这是我本学期流体力学课程期末大作业的中译 (并非逐字逐句翻译), 内容是将分析数学中关于 Navier-Stokes 方程的一些经典结论与流体力学中的物理推演进行比较. 主要涉及的数学理论是 Navier-Stokes 方程适定性问题的一些经典结果和陶哲轩的非适定性结果, 物理学对象包括流体演化问题的稳定性和湍流的 Kolmogorov 理论, 等等. 这篇大作业写得极为仓促, 因为它的截止时间是我的博士生资格考试结束后的第三天...

      有这样一个笑话在研究偏微分方程的数学家中间流传:

      七个条件, 八个结论.

      从某些方面来说, 这种自嘲显示出偏微分方程的许多领域 -- 实际上几乎是所有领域 -- 都尚待开垦, 而现有的数学工具远远不能满足要求. 几乎所有在数学上引人注意的偏微分方程都有明确的几何或者物理背景, 或兼而有之, 而这些方程中的许多早在牛顿和伯努利的时代就已经在吸引学者的注意了. 然而在这里实践几乎总是先行于理论. 直到 D. Hilbert 的年代, 合适的数学工具才被数学家们发展出来. Hilbert 试图为变分法建构一套数学理论, 这导致了函数的 Hilbert 空间 (后来被 S. Banach 加以完善) 和弱解的概念. 这是数学物理问题第一次获得严格的数学基础. 这一理论经过 J. Schauder 和 S. Sobolev 的工作而变得更为系统. 接下来的一大批成果涌现于上世纪的六十至九十年代, 可以大致概括如下:

      (1) 关于线性椭圆微分方程 (描述势问题) 和抛物微分方程 (描述扩散问题) 的理论已经接近于完满;

      (2) 变分学 (描述具有临界能量的物理态) 取得了长足进展, 特别是引入了拓扑方法;

      (3) 发展出了一套非常精细的几何测度论, 而这被证明是处理表面张力问题 (例如关于肥皂膜形状的 Plateau 问题) 的有力工具;

      (4) 发展出了微局部分析 (microlocal analysis) 和非线性扰动技巧, 让人们得以非常深刻地理解线性偏微分算子;
  
      最后,

      (5) 开启了对非线性色散方程的研究, 包括双曲 (波动) 方程和薛定谔方程, 这些方程大概是物理上最引人兴趣同时在数学上也最难处理的.

      这些成果固然令人欣慰, 然而如果从物理的视角来看, 这却还远远不能让人满意, 尽管这些成果的物理意义都是非常直接的: 例如, 几何测度论对于肥皂泡的形状作出了完全的分类; 通过对非线性波动方程的研究, 四维平直时空的稳定性和非奇异性得到了严格的证明 (这显然不是通过物理推演就能说明的!), 同时黑洞生成的条件也开始得到细致的研究. 然而, 许多在物理学中非常重要的问题却还鲜少被触及.

      对 Navier-Stokes 方程的研究就是一个典型的数学落后于物理学的例子. Navier-Stokes 方程源自流体力学, 而目前为止的数学理论多集中于讨论其最简单的情形 (这里用$(y,\tau)$而不是$(x,t)$来标记时空变量, 原因后面会说明): $$
\begin{aligned}
\frac{\partial v}{\partial \tau}+(v\cdot\nabla) v&=\nu\Delta v-\nabla P+F,\,y\in\Xi\\
 & \\
\text{div}v&=0,\,y\in\Xi;\\
& \\
v(y,0)&=v_0(y),\,y\in\Xi.
\end{aligned} \tag{NSE}
$$这是具有常密度的不可压缩牛顿流体的 Navier-Stokes 方程, 其中$\Xi\subset\mathbb{R}^3_y$是有限或者无限的空间区域; 向量场$v=v(y,\tau)$表示速度, 标量函数$P=P(y,\tau)$表示流体内部的压强分布, 向量场$F=F(y,\tau)$表示流体中的外力, 它们都定义在时空区域 $\Xi\times[0,\infty)_\tau$上. 如果区域不是全空间本身, 当然还要加上适当的边界条件. 第一个方程是一般连续介质中的 Cauchy 应力方程, 其中$\nu$是动力学黏度系数, 而第二个方程是连续性方程. 这是一个典型的演化方程, 其中外力$F$是给定的, 待求解的是未知场$v$和未知函数$P$.

      在研究演化方程时, 建立局部适定性 (local well-posedness) 理论有头等的重要性. 具体来说, 演化方程的解至少应该在短时间内存在, 而且应该在某种意义下是唯一的 (局部存在性和唯一性); 接下来, 初值的小扰动至少在短时间内不会对解产生明显的影响 (对初值不敏感); 最后, 演化方程大多有明确的物理背景, 而且在导出这些方程时也常常要使用一些近似手段, 这就要求方程本身应该是稳定的. 一旦建立了局部适定性理论, 就可以保证数值近似算法在短时间内的收敛性, 还可以估计数值解的误差. 理论上更有兴味的问题是研究整体适定性 (global well-posedness), 也就是研究局部适定性的结论能否在更大的时间尺度下成立. 了解一个系统的长时间行为的重要性无需赘言; 即便演化方程被证明了是长时间不适定 (ill-posed) 的, 这在物理上也仍旧非常有趣: 或者是方程本身就不合适 (从而需要新的模型), 或者是这个系统本身就会展现出这种病态的行为 (从而需要在新的意义下来理解系统的演化).

      乍看起来, 由于有扩散项$\nu\Delta v$的存在, Navier-Stokes 方程应该是抛物型的 (其适定性理论已经相当完善). 然而实际上, 由于参数$\nu$本身可变, 问题被极大地复杂化了. 至少在这里, 物理直观与数学直观是能够匹配的. 物理学家引进了所谓雷诺数 (Reynolds number) 来描述速度场$v$: 设$\bar v$是初始速度场的某种空间平局, $L$是所论区域的特征长度 (characteristic length, 常常取为区域$\Xi$的直径), 则定义$$
\text{Re}:=\frac{\bar vL}{\nu}.
$$由此, Navier-Stokes 方程变为如下的无量纲形式 (non-dimensionalized equation):$$
\begin{aligned}
\frac{\partial u}{\partial t}+(u\cdot\nabla) u&=r\Delta u-\nabla p+f,\,x\in\Omega\\
 & \\
\text{div}u&=0,\,x\in\Omega;\\
 & \\
u(x,0)&=u_0(x),\,x\in\Omega.
\end{aligned}\tag{NSE'}
$$这里$r=1/\text{Re}$, 新的空间变量$x=y/L$, 新的时间变量$t=\tau\bar v/L$. 新的区域$\Omega$是$\Xi$ 在尺度变换之下的像. 尺度变换后的无量纲速度场是$u=v/\bar v$, 而压强分布$p$和外力$f$的尺度变换与$\text{Re}$的大小有关. 在后文中, 我们主要关注的是这个无量纲化的 Navier-Stokes 方程.

      根据雷诺数大小的不同 (黏度系数$\nu$可大可小), 可以分成两种可能.

