看R^3内区域上的光滑向量场的分解时遇到的疑惑

  1. 2月前

    $\Omega\subset \mathbb{R}^3$是有界开区域,有光滑边界$\partial{\Omega}$,
    定义$VF(\bar\Omega):=C^{\infty}(\bar\Omega,\mathbb{R}^3)$,
    其上有内积$\langle V,W\rangle:=\int_{\Omega}V\cdot W\mathrm{d\,vol}$.
    可以证明$VF(\bar\Omega)$是$K$与$G$的正交直和,其中$K:=\{V\in VF(\bar\Omega)|\nabla\cdot V=0,V\cdot n=0,n$为$\partial{\Omega}$上的法向量$\}$
    ,$G:=\{V\in VF(\bar\Omega)|V=\nabla \varphi ,\varphi\in C^{\infty}(\bar\Omega)\}$

    问:若$V\in VF(\bar\Omega),V\perp G$,则是否有$V\in K$?

    (似乎$VF(\bar\Omega)$关于这个内积是不是Hilbert空间?)

    我在看美国数学月刊上一篇文章Vector Calculus and the Topology of Domains in 3-space。证明过程中有这一步,我只知道有个定理说Hilbert空间$H$,$M$是闭子空间,则$H=M\bigoplus M^{\perp}$,但感觉用不到上面一个问题上啊。
    希望大家指点。

    最佳回答 DTSIo

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    这是带边流形的 Hodge 分解的特例. 一般结论可参考有第二和第三作者署名的另一篇文章 Cohomology of Harmonic Forms on Riemannian Manifolds With Boundary , 那里把来龙去脉解释得更清楚.

    $VF(\bar\Omega)$本身不是 Hilbert 空间, 它在$L^2$内积下的完备化是系数为$L^2$函数的向量场的空间$L^2(\Omega;\mathbb{R}^3)$, 而$K$在其中的完备化$\bar K$应该依照分布导数来理解, 即对于任何$\phi\in C^\infty(\bar \Omega)$, 有$\int_\Omega V\nabla\phi=0$. 空间$G$的完备化$\bar G$同理. 这时的$\bar K$和$\bar G$都是闭子空间; 例如, 若序列$\{V_k\}_{k}\subset\bar K$在$L^2$意义下收敛到$V$, 那么任取$\phi\in C^\infty(\bar \Omega)$, 都有$$
    \int_\Omega V\nabla\phi=\lim_k\int_\Omega V_k\nabla\phi=0.
    $$分解定理实际上是$L^2(\Omega;\mathbb{R}^3)=\bar K\oplus\bar G$, 限制回光滑系数的子空间才得到结论.

  2. $VF(\bar\Omega)$的确不希尔伯特。不过对于任意满足$V\perp G$的$V\in VF(\bar\Omega)$,有
    $$
    0=\int_{\Omega} V\nabla\phi
    =\int_{\Omega}\nabla\cdot(\phi V)-\int_{\Omega}\phi\nabla\cdot V
    =\int_{\partial\Omega}\phi V\cdot n-\int_{\Omega}\phi\nabla\cdot V,\qquad
    \forall \phi\in C^\infty(\bar\Omega).
    $$
    由$\phi\in C^\infty(\bar\Omega)$的任意性并注意到$V$光滑,可得$\nabla\cdot V=0$以及$V\cdot n=0$。

  3. DTSIo

    3楼 11月20日 被采纳
    2月前DTSIo 重新编辑

    这是带边流形的 Hodge 分解的特例. 一般结论可参考有第二和第三作者署名的另一篇文章 Cohomology of Harmonic Forms on Riemannian Manifolds With Boundary , 那里把来龙去脉解释得更清楚.

    $VF(\bar\Omega)$本身不是 Hilbert 空间, 它在$L^2$内积下的完备化是系数为$L^2$函数的向量场的空间$L^2(\Omega;\mathbb{R}^3)$, 而$K$在其中的完备化$\bar K$应该依照分布导数来理解, 即对于任何$\phi\in C^\infty(\bar \Omega)$, 有$\int_\Omega V\nabla\phi=0$. 空间$G$的完备化$\bar G$同理. 这时的$\bar K$和$\bar G$都是闭子空间; 例如, 若序列$\{V_k\}_{k}\subset\bar K$在$L^2$意义下收敛到$V$, 那么任取$\phi\in C^\infty(\bar \Omega)$, 都有$$
    \int_\Omega V\nabla\phi=\lim_k\int_\Omega V_k\nabla\phi=0.
    $$分解定理实际上是$L^2(\Omega;\mathbb{R}^3)=\bar K\oplus\bar G$, 限制回光滑系数的子空间才得到结论.

