty }^{x}f(t)dt\]
则称随机变量X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率分布密度函数或概率密度函数，简称为概率密度或密度

均匀分布：
概率密度为
\(f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{b-a},
\\
\\ 0 ,
\end{matrix}\right.\)\(\begin{matrix}a\leqslant x\leqslant b
\\
\\ 其他
\end{matrix}\)
的分布称为在区间[a,b]上的均匀分布，记为U(a,b)。

指数分布：
概率密度为
\(f(x)=\left\{\begin{matrix}\lambda e^{-\lambda x},
\\
\\ 0,
\end{matrix}\right.\)\(\begin{matrix}x> 0
\\
\\ x\leqslant 0
\end{matrix}\)
的分布称为指数分布，记为\(Exp(\lambda )\)，其中\(\lambda > 0\)为参数。

正太正态分布：
概率密度为
\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma }}e^{-\frac{(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\)，\(-\infty < x< +\infty \)
的分布称为正太正态分布，记为\(N(\mu ,\sigma ^{2})\)，其中\(\mu ,\sigma (\sigma > 0)\)为参数。
其中N(0,1)称为标准正太正态分布，图像如下

设X，Y为随机变量，存在函数g(x)，使Y=g(X)(即\(y_{i}=g(x_{i})\)，则\(P(Y=y_{i})=P(X=x_{i})\)

多维随机变量及其分布

设一个随机实验E，它的样本空间是\(\Omega ={\omega }，X=X{\omega }和Y=Y{\omega }\)是定义在\(\Omega \)上的随机变量，由它们构成的有序数组(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量。
\(F(x,y)=P(X\leqslant x,Y\leqslant y)\)称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，简称分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数，简称联合分布。
\(P(X=x_{i},Y=y_{j})=p_{ij},i,j=1,2,\cdots \)称为二维离散型随机变量(x,y)的概率分布或分布律，或随机变量X和Y的联合分布律。
如果存在非负函数f(x,y)，使\(F(x,y)=\iint_{D}f(x,y)d\sigma =\int_{-\infty }^{x}\int_{-\infty }^{y}f(x,y)dxdy\)，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，函数f(x,y)为二维随机变量(X,Y)的概率密度或称为随机变量X和Y的联合概率密度。

二维均匀分布：
概率密度为
\(f(x,y)=\begin{cases}
\frac{1}{A} & \text{ } (x,y)\in D \\
 0& \text{ } 其他
\end{cases}\)
其中，D为xOy平面上面积为A的有界区域，，则称(X,Y)在D上服从二维均匀分布。

二维正太正态分布：
概率密度为
\(f(x,y)=\frac{1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}\sqrt{1-\rho ^{2}}}e^{-\frac{1}{2(1-\rho ^{2})}[\frac{(x-\mu _{1})^{2}}{\sigma _{1}^{2}}-\frac{2\rho (x-\mu _{1})(y-\mu _{2})}{\sigma _{1}\sigma _{2}}+\frac{(y-\mu _{2})^{2}}{\sigma _{2}^{2}}]}\)
\(-\infty < x< +\infty ,-\infty < y< +\infty\)
其中\(\mu _{1},\mu _{2},\sigma _{1},\sigma _{2},\rho \)均为常数，且\(\sigma _{1}> 0,\sigma _{2}> 0,-1< \rho < 1\)，则称(X,Y)服从二维正态分布。

边缘分布：
二维变量其中一个概率为1时另一个的分布。
例：关于X的边缘分布：
分布函数：\(F_{X}(x)=F(x,+\infty )=\lim_{y\rightarrow +\infty }F(x,y)\)
概率密度：\(f_{X}(x)=\int_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy\)

如果对所有x,y，有
\(P(X\leqslant x,Y\leqslant y)=P(X\leqslant x)\cdot P(Y\leqslant y)\)
即\(F(x,y)=F_{X}(x)\cdot F_{Y}(y)\)
则称随机变量X和Y相互独立

应该不会挖坑不填吧。下个月我就要靠考这门课了 /<<

@李炼杰 应该不会挖坑不填吧。下个月我就要靠考这门课了 /<<

这个坑正在缓慢填坑中。（我月底就考了）

下星期博资考要考概率论......