      情况一: 雷诺数非常小. 从物理上来说, 黏性耗散在这时的系统中占据主导地位, 即由于黏性应力很大, 故流体的动能会耗散殆尽. 这样一来, 便可期望$u$的数值总是非常小, 于是流体的运动变得相当温和. 从数学上来说, 这意味着方程中非线性的惯性项$(u\cdot \nabla)u$非常小, 而扩散半群$e^{tr\Delta}$的正则化性质确保系统不会演化出过于"湍急"的流动.

      情况二: 雷诺数很大. 这是真正令人感兴趣的情况. 在这种情况下, 流体的动能耗散得不够快, 而占据主导地位的非线性惯性项$(u\cdot \nabla)u$导致了非常复杂的动力学效应. 即便是在一维情形, 一些看似简单的模式方程也会显示出非常复杂的特性, 例如 Burger 方程 (Burger's equation, 由 Burger 在 [Bur] 中最先研究)$$
\frac{\partial u}{\partial t}=u\frac{\partial u}{\partial x}+\nu\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\,u(x,0)=f(x).
$$当$\nu$接近于零时, 这个一维的流动问题的特性基本上由特征线$x=f(\xi)t+\xi$决定, 其中$\xi$是这一族曲线的参数; 从物理上来说, 特征线可以看成是某个特定的流体微元的轨迹. 如果$\nu\to0$, 那么不同的特征线就会趋向于相交, 这时方程的解就会趋向于产生一个尖锐的突起, 即所谓的激波 (shock wave). 对于三维的 Navier-Stokes 方程来说, 问题更为严重. 数学家们通常会用一个简单的尺度变换来说明这一问题: 命$u_\lambda(x,t):=\lambda^{-1} u(\lambda^{-1} x,\lambda^{-2} t)$, 则$u_\lambda$仍旧是 (NSE') 的解, 但初值变为$u_{\lambda 0}(x)=\lambda^{-1} u_0(\lambda^{-1} x)$, 而压强变为$p_\lambda(x,t)=\lambda^{-2}p(\lambda^{-1}x,\lambda^{-2}t)$. 但是, $$
\int_{\mathbb{R}^3} |u_{\lambda}(x)|^2dx=\lambda\int_{\mathbb{R}^3} |u(x)|^2dx,\,\int_{\mathbb{R}^3} |\nabla u_{\lambda}(x)|^2dx=\lambda^{-1}\int_{\mathbb{R}^3} |\nabla u(x)|^2dx,
$$故不论是在大尺度下 ($\lambda>>1$) 还是小尺度下 ($\lambda<<1$), 流体的动能或者黏性耗散率都会发散. 这种现象在演化方程的研究中叫做超临界现象 (supercricality), 具有此种特性的方程极难研究. 值得指出的是, 即便是对于二维的 Navier-Stokes 方程来说, 这种病态现象也不会出现. 这是 Ladyzhenskaya 的经典结果 ([La], 第六章). 即便是对于简单的模式方程, 例如非线性薛定谔方程, 超临界情况下的理论也还基本是空白的; 可参考, 例如, [Caz].

      可惜, 在相当长的时间里, 从反方向出发的研究也并没有取得什么进展: 人们始终未能构造出 Navier-Stokes 方程的一个真正的不光滑的解. 直到陶哲轩的文章 [Tao] 出现, 这一局面才开始打破. 自 Leray 在 [Leray] 中建立了关于 Navier-Stokes 方程的经典理论以来, 时间过去了八十年, 陶哲轩的文章或许是第一个真正突破. 然而, 陶哲轩的结果仍旧没有够上克雷千禧年奖的标准, 因为他研究的只是某种平均化的 (averaged) Navier-Stokes 方程, 还不是真正的 Navier-Stokes 方程. 这个结果的意义首先是否定性的: 它宣告了过去的大部分数学方法对于真正攻克 Navier-Stokes 方程的整体适定性问题是无效的, 为了解决这个问题, 数学家们有必要引进全新的工具. 这打破了 Nirenberg 所作出的预测 (见 Nirenberg 的访谈 [Jack]): "我们需要更多的调和分析" (we need more harmonic analysis). 不过, 这个结果也确有相当的肯定性意义: 陶哲轩在构造非光滑解的过程中以极度不平凡的方式使用了 Kolmogorov (见其 1941 年的经典论文 [Kol]) 提出的那些关于自相似湍流的定性理论, 尽管他甚至可能都没有意识到这一点. 这种数学与物理的回响很可能会成为真正解决问题的突破口.

      在接下来的部分中, 我们将主要关注无量纲化的方程 (NSE'). 我们将试着概括目前已有的 Navier-Stokes 方程的适定性理论. 所有的定理都不会有数学化的证明, 对证明的概括只是为了展示证明所需要的数学工具, 主要的目的还是为了解释这些结论的物理意义. 由于这类数学研究针对的是相当一般的 Navier-Stokes 方程, 相关的数学理论看起来尚且还是过于发散, 而不能集中于那些物理上最感兴趣的特例, 例如长管中 Poiseuille 流的湍流问题. 但话说回来, 这种范围较广的定性理论是通向系统性的理论的第一步.

      对于 Navier-Stokes 方程来说, 目前已经有了一些局部或整体的适定性结论. 粗略地说, 所有这些结论都应该被理解为是低雷诺数情形下物理直观的数学化重新表述. 我们将主要关注无量纲化的 (NSE'), 因为它最能体现出结论对雷诺数的依赖.

      结果可以概括如下. 人们已经能够证明, 只要初始速度场具有有限的动能, 那么方程便存在长时间的弱解, 而且弱解满足基本的物理要求 (所谓强能量不等式). 目前尚且不知道这样的弱解是否唯一. 另一方面, 人们已经能够证明, 如果初始的速度场具有有限的动能和黏性耗散率, 那么至少在短时间内, 方程存在强解, 存在的时长可以由初始值, 外力的无散部分 (如果外力是有势力, 那么这部分为零) 和雷诺数来估计. 在这短时间内, 解满足能量守恒律, 弱解在这段时间内是唯一的, 而问题本身是适定的: 它对于初始条件和外力的微扰不敏感, 并且能够为数值计算提供误差估计.

      为研究 Navier-Stokes 方程, 人们引进了一些函数空间. 它们都是 Hilbert 空间. 在下文中, 总设区域$\Omega$或者是有光滑边界的有界区域, 或者是全空间本身.

      首先定义$$
\mathbb{L}^2(\Omega)=\left\{u:\,\|u\|_{L^2}^2=\int_\Omega|u|^2<\infty\right\},
$$ $$\mathbb{H}_0^1(\Omega)=\left\{u:\,u|_{\partial\Omega=0},\,\|u\|_{L^2}^2+\|\nabla u\|_{L^2}^2=\int_\Omega|u|^2+|\nabla u|^2<\infty\right\},
$$也就是说, $\mathbb{L}^2(\Omega)$是$\Omega$上所有具有有限动能的流体速度场的空间, 而$\mathbb{H}_0^1(\Omega)$是$\Omega$上所有在边界上无滑动的, 具有有限的动能和黏性耗散率的流体速度场的空间. 如果不至于混淆区域本身, 则将它们分别缩写为$\mathbb{L}^2$和$\mathbb{H}_0^1$. $\mathbb{L}^2$上的内积定义为$$
\langle u,v\rangle=\int_{\Omega}u\cdot v.
$$若$\Omega$有界, 则成立如下的 Poincaré 不等式, 它给出了动能与黏性耗散率之间的关系: 对于任何向量场$u\in\mathbb{H}_0^1(\Omega)$, $$
\int_{\Omega}|u|^2\leq\lambda_1(\Omega)\int_{\Omega}|\nabla u|^2,
$$其中$\lambda_1(\Omega)$是区域$\Omega$的第一 Dirichlet 特征值 (即本征振动的极小能量). 特别值得注意的是, 例如$u=\text{const.}\neq0$便不属于类$\mathbb{H}_0^1(\Omega)$, 因为它在边界上并不等于零.