  4. 2月前rougher 重新编辑

    @DTSIo 这是带边流形的 Hodge 分解的特例. 一般结论可参考有第二和第三作者署名的另一篇文章 Cohomology of Harmonic Forms on Riemannian Manifolds With Boundary , 那里把来龙去脉解释得更清楚.

    感谢! /vv 果然有更广泛的结论,不过看样子我还要学不少东西才能看懂了。

  5. @折木 奉太郎 $VF(\bar\Omega)$的确不希尔伯特。不过对于任意满足$V\perp G$的$V\in VF(\bar\Omega)$,有
    $$
    0=\int_{\Omega} V\nabla\phi
    =\int_{\Omega}\nabla\cdot(\phi V)-\int_{\Omega}\phi\nabla\cdot V
    =\int_{\partial\Omega}\phi V\cdot n-\int_{\Omega}\phi\nabla\cdot V,\qquad
    \forall \phi\in C^\infty(\bar\Omega).
    $$
    由$\phi\in C^\infty(\bar\Omega)$的任意性并注意到$V$光滑,可得$\nabla\cdot V=0$以及$V\cdot n=0$。

    原文证明的逻辑就是我问题中表述的那样。
    实际上原文的目的是证明$\{V=\nabla\times U|\nabla\cdot U=0,U\cdot n=0\}$中$V\cdot n=0$,
    然后他证明了$V\perp G$,然后就是问题中表述的那样,$V\in K$,所以$V\cdot n=0$。

    但实际上因为$V=\nabla\times U$,所以$\nabla\cdot V=0$,经过您的提示,$0=\int_{\Omega} V\nabla\phi=\int_{\partial\Omega}\phi V\cdot n-\int_{\Omega}\phi\nabla\cdot V=\int_{\partial\Omega}\phi V\cdot n$,取$\phi=V\cdot n$就有$V\cdot n=0$了。

    所以我感觉是作者误导了我 /><

  6. @DTSIo 这是带边流形的 Hodge 分解的特例. 一般结论可参考有第二和第三作者署名的另一篇文章 Cohomology of Harmonic Forms on Riemannian Manifolds With Boundary , 那里把来龙去脉解释得更清楚.

    闭流形上的hodge分解是上世纪30年代发表的,这篇论文是2005年的,多了一个带边条件,为什么隔了这么久,是因为遇到本质困难?

  7. @rougher 闭流形上的hodge分解是上世纪30年代发表的,这篇论文是2005年的,多了一个带边条件,为什么隔了这么久,是因为遇到本质困难?

    这里面应该没什么本质的困难...带边流形的 Hodge 分解就其思想来说基本上是五十年代前后产生的 (在 Hodge 最早发表他结果的时代, 甚至连流形的定义都还没有), 其背景复几何里的$\bar\partial$-Neumann 问题, 我个人觉得也就是过去没人真的把实带边流形的情形真的写下来罢了...

  8. @rougher 闭流形上的hodge分解是上世纪30年代发表的,这篇论文是2005年的,多了一个带边条件,为什么隔了这么久,是因为遇到本质困难?

    抱歉我记错了一个细节, 我去查了 Morrey 的 Multiple integrals in the calculus of variations 来确认, 发现带边流形上的 Hodge 分解的想法应该不是来自复几何, 不过这些理论的发展基本是平行的, 如下这几个人都非常重要: Morrey, Spencer, Kodaira, Kohn, 等等. 看起来, 之前应该是没人真的明确写下来过 2005 年这篇文章里面的这个结果, 不过大家应该都是默认了.

  9. 2月前rougher 重新编辑

    谢谢考证。
    但我懂的东西太少了,只知道一点点微分流形和一点点代数拓扑。我想问要看懂指标定理的热核证明需要些什么基础,该怎么样点技能点,该按顺序看些什么书呢?

  10. @rougher 谢谢考证。
    但我懂的东西太少了,只知道一点点微分流形和一点点代数拓扑。我想问要看懂指标定理的热核证明需要些什么基础,该怎么样点技能点,该按顺序看些什么书呢?

    这需要一些分析和几何的基础. 就分析方面来说, 应该熟悉一般的椭圆型和抛物型偏微分方程的$L^2$理论 (尤其是涉及算子谱的部分). 就几何方面来说, 需要熟悉这些分析理论在流形上的推广, 还需要不少关于向量丛的知识 (包括示性类和拓扑 K-理论等等). 总的来说, 内容不少.

 

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