随机变量的数字特征

数学期望E为随机变量X取值的概率的加权平均值
离散型：\(E(X)=\sum_{k=1}^{+\infty }x_{k}p_{k}\)。
连续型：\(E(X)=\int_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx\)，如果该积分不绝对收敛，则称随机变量X的数学期望不存在。
E的性质：
设C为常数，则E(C)=C。
设C为常数，X为随机变量，则E(CX)=CE(X)。
设X，Y是任意两个随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)。
设X，Y是相互独立的随机变量，则E(XY)=E(X)E(Y)。

D为随机变量X的方差
\(D(X)=E((X-E(X))^{2})=E(X^{2})-[E(X)]^{2}\)
D的性质：
设C为常数，则D(C)=0。
设C为常数，X为随机变量，则D(CX)=C²D(X)。
设X,Y是两个相互独立的随机变量，则D(X±Y)=D(X)+D(Y)。
D(X)=0与P(X=C)=1互为充要。

大数定律和中心极限定律

 设一列随机变量\(X_{1},X_{2}, \cdots \)，如果存在\(a_{1},a_{2},\cdots \)，有
\(\forall \varepsilon > 0,\lim_{x\to +\infty }P(|\overline{X_{n}}-a_{n}|< \varepsilon )=1\)，
则称序列\(X_{1},X_{2}, \cdots \)服从大数定律。
（意思就是说随着X数量的增加，X的平均值收敛于a）

切比雪夫不等式：对任意随机变量X，若E(X)=a，又存在D(X)，则
\(\forall \varepsilon > 0,P(|X-a|\geqslant \geq \varepsilon )\leqslant \frac{D(X))}{\varepsilon^{2} }\)

统计量及其分布

研究对象的全体是“总体”，总体中的每一个对象为“个体”，总体可以与随机变量相互对应。
从总体中抽取n个个体来获取总体的部分信息，被抽取的为“样本”，n为样本容量，样本值的全体为“样本空间”。

设\((X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n})\)为取自总体\(X\)的样本，
样本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\)
样本方差\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\)
样本标准差\(S=\sqrt{S^{2}}\)

\(\chi ^{2}\)分布：
如果随机变量X的概率密度为
\(f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma (\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}\\
0
\end{matrix}\right.\)\(\begin{matrix}
x> 0\\
x\leqslant 0
\end{matrix}\)
其中\(\Gamma (x)=\int_{0}^{+\infty }t^{x-1}e^{-t}dt\)
则称随机变量X服从自由度为\(n\)的\(\chi^{2}\)分布，记作\(X\sim chi^{2}(n)\)，图像如下

性质1\(设X与Y相互独立，且X\sim chi^{2}(m),Y\sim chi^{2}(n)，则X+Y\sim chi^{2}(m+n)\).

\(t\)分布：
如果随机变量X的概率密度为
\(f(x)=\frac{\Gamma (\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi }\Gamma (\frac{n}{2})}(1+\frac{x^{2}}{n})^{-\frac{n+1}{2}}\)
则称随机变量X服从自由度为\(n\)的\(t\)分布，记作\(X\sim t(n)\)，图像如下

性质2\(设X与Y相互独立，且X\sim N(0,1),Y\sim chi^{2}(n)，则\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)\).

\(F\)分布：
如果随机变量X的概率密度为
\(f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{\Gamma( \frac{m+n}{2})}{\Gamma( \frac{m}{2})\Gamma( \frac{n}{2})}m^{\frac{m}{2}}n^{\frac{n}{2}}x^{\frac{m}{2}-1}(mx+n)^{-\frac{m+n}{2}}\\
0
\end{matrix}\right.\)\(\begin{matrix}
x> 0\\
x\leqslant 0
\end{matrix}\)
则称随机变量X服从第一自由度为\(m\)，第二自由度为\(n\)的\(F\)分布，记作\(X\sim F(m,n)\)，图像如下

常见的总体大都服从正态分布，对于正太态总体的抽样分布，有
费希尔定理：设\(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}\)为取自正态总体\(N(\mu ,\sigma ^{2})\)的样本，则
\(\overline{X}\sim N(\mu ,\frac{\sigma ^{2}}{n})\)
\(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}\sim \chi ^{2}(n-1)\)
\(\overline{X}与S^{2}相互独立\)

定理：设\(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}\)为取自正态总体\(N(\mu ,\sigma ^{2})\)的一个样本，则
\(U=\sqrt{n}\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)\)
\(T=\sqrt{n}\frac{\overline{X}-\mu }{S }\sim t(n-1)\)

定理：设\(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{N}\)和\(Y_{1},Y_{2},\cdots ,Y_{n}\)分别取自两个相互独立的正态总体\(N(\mu _{1},\sigma ^{2}_{1})\)及\(N(\mu _{2},\sigma ^{2}_{2})\)的样本，则
\(U=\frac{\overline{X}-\overline{Y}-(\mu _{1}-\mu _{2})}{\sqrt{\frac{\sigma _{1}^{2}}{m}+\frac{\sigma _{2}^{2}}{n}}}\sim N(0,1)\)
\(F=\frac{S_{1}^{2}\sigma _{2}^{2}}{S_{2}^{2}\sigma _{1}^{2}}\sim F(m-1,n-1)\)
若\(\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}\)，有\(T=\frac{\overline{X}-\overline{Y}-(\mu _{1}-\mu _{2})}{\sqrt{\frac{(m-1)S_{2}^{1}+(n-1)S_{2}^{2}}{m+n-2}}\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}\sim t(m+n-2)\)