      接下来命$$
H(\Omega)=\{u\in\mathbb{L}^2(\Omega):\,\text{div}u=0,\,u\cdot n_{\partial\Omega}=0\},\,V(\Omega)=\{u\in\mathbb{H}_0^1(\Omega):\,\text{div}u=0\}.
$$条件$\text{div}u=0,\,u\cdot n_{\partial\Omega}=0$的确切含义是: 对于一切的$\Omega$上的光滑函数$\varphi$, 都有$\langle u,\nabla\varphi\rangle=0$. 这两者都是无散向量场组成的空间, 当不至于混淆区域本身的时候, 它们被缩写为$H$和$V$. 关于空间$H$有如下的一个基本定理, 即 Helmholtz-Weyl 分解:

      定理2.1. [Helmholtz-Weyl 分解] 设$\Omega$或者是有界光滑区域, 或者是全空间本身. 命$G(\Omega)$ 为具有有界动能的梯度向量场的空间. 则成立如下的闭子空间的正交直和: $$
\mathbb{L}^2(\Omega)=H(\Omega)\oplus G(\Omega).
$$换句话说, 任给向量场$u\in \mathbb{L}^2(\Omega)$, 都存在唯一一个边界上法向速度为零的无散向量场$h$和唯一一个标量函数 (可以相差常数加项)$p$使得$u=h+\nabla p$.

      对于$\Omega=\mathbb{R}^3$, 这是自从 Helmholtz 的时代就已经为人知晓的结论; 但对于一般的区域, 直到 1950 年代, 这类结论才得到澄清, 因为它牵涉到区域的拓扑性质; 系统的论述可见于 Cappell et al. [CDGM] 和 Morrey [Morrey] (第七章) .

      借助此分解定理, 就可以引入非常重要的 Leray 投影算子 (Leray projection) $\mathbf{P}$: 给定$u\in\mathbb{L}^2(\Omega)$, 设$u=h+\nabla p$是它的 Helmholtz-Weyl 分解, 则定义$\mathbf{P}u=h$. 这是一个正交投影算子, 而且实际上可以延拓为$L^p$乘子. 它可以简化 Navier-Stokes 方程的研究, 因为如果限于在空间$H(\Omega)$中来考虑 (NSE') (这是非常合理的边界条件), 那么方程两边用投影算子作用后即得到$$
\begin{aligned}
\left(\frac{\partial }{\partial t}-r\Delta \right)u&=-\mathbf{P}[(u\cdot\nabla) u]+\mathbf{P}f,\\
u(x,0)&=u_0(x),\,x\in\Omega,
\end{aligned}\tag{NSE''}
$$因为$u\in H(\Omega)$, 而$\nabla p$在$\mathbf{P}$的作用下变为零. 如果外力$f$是有势力, 那么连$\mathbf{P}f$也会变成零. 只要这个方程的解被确定下来, 那么压强分布$p$也就立刻被确定到了相差一个常数加项的程度. 因此 (NSE'') 实际上同 (NSE') 等价, 但前者因消去了压强项而变得更便于处理.

      为确定起见, 我们分别以下标$x$, $t$来表示对空间变量和对时间变量的操作. 例如, 对于两个函数$u=u(x,t),v=v(x,t)$, $$
\|u(t)\|^2_{L^2_x}=\int_\Omega|u(x,t)|^2dx,\,\langle u(t),v(t)\rangle_x=\int_\Omega u(x,t)\cdot v(x,t) dx.$$将$u(x,t)$视为从时间轴到函数空间的道路也是有益的.

      我们将考虑初值问题 (NSE') 及其等价形式 (NSE''). 弱解 (weak solution) 的概念在这里非常有用; 如同前文提到的, 这个概念最早由 Hilbert 引入, 具有明确的物理意义: 作用量泛函的临界点. 对于 Navier-Stokes 方程来说, 作用量泛函的临界点$u$适合如下的等式: 对于所有$v\in V$, 有$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}\int_\Omega u(x,t)\cdot v(x)dx+r\int_\Omega \nabla u(x,t)\cdot v(x)dx&+\int_\Omega(u(x,t)\cdot\nabla v(x))v(x)dx\\
&=\int_\Omega f(x,t)\cdot v(x)dx,
\end{aligned}
$$或者$$
\frac{d}{dt}\langle u,v\rangle_x+r\langle\nabla u,\nabla v\rangle_x+b(u,v,v)=\langle f,v\rangle_x.
$$这样一个函数$u=u(x,t)\in H$叫做 (NSE') 的弱解. 注意到压强项消失了, 因为它与试验函数$v\in V$的内积是零. 可以定义一个三重线性形式$b$和相应的双线性形式$B$: $$
b(u,v,w)=\langle B(u,v),w\rangle=\int_\Omega(u\cdot\nabla v)w.
$$这个形式有非常重要的抵消性质 (cancellation property):
$$b(v,w,w)=0,\,\forall v,w\in V.$$

      (NSE') 的古典解自然是弱解, 但反过来未必成立, 因为$\Delta u$未必是古典意义下的函数; 弱解的定义仅仅涉及到一阶导数.

      如下的定理是关于 (NSE') 的弱解的, 它属于 Eberhard Hopf, 具有基本的意义:

      定理 2.2. [Hopf [Hopf], 1951] 设$\Omega$或者是$\mathbb{R}^3$中的光滑区域, 或者是全空间本身. 给定$u_0\in H$和任何$f\in L_t^2([0,\infty);V^*_x)$, 都有一个 (NSE') 的弱解$u$, 它属于函数类$$
L_x^\infty([0,\infty);H_x)\cap L_t^2([0,\infty);V_x),
$$且适合强能量不等式$$
\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|u(t)\|_{L^2_x}^2+r\|\nabla u(t)\|_{L^2_x}^2\leq\langle f(t),u_0\rangle_x.$$

      证明概要. 证明使用的是数值偏微分方程中寻找变分问题近似解的 Galerkin 方法. 我们考虑问题的等价形式 (NSE'').

      当$\Omega$为有界区域时, 命$\{w_k(x)\}$为$-\Delta$在$H(\Omega)$中的归一化本征函数, $\{\lambda_k\}$为相应的特征值, 并定义近似解序列$$
u^N(x,t)=\sum_{k\leq N}a^N_k(t)w_k(x)
$$. 原问题便近似为一个关于未知函数$(a^N_k(t))_{k=1}^N$的常微分方程组$$
\frac{d}{dt}a^N_k(t)=-\lambda_ka^N_k(t)-\sum_{i,j=1}^nB_{ijk}a_i^N(t)a_j^N(t)+\mathbf{P}f_k(t),\,a^N_k(0)=\langle u_0,\varphi_k\rangle,
$$其中$\mathbf{P}f_k(t)=\langle \mathbf{P}f(t),\varphi_k\rangle_x$且$B_{ijk}=b(w_j,w_j,w_k)$. 对所有$N$, 此方程组都有唯一的解$u^N(x,t)$, 而且根据函数组$w_k$的选取, 对于固定的时刻$t$, $u^N(x,t)$自然属于类$H$. 近似解序列$u^N(x,t)$满足强能量不等式, 这是三维空间的 Sobolev 嵌入定理$L^6\subset H_0^1$ 的推论; 最重要的一步是$$
|\langle u_n\cdot\nabla u_n,\varphi\rangle|\leq \|u_n\|_{L_x^2}^{1/2}\|\nabla u_n\|_{L_x^2}^{3/2}\|\varphi\|_{V}\,\forall\varphi\in V.
$$泛函分析中关于弱列紧性的定理保证了序列$\{u^N\}$包含着弱收敛子序列, 而其极限函数$u$便是一个仍旧满足强能量不等式的弱解.

      如果$\Omega$是全空间本身, 那么便考虑穷尽全空间的区域序列$\Omega_n=B(0,n)$, 并从每个球上的弱解序列中抽取子序列. Q. E. D.

      强能量不等式的物理意义非常清楚: 动能变化率与黏性耗散率之和不超过外力的功率. 积分之即得到弱能量不等式$$
\frac{1}{2}\|u(t)\|_{L^2_x}^2+r\int_0^t\|\nabla u(s)\|_{L^2_x}^2ds\leq\int_0^t\langle f(s),u_0\rangle_xds+\frac{1}{2}\|u(0)\|_{L^2_x}^2,
$$即每一时刻的动能与黏性耗散之和不超过外力做的功与初始动能之和.

      这样得到的弱解被称为 Leray-Hopf 弱解. 它显示出 Navier-Stokes 方程在最弱的意义下是一个适当的物理模型: 物理学家至少期望任何一个流体系统都应该能够不断地演化下去. 但弱解的缺陷也很明显: 我们不知道弱解是否唯一, 不知道它是否对初始条件很敏感, 也不知道它到底是否适合能量守恒律.

      为了能够更深入地研究 Navier-Stokes 方程, 我们需要回到最早由 Leray 证明的局部适定性结果. 这时的解$u$的 Laplacian $\Delta u$是平方可积的, 具有平方可积的加速度场$\partial_tu$; 这样的解叫做强解 (strong solution), 而如果给外力$f$和初始条件$u_0$加上更强的正则性限制, 它就自然地给出了古典解. Leray 的定理叙述如下:

      定理 2.3. [Leray [Leray], 1934] 设$\Omega$或者是$\mathbb{R}^3$中的光滑区域, 或者是全空间本身. 给定$u_0\in V$和任何$f\in L_t^\infty([0,\infty);\mathbb{L}^2_x)$, 都有一仅取决于$\Omega$形状的常数$c$, 使得对于$$
T=\frac{cr^3}{\|\nabla u_0\|^4_{L^2}+\|\mathbf{P}f\|^4_{L_t^\infty H_x}},
$$存在方程 (NSE') 的唯一一个属于类$$
C_t^0([0,T];V_x)\cap L_t^2([0,T];H^{2,2}_x\cap V_x)$$
的强解, 满足$\partial_tu\in L_t^2([0,T];H_x)$, 且适合能量守恒律$$
\frac{1}{2}\|u(t)\|_{L^2_x}^2+r\int_0^t\|\nabla u(s)\|_{L^2_x}^2ds=\int_0^t\langle f(s),u_0\rangle_xds+\frac{1}{2}\|u(0)\|_{L^2_x}^2,\,t\in[0,T].$$
这强解对于$t\in[0,T)$必与任何 Leray-Hopf 解重合, 而且连续地依赖于$u_0$和外力$f$.

      证明概要. 此证明可在 Leray 的原文中看到.

      命$\mathfrak{X}_T=C^0([0,T];V_x)$. 考虑等价的方程 (NSE''), 并将其重写为$\mathfrak{X}_T$上的积分方程$$
u(t)=e^{rt\Delta}u_0+\int_0^te^{r(t-s)\Delta}\left(-\mathbf{P}[(u\cdot\nabla) u](s)+\mathbf{P}f(s)\right)ds.
$$原问题于是化为$\mathfrak{X}_T$上的不动点问题. 注意到三维空间中的 Sobolev 不等式给出$$\|\mathbf{P}[(u\cdot\nabla) u]\|_{L_{x}^{3/2}}\leq C\|u\|^2_{V_x},
$$故热方程的 Strichartz 估计给出$$
\int_0^te^{r(t-s)\Delta}\mathbf{P}[(u\cdot\nabla) u](s)ds\in C_t^0([0,T];V_x).
$$这样一来, 根据压缩映像原理便容易得到解了. 标准的抛物微分方程理论保证了解的正则性. 至于弱解与强解相等则只是一些容易的计算的推论. Q. E. D.

      此定理的直接推论是

      推论. 在定理 2.3. 给出的时间区间上, Leray-Hopf 弱解是唯一满足强能量不等式的弱解.

      值得指出的是, 即便有定理 2.3. 的唯一性结论, 目前仍旧不知道 Leray-Hopf 弱解是否一定是唯一的, 因为我们不能保证它是不是会在某个时刻出现分叉. 这尚且是未解决问题.

      如果为初始条件和外力项加上更高的正则性条件, 那么立刻可以利用同定理 2.3. 一样的思路证明 Navier-Stokes 方程 (NSE'') (从而也就是 (NSE')) 存在唯一的短时古典解. 定理的证明还能提供更多的信息. 实际上, 这个不动点方法让人们能够至少在它所保证的存在时间区间内估计任何一种近似解法 (例如 Galerkin 方法) 所造成的误差, 因为压缩映像原理能够让人们估算出相应的近似方程所造成的误差.

      从物理的角度来说, 定理 2.3. 有鲜明的物理意义. 首先, 这个定理显示 Navier-Stokes 方程至少在如下意义下较好地描述了一个流体力学系统: 问题的解存在且唯一, 而且至少在短时间内对初始条件和外力的微扰不敏感. 另外, 定理对存在时间区间的长度估计是 $$
T\geq\frac{cr^3}{\|\nabla u_0\|^4_{L^2}+\|\mathbf{P}f\|^4_{L_t^\infty H_x}},
$$在这一段时间区间上, 黏性耗散率随着时间连续变动, 而速度场$u$对时空变量$(x,t)$是连续的, 这保证了流体的流线是比较规则的. 这表示湍流在这一段时间区间里不会生成.