参数估计

已知总体\(X\)的分布函数形式，但是含有一个或多个未知参数，用样本构造一个统计量\(\widehat{\theta }(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{N})\)来估计\(\theta \)，称\(\widehat{\theta }\)是\(\theta \)的估计量。因为样本具有随机性，需要建立评价估计量优劣的标准。
无偏性
设\(\theta \)的总体的未知参数，\(\widehat{\theta }(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{N})\)是总体的一个样本，\(\widehat{\theta }\)是参数\(\theta \)的一个估计量，若\(E(\widehat{\theta })=\theta \)，则称\(\widehat{\theta }\)是\(\theta \)的一个无偏估计量，否则称\(b(\widehat{\theta })=E(\widehat{\theta }-\theta )\)为\(\widehat{\theta }\)的偏差。
有效性
设\(\widehat{\theta }_{1}\)和\(\widehat{\theta }_{2}\)都是未知参数\(\theta \)的无偏估计量，若\(D(\widehat{\theta }_{1})< D(\widehat{\theta }_{2})\)，则称\(\widehat{\theta }_{1}\)比\(\widehat{\theta }_{2}\)有效。
一致性
设\(\widehat{\theta }\)为未知参数\(\theta \)的估计量，当样本容量\(n \to +\infty \)时，若\(\widehat{\theta }\)依概率收敛于0，即\(\forall \varepsilon < 0，\lim_{n \to +\infty }P(|\widehat{\theta }-\theta |)=1\)，则称\(\widehat{\theta }\)为\(\theta \)的一个一致估计量。

假设检验

 在问题中需要进行假设，原假设\(H_{0}\)与备择假设\(H_{1}\)。

\(U\)检验法
\(\sigma ^{2}\)已知，\(\mu \)的假设检验。
\(H_{0}:\mu =\mu _{0}\)
已知样本均值\(\overline{X}\)是总体均值\(\mu \)的无偏估计，而且统计量\(U=\frac{\overline{X}-\mu _{0}}{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)\)，于是在假设\(H_{0}\)成立，且\(\sigma ^{2}\)已知的条件下，可以用统计量\(U\)作为检验统计量，\(U\sim N(0,1)\)。对于给定的\(\alpha \)，查表得\(u_{\frac{\alpha }{2}}\)，于是由\(P(|\frac{\overline{X}-\mu _{0}}{\sigma /\sqrt{n}}|\geqslant u_{\frac{\alpha }{2}})=\alpha \)可以确定\(H_{0}\)的拒绝域为\(|U|=|\frac{\overline{X}-\mu _{0}}{\sigma /\sqrt{n}}\geqslant u_{\frac{\alpha }{2}}|\)
将所得数值带入计算，若\(|u|\geqslant \mu _{\frac{\alpha }{2}}\)，则拒绝假设\(H_{0}\)，否则接受。

\(T\)检验法
\(\sigma ^{2}\)未知，\(\mu \)的假设检验。
\(H_{0}:\mu =\mu _{0},H_{1}:\mu \neq \mu _{0}\)
样本方差\(S^{2}\)是总体方差的无偏估计量，统计量\(T=\frac{\overline{X}-\mu _{0}}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)\)，于是在假设\(H_{0}\)成立，且\(\sigma ^{2}\)未知的条件下，可以用统计量\(T\)作为检验统计量，\(T\sim t(n-1)\)。对于给定的\(\alpha \)，查表得\(t_{\frac{\alpha }{2}}(n-1)\)，于是由\(P=(|\frac{\overline{X}-\mu _{0}}{S/\sqrt{n}}|\geqslant t_{\frac{\alpha }{2}}(n-1))=\alpha \)可以确定\(H_{0}\)的拒绝域为\(|T|=|\frac{\overline{X}-\mu _{0}}{S/\sqrt{n}}|\geqslant t_{\frac{\alpha }{2}}(n-1)\)

\(\chi ^{2}\)检验法

莲子你的坑应该算填完了？我们这边10号考概率，感谢你的贴哈。 /<<

@李炼杰 莲子你的坑应该算填完了？我们这边10号考概率，感谢你的贴哈。 /<<

这个坑算是填完了吧，我考试也考完了，不过后面的少了一些内容，也不知道会什么时候继续完善。

我有点兴趣想接盘，考完试如果我还有这个兴致，我再和你说。

我准备博资考的时候也写了概率论的笔记，涉及到特征函数和基本的鞅理论的部分都可以贴上来......

@DTSIo 我准备博资考的时候也写了概率论的笔记，涉及到特征函数和基本的鞅理论的部分都可以贴上来......

DT君又要弃更了么 /0o0 迷弟哭@[email protected]

@leafwest DT君又要弃更了么 /0o0 迷弟哭@[email protected]

我是用 latex 写的，感觉格式放到这里好像不太对......而且这学期任务量突然暴涨，也许再更新就是这学期的更加专门的学习笔记了啊