      更有趣的是, 参数$\text{Re}=1/r$越小, 存在时间的下界$T$越大. 这件事的物理意义如下: 低雷诺数的流体倾向于按照更加规则的方式来演化. 最后, 参数$c$决定于区域$\Omega$的形状, 这在物理上也是饶有兴味的问题. 从证明可以看出, 这个常数来自于$\Omega$上的热核$e^{t\Delta}$的性质, 而这进一步依赖于区域$\Omega$的谱 (spectrum), 即区域被均匀介质填满时本征振动的能级. 这包含着相当多的几何信息, 换句话说, 这涉及到著名的听音辨鼓 (hear the shape of a drum) 问题. 最著名的例子大概是 Dirichlet 特征值渐近分布密度的 Weyl 律: 若以$N(\lambda)$表示$\Omega$的 Dirichlet 特征值中不超过$\lambda$者之个数, 则有$$
N(\lambda)\sim\frac{1}{6\pi^2}\text{vol}(\Omega)\lambda^{3/2},
$$而进一步的精细计算显示出渐近展开的下一项取决于$\Omega$的拓扑性质 ("洞的个数"). 关于湍流的流体力学实验 (例如长管内的 Poiseuille 流实验) 显示出湍流的生成与区域的几何特性有关. 上面的讨论提示人们从如下角度考虑问题: 只要知道了关于区域的几何信息, 那么就可以确保湍流在某个时刻之前不会生成. 也许数学家们应该关注一些比 Navier-Stokes 方程的一般性质更具体的问题: 这两个方面是怎么联系起来的?

      最后, 值得指出的一点是: 人们仍旧不知道三维 Navier-Stokes 方程 ("真正的" Navier-Stokes 方程) 的 Leray-Hopf 弱解究竟是不是唯一的; 目前仅能确定, 在一段很短的时间区间上, 存在唯一一个满足强能量不等式的弱解, 且在适当的正则性假定之下, 它与强解重合, 从而这个解实际上满足能量守恒律. 然而这个局部适定性结果在物理上来说已经够用了, 毕竟有物理意义的解应该满足能量守恒律.

      前一节已经概述了 Navier-Stokes 方程局部适定性的经典理论. 这一节将限于考虑初值$u_0\in V$, 外力$f\in L_t^\infty([0,\infty);H_x)$的情形, 即 (NSE') 的初始速度场具有有限的黏性耗散率, 外力没有突然跃变的情形.

      结果可以概括如下. 人们已经能够证明, 二维的 Navier-Stokes 方程有非常好的整体正则性, 于是 遵循 Navier-Stokes 方程的二维流体事实上并不会产生湍流; 工程上的 "二位湍流" 其实都是三维问题的近似. 对于三维 Naveri-Stokes 方程, 人们证明了, 如果初始速度场的黏性耗散率足够小, 或者初始速度的大小在某种适当的意义下很小 (并不仅仅是初始动能足够小), 那么 Leray 定理 (定理 2.3.) 给出的强解就可以延伸到整个时间轴上. 尽管目前尚不知道一般的初始条件是否能保证强解整体存在, 但是人们可以在假定解在某一时刻爆破的情况下估算其黏性耗散率爆破的速度. 另外, 解在某一时刻爆破当且仅当其涡量在这一时刻爆破. 这在一定程度上验证了这样一种物理直觉: 湍流应该包含不规则的漩涡. 人们还在假定奇异集存在的情况下研究了它的性质.

      在讨论三维的 Navier-Stokes 方程之前, 有必要先论述二维的结果. Ladyzhenskaya 得到了二维 Navier-Stokes 方程的完整的适定性理论, 并将自己的成果收录在专著 [La] 中. 值得指出的是, 这一结果的证明虽然使用的是同三维情形一样的压缩映像原理, 但却借助了二维的 Sobolev 不等式来得到黏性耗散率$\|\nabla u\|_{L^2_x}$的先验估计, 因此完全不能推广到三维情形.

      定理 3.1. 设$\Omega$或者是平面光滑区域或者是全平面本身. 任给$u_0\in H(\Omega)$和$f\in L^2([0,\infty);V(\Omega)^*)$, 方程 (NSE') 在空间$$
L^\infty_t([0,\infty);H_x)\cap L^2_t([0,\infty);V_x)
$$中存在唯一一个弱解$u$. 这弱解满足能量守恒律. 若再进一步假定$u_0\in V$, $f\in L_t^\infty([0,\infty);\mathbb{L}^2_x)$, 则这弱解实际上是整体存在的强解. 如果再进一步提高正则性假定, 便可得到古典解.

      大体来说, Ladyzhenskaya 定理的物理意义是二维的牛顿流体不会产生湍流.

      对 Navier-Stokes 方程有限差分格式算法收敛性的第一个严格证明也是 Ladyzhenskaya 给出的.

      现在回到三维的 Navier-Stokes 方程. 取定定理 2.2. 给出的一个 Leray-Hopf 弱解$u$. 已知对此弱解成立强能量不等式$$
\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|u(t)\|_{L^2_x}^2+r\|\nabla u(t)\|_{L^2_x}^2\leq\langle f(t),u_0\rangle_x.
$$尽管如此, 仍旧不能断言黏性耗散率$r\|\nabla u(t)\|_{L^2_x}^2$对任何时刻$t$都有限; 完全有可能出现某个动能剧烈变化的时刻$t_0$, 致使$r\|\nabla u(t_0)\|_{L^2_x}^2=\infty$. 当然, 目前仍旧不知道究竟会不会出现这种情况.

      使得强解在时间区间$[0,T)$上存在的时间$T$的上确界叫做这问题的寿命 (lifespan), 常常记作$T_*$. Navier-Stokes 方程理论的核心问题如下:

      Leray-Hopf 弱解$u$能否给出一个在整个时间轴上都存在的强解? 这等于是问, 是否有$T_*=\infty$?

      这一问题的物理提法是: 对于一般的初始条件来说, Navier-Stokes 方程的解是否会产生湍流? 定理 2.3. 可以保证短时间内不会出现这种情况. 但到目前为止, 人们完全无法确定这一结论是否能够延伸到长时间的情形. 不论是肯定还是否定的回答都会让回答者获得克雷数学研究所提供的一百万美元奖金. 除此以外, 这样的回答对工程问题将会有巨大的促进作用: 例如, 它可以提供一套系统的理论来判断 Navier-Stokes 方程的任何一种数值解法是不是有效. 不幸的是, 迄今为止在这个问题上进展仍旧很少. 它的价值与难度绝对值得百万美元. 实际上, 人们甚至尚且不知道 Leray-Hopf 解在时刻$t=T_*$(如果它有限的话) 之后是不是还是唯一的, 尽管定理 2.3. 保证了当$t<T_*$时它的确唯一.

      不过, 人们还是在围绕这个核心问题兜圈子的过程中得到了一些部分结果. 为简单起见, 将只考虑$\Omega=\mathbb{R}^3$即全空间上的问题, 并假设外力是有势力, 从而总可以确保$\mathbf{P}f=0$, 例如$f$是重力的情形. 这样一来, 在等价问题 (NSE'') 中, 项$\mathbf{P}f$便不出现了.

      现在来建立 "小" 初值的整体存在性结果:

      定理 3.2. 考虑全空间中的问题 (NSE') 或者 (NSE''). 设$f$是有势力. 存在一个常数$c$, 使得只要$\|u_0\|_{V}\leq c(1+r^2)$, 那么定理 2.3. 中构造的强解$u$在整个时间轴上都存在, 即$T_*=\infty$. 这一强解与 Leray-Hopf 弱解相合 (故 Leray-Hopf 弱解在这种情况下是唯一的), 并且适合强能量不等式.

      证明概要. 实际上, 如果$u$是定理 2.3. 的证明中出现的积分方程$$
u(t)=e^{rt\Delta}u_0+\int_0^te^{r(t-s)\Delta}\left(-\mathbf{P}[(u\cdot\nabla) u](s)\right)ds
$$的解, 那么在$\|u_0\|_{V}=\|u_0\|_{L^2}+\|\nabla u_0\|_{L^2}$足够小的前提下, 标准的抛物方程理论即可为$\|\nabla u(x,t)\|_{L_x^2}$提供先验估计. 这样就可以把时间轴划分为等长的区间$[0,T),[T,2T),...$, 在每一区间上应用定理 2.3. 就可以了. Q. E. D.

      定理 3.2. 保证了任何 Leray-Hopf 弱解在有限长的时间之后一定会变成强解, 因为根据强能量不等式, $\|\nabla u(t)\|_{L_x^2}$具有一定的衰减性质. 不过, 从物理的角度看, 这个定理也并不能让人满意; 物理学家显然会期望小的初速度 (而不是同时要求初速度场的黏性耗散率也很小) 就可以保证流体不产生湍流. 事实证明, 的确如此. 加藤敏夫 [Kato] 建立的结果以上面的定理 3.2. 为其特殊情形. 为了体现 [Kato] 结论的物理意义, 这里截取其一般定理的一个特殊情况来表述:

      定理 3.3. 考虑全空间中的问题 (NSE') 或者 (NSE''). 设$f$是有势力. 存在一个常数$c$, 使得只要初始速度场满足$u_0\in H\cap\mathbf{P}{L}_x^3$, $\|u_0\|_{L^3}\leq cr$, 那么方程 (NSE') 便有一个属于类$$
L^{q^*}_t([0,\infty);\mathbf{P}L_x^q)\cap C^0_t([0,\infty);H\cap\mathbf{P}L_x^q)
$$的强解$u$; 这里$1/q^*=(1-3/q)/2$, $3<q<9$. 解$u$满足衰减估计$$
\|u(t)\|_{L_x^q}=O(t^{-(1-3/q)/2}),\,\|\nabla u(t)\|_{L_x^q}=O(t^{-(1-3/2q)}).
$$这一强解与任何一个 Leray-Hopf 弱解相合, 而且满足能量守恒律.

      证明概要. 仍旧将原来的问题重写成$$
u(t)=e^{rt\Delta}u_0+\int_0^te^{r(t-s)\Delta}\left(-\mathbf{P}[(u\cdot\nabla) u](s)\right)ds,
$$然后使用热方程的 Strichartz 估计. 实际上这与非线性薛定谔方程的情形多有相似, 可参考 [Caz]. Q. E. D.

      根据 Gagliardo–Nirenberg 不等式, 定理 3.2. 是这个定理的特殊情形. 一个值得注意的情形是$\sup_x|u_0(x)|$ (即初速度的最大值) 很小, 这时根据插值即可看出这是定理 3.3. 的特殊情形. 这与物理直觉能够相容: 如果流体的初始速度在全空间中处处都很小, 那么就应该期望流体不会演化出湍流. 在这个方向上, 目前为止最好的结果由 Koch 和 Tataru [KT] (2001) 给出. 他们使用了所谓的 BMO 函数空间(bounded mean oscillation, 有有界平均振幅的函数), 这又以加藤敏夫的结果为一特殊情形. 由于这个证明使用了比较多的调和分析 (当然, 证明背后的想法还是研究积分方程, 只是要对热半群进行更精细的刻画), 这里不便给出他们的结果的详细表述, 只是指出, 为了让$u_0$ 达到 Koch 和 Tataru 的定理的要求, 量$\sup_x|u_0(x)|$和$\|u_0\|_{L^2}$其实都不必太小.

      再次强调一下, 人们尚且不知道对于一般的初始条件, 问题 (NSE') 的强解的寿命$T_*$是否能达到无穷. 目前人们只能在假定$T_*<\infty$的情况下研究解的非正则性质. 时刻$T_*$有时会被称为奇异时刻 (singular time). 关于奇异时刻的一系列定理中, 最基本的当属 Leray 本人的一个定理:

      定理 3.4. [Leray [Leray], 1934] 设区域$\Omega$或者是全空间中的光滑有界区域, 或者是全空间本身. 设$u$是问题 (NSE') 的任何一个 Leray-Hopf 弱解, 其初始条件$u_0\in V$, 且外力$f$是有势力, 于是它也是时间区间$[0,T_*)$内唯一的强解. 若寿命$T_*<\infty$, 则存在只依赖于$\Omega$形状的常数$c$使得$$
\|\nabla u(t)\|^2_{L_x^2}\geq\frac{cr^{3/2}}{\sqrt{T_*-t}}.$$

      证明概要. 这个证明仍旧见于 Leray 的原文. 最关键的一步是$\|\nabla u(t)\|^2_{L_x^2}$在$t\to T_*$时必须要趋于无穷, 不然解就能够跨过时刻$t=T_*$而存在了; 定理表述中所求的估计是根据定理 3.2. 的证明中使用压缩映像原理的条件遭到破坏而得到的推论. Q. E. D.

      Leray 定理给出了当逼近奇异时刻时黏性耗散率的发散速度的估计. 由于应力张量$[\nabla u+(\nabla u)^\tau]/2$和涡量$\nabla\wedge u$的$L^2_x$-模的和控制着$\|\nabla u\|_{L_x^2}$, 这表示应力张量和涡量中至少有一个会发散到无穷. 很快就会看到, 实际上两者都会发散到无穷.

      对时间$t$积分, 即可得到关于奇异集的一个结论:

      定理 3.5. [Leray [Leray], 1934] 在定理 3.4. 的条件下, 设$\mathcal{E}\subset[0,\infty)$是所有使得$\|\nabla u(t_0)\|_{L^2_x}=\infty$的时刻$t_0$的集合. 则$\mathcal{E}$是有界闭集, 其 Hausdorff 维数不超过 1/2. 解$u$是从$[0,\infty)\setminus \mathcal{E}$到$V$的连续映射.

      这表示, 产生湍流的时刻在某种意义下是很 "稀疏" 的.

      关于奇异集的更精细的结果首先由 Scheffer 在一系列论文 (Scheffer [Sche1]-[Sche5], 1976-1980) 之中得到, 之后又由 Caffarelli, Kohn and Nirenberg 在 [CKN], 1982 中进一步精细化. 这里给出 Scheffer 的结果; 不过证明概要不可能在这么短的篇幅内给出, 因为它的思路很复杂.

      对于 (NSE') 的弱解$u$, 定义时空中的奇异集 (singular set) $S\subset\Omega_x\times[0,\infty)_t$为使得$u$在其附近本质无界的那些点$(x,t)$的集合.

      定理 3.6. [Scheffer [Sche1]-[Sche5], 1976-1980] 设$\Omega$或者是有光滑边界的有界区域, 或者是全空间本身. 给定$u_0\in H$和有势外力$f$, 相应的 (NSE') 的任意一个 Leray-Hopf 弱解$u$的奇异集$S$都有如下的性质: $S$的 Hausdorff 维数不大于$5/3$, 而且$$
\mathcal{H}^1[S\cap\Omega\times\{t\}]<\infty
$$对于$t$一致地成立, 其中$\mathcal{H}^1$表示一维的 Hausdorff 测度.

      Scheffer 定理表明, 在任何时刻, 空间中使得速度场出现爆破现象的那些点的集合构成了一维的线. 结论$\text{dim}S\leq 5/3$是很有趣的, 因为这个维数与 Kolmogorov 在 [Kol] 中提出的幂律的幂相同. 大体来说, 频域上波数$\sim k$的频率成分与空间中尺度$\sim1/k$的成分相对应, 而$\text{dim}S\leq 5/3$表示: 为了将奇异集$S$用半径为$r$的小球覆盖, 则就至少要取数目为$r^{-5/3}$的球. Scheffer 的结论暗示着 Mandelbrot 关于湍流的猜想或许可以得到数学验证; Mandelbrot 曾经猜测湍流会展现分形性质; 实际上, Scheffer 在 [Sche5] 中表示, 这一定理正是受到 Mandelbrot 的论文 [Mand] 的启发才证明的.

      最后给出加藤敏夫和 Ponce 的一个定理 (是他们的一个一般性定理的有物理意义的特殊情况), 它将 "应力张量和涡量的爆破" 的含义明确了:

      定理 3.7. [Kato and Ponce, \cite{KP}, 1988] 设$\Omega$是全空间本身. 设$u\in C_t^0([0,T_*);\mathbf{P}L_s^2)$, $s>5/2$是 Navier-Stokes 方程 (NSE') 的强解, 其中$f$是有势力. 设它的寿命是$T_*$. 则有$$
\int_0^{T_*}\|\sigma(t)\|_{L_x^\infty}dt=\int_0^{T_*}\|\omega(t)\|_{L_x^\infty}dt=\infty,
$$其中$\sigma=[\nabla u+(\nabla u)^\tau]/2$是流体的应力张量, $\omega=\mathrm{curl}u$是流体的涡量.

      证明概要. 加藤敏夫和 Ponce 考虑了等价的方程$$
\left(\frac{\partial }{\partial t}-r\Delta \right)u=-\mathbf{P}[(u\cdot\nabla) u].
$$他们用分数阶微分算子$\langle D \rangle^s$作用于方程的两端, 并利用他们关于换位子的估计证明, 如果应力张量或者涡量在时间逼近$T_*$时保持有界, 那么解$u$就不会爆破, 于是$T_*$就不可能是奇异时刻. Q. E. D.

      这个定理表示, 如果流体的速度场在某个时刻出现了爆破现象, 那么它的应力张量和涡量也同时会爆破. 于是流体内会出现应力非常大的点, 也会产生越来越不规则的漩涡. 这显然是湍流的重要特征.

      前一节给出了一些关于 Navier-Stokes 的解的爆破性质的结论, 假如真有解能够在有限时间内爆破; 然而到目前为止, 还没有人能顾真的构造出来一个会在有限时间内爆破的解.

      陶哲轩的论文 [Tao] 是试图证否 Navier-Stokes 方程整体适定性的第一个突破. [Tao] 的主要研究对象是一个平均化的 (averaged) Navier-Stokes 方程, 它有着前面几节提到的 Navier-Stokes 方程的一切性质, 因此以目前的数学工具不足以区分这个方程与真正的 Navier-Stokes 方程. 在这篇文章中最可能令物理学家产生兴趣的内容是陶哲轩构造的爆破解展现出了与 Kolmogorov 的定性理论相一致的自相似性. 这一节的目的就是概括陶哲轩的结果.

      首先来固定一些记号. 以$H^{10}_{df}$代表$\mathbb{R}^3$上属于 Sobolev 空间$H^{10}$的那些无散向量场的 Hilbert 空间. 数 10 并非本质的, 只是为了保证足够高的可微性而已. Fourier 乘子$m(D)$由下式给出:$$
m(D)f:=\left(m(\xi)\hat f(\xi)\right)^\vee,
$$其中$\hat f$是$f$的 Fourier 变换, 而$(\hat f)^\vee=f$. 乘子$m(D)$的$k$阶矩定义为$$
\|m\|_k:=\sup_\xi|\xi|^k|\nabla ^km(\xi)|.
$$旋转算子$\mathfrak{R}_R:H^{10}_{df}\to H^{10}_{df}$由下式给出:$$
\mathfrak{R}_Ru(x):=Ru(R^{-1}x),
$$其中$R$是$\mathbb{R}^3$中的旋转. 缩放算子$\mathfrak{D}_\lambda:H^{10}_{df}\to H^{10}_{df}$由下式给出:$$
\mathfrak{D}_\lambda u(x):=\lambda^{3/2}u(\lambda x).$$

       Euler 双线性形式 (Euler bilinear form) $B$的定义与前面的小节略有不同; 这一节中, 双线性形式$B(u,v)$ 由$$
B(u,v)=-\frac{1}{2}\mathbf{P}\left((u\cdot \nabla)v+(v\cdot \nabla)u\right),
$$给出, 其中$\mathbf{P}$仍旧是 2.2. 节定义的 Leray 投影算子. 这一节将特别考虑$H^{10}_{df}$上无外力的无量纲化 Navier-Stokes 方程, 并设其雷诺数为 1. 其等价形式为$$
\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u+B(u,u),\,u(x,0)=u_0(x).$$

      在 [Tao] 中, 陶哲轩引进了一类所谓的平均化 Euler 双线性形式 (averaged Euler bilinear form), 即由$$
\begin{aligned}
\langle\bar B(u,v),w\rangle=\mathbb{E}\left\langle B\left(m_1(D)\mathfrak{R}_{R_1}\mathfrak{D}_{\lambda_1}u,m_2(D)\mathfrak{R}_{R_2}\mathfrak{D}_{\lambda_2}v\right),
m_3(D)\mathfrak{R}_{R_3}\mathfrak{D}_{\lambda_3}w\right\rangle,
\end{aligned}
$$给出的双线性形式$\bar B$, 这里$B(u,v)$是刚刚定义的 Euler 双线性形式, 而$m_i(D)$, $R_i$和${\lambda_i}$分别是定义在某个概率空间上的随机零阶 Fourier 乘子, 随机旋转算子和正值随机变量, 满足如下的条件: 对任何自然数$k_1,k_2,k_3$, 都有$$
\mathbb{E}\|m_1\|_{k_1}\|m_2\|_{k_2}\|m_3\|_{k_3}<\infty,
$$而且存在常数$C$使得$0<C^{-1}\leq\lambda_i\leq C$. 符号$\mathbb{E}$表示对此概率空间上概率测度的期望.

      大体来说, 这个平均化的 Euler 双线性形式是通过将通常的 Euler 双线性形式$B(u,v,)$对两个自变量$u,v$进行缩放, 旋转和零阶微分并取平均而得到的. 立即可以看出$\bar B$满足第二节中建立的所有调和分析估计; 如果对随机变量$m_i(D),R_i,\lambda_i$加上一些对称性, 那么很容易得到$\bar B$仍旧满足抵消性质$\langle\bar B(u,v),v\rangle=0$, $u,v\in H_{df}^{10}$. 因此, 如下的 "Navier-Stokes 型方程" 便有了一套完全平行于目前所建立的所有 Navier-Stokes 方程特性的适定性理论:$$
\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u+\bar B(u,u),\,u(x,0)=u_0(x);
$$特别地, 方程的属于类$C_t^0([0,T];H_{df}^10)$的强解$u$适合能量守恒律$$
\frac{1}{2}\|u(t)\|_{L_x^2}+\int_0^t\|\nabla u(s)\|^2_{L_x^2}ds=\frac{1}{2}\|u(0)\|_{L_x^2}.$$

      现在可以来叙述陶哲轩的主要定理.

      定理 4.1. [Tao, [Tao], 2014] 存在一个满足抵消性质$\langle\bar B(u,v),v\rangle=0$的平均化的 Euler 双线性形式$\bar B$, 以及一个$\mathbb{R}^3$无散度的 Schwartz 向量场$u_0$, 使得如下问题的短时解在某个有限的时刻爆破:$$
\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u+\bar B(u,u),\,u(x,0)=u_0(x).$$

      这样一来, $u$的 "应力张量" 和 "涡量" 都会在某个有限的时刻爆破; 这是第三节的结论. 正如陶哲轩本人所说, 这一定理揭示了下列事实: 不论是证明或者证否 Navier-Stokes 方程的整体适定性, 都必须要使用 Euler 双线性形式$B(u,v)$的某些更加具体的性质, 而不是泛泛的抵消性质和调和分析的不等式.

      陶哲轩的证明的核心思想将留待下一小节叙述, 这一小节先叙述他是如何将定理归结到他的核心步骤的. 陶哲轩在论文中定义了一些新的对象: 一个带有参数$\varepsilon_0>0$的基本局部级联双线性形式 (basic local cascade bilinear form) $C:H_{df}^{10}\times H_{df}^{10}\to H_{df}^{10}$由下式定义:$$
C(u,v)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}(1+\varepsilon_0)^{5n/2}\langle u,\psi_{1,n}\rangle\langle v,\psi_{2,n}\rangle\psi_{3,n};
$$在这里, 对于$i=1,2,3$, $\psi_{i}$都是无散度的 Schwartz 向量场, 其 Fourier 变换的支集包含在圆环$1-2\varepsilon_0\leq|\xi|\leq 1+2\varepsilon_0$内, 而$\psi_{i,n}(x)=(1+\varepsilon_0)^{3n/2}\psi_i((1+\varepsilon_0)^{n}x)$. 局部级联算子 (local cascade operator) 定义为基本局部级联算子的有限线性组合. 从定义可以看出, 基本局部级联双线性形式与 Euler 双线性形式$B(u,v)$是很像的, 因为幂指数$5n/2$正是为了平衡空间缩放的影响, 使得$C(u,v)$与$B(u,v)$在空间缩放变换之下按照同样的规律变化. 陶哲轩将定理 4.1. 的证明归结为了如下两个定理:

      辅助定理 4.2. 设$\varepsilon_0>0$是一个足够小的固定的常数. 则一切带有参数$\varepsilon_0>0$的局部级联双线性形式都是平均化的 Euler 双线性形式.

      辅助定理 4.3. 设$\varepsilon_0>0$是一个足够小的固定的常数. 则存在一个带有参数$\varepsilon_0>0$的满足抵消性质的局部级联双线性形式$C$, 和一个无散度的 Schwartz 向量场$u_0$ on $\mathbb{R}^3$, 使得问题$$
\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u+C(u,u),\,u(x,0)=u_0(x)
$$的强解$u$在有限时间内爆破$T$, 即当$t\to T$时, "黏性耗散率" 满足$$
\|\nabla u(t)\|_{L_x^2}\to\infty.
$$

      辅助定理 4.2. 的证明是一系列冗长的平均化计算, 它在一定的意义上显示出局部级联双线性形式与 Euler 双线性形式的相似性. 它将定理 4.1. 的证明归结为了辅助定理 4.3., 而辅助定理 4.3. 的证明是最容易引起物理上的兴趣的.

      这一小节将概述陶哲轩对辅助定理 4.2. 的证明. 固定一个自然数$m$, 设$B_1,...,B_m,-B_1,...,-B_m$是环$1\leq|\xi|\leq 1+\varepsilon_0/2$中的不相交的球体; 对于$i=1,...,m$, 命$\psi_i$为 Fourier 变换支撑在$B_i\cup(-B_i)$内的 Schwartz 函数, 具有$L^2$范数 1. 选择局部级联双线性形式$C$为$$
\begin{aligned}
C(&u,v)\\
&=\sum_{\substack{(\mu_1,\mu_2,\mu_3)\in S \\ 1\leq i_1,i_2,i_3\leq m}}\alpha_{i_1i_2i_3}^{\mu_1\mu_2\mu_3}
\left(\sum_{n\in\mathbb{Z}}(1+\varepsilon_0)^{5n/2}\langle u,\psi_{i_1,n+\mu_1}\rangle\langle v,\psi_{i_2,n+\mu_2}\rangle\psi_{i_3,n+\mu_3}\right),
\end{aligned}
$$其中$S$是有限集$\{(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$, 而系数$\alpha_{i_1i_2i_3}^{\mu_1\mu_2\mu_3}$满足一定的对称性条件, 使得$C$具有抵消性质$\langle C(u,v),v\rangle=0$.

      最关键的一步如下: 命$$
X_{i,n}(t):=\langle u(t),\psi_{i,n}\rangle_x,
$$即$X_{i,n}$将$u$的谱中波数包含在$(1+\varepsilon_0)^n[B_i\cup(-B_i)]$的那一部分抽取出来. 命$E_{i,n}(t)=\frac{1}{2}\|u_{i,n}(t)\|_{L_x^2}$, 即$u$的波数在$(1+\varepsilon_0)^n[B_i\cup(-B_i)]$中的那一部分的能量. 可见$E_{i,n}(t)\simeq\frac{1}{2}|X_{i,n}(t)|^2$. 解方程$$
\partial_tu=\Delta u+C(u,u),\,u(x,0)=u_0(x)
$$便转化为寻找一族函数$[X_{i,n}(t)]_{1\leq i\leq m,n\in\mathbb{Z}}$使之满足如下的无穷维常微分方程组:$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}&X_{i,n}(t)\\
&=\sum_{\substack{(\mu_1,\mu_2,\mu_3)\in S \\ 1\leq i_1,i_2,i_3\leq m}}\alpha_{i_1i_2i_3}^{\mu_1\mu_2\mu_3}
(1+\varepsilon_0)^{5(n-\mu_3)/2}X_{i_1,n-\mu_3+\mu_1}X_{i_2,n-\mu_3+\mu_2}+O((1+\varepsilon_0)^nE_{i,n}^{1/2}),
\end{aligned}
$$而$$
u(t)\simeq\sum_{n\in\mathbb{Z}}\sum_{i=1}^m X_{i,n}(t)(1+\varepsilon_0)^{3n/5}\psi_{i,n}((1+\varepsilon_0)^{2n/5}x).
$$

      陶哲轩通过精细地研究这一类常微分方程组而抓住了它的一个重要特征. 令人惊讶的是, 这一重要特征竟然与 Kolmogorov 在 [Kol] 中对湍流的定性分析极为相似:

      能量会持续地从第$n$个构造块$X_{i,n}(t)$向下一个构造块$X_{n+1}(t)$在大致等于$(1+\varepsilon_0)^{-5n/2}$的时间内传递, 传递的比率大约是$(1+\varepsilon_0)^{5n/2}$.

      更精确地说, 若定义$$
E_n(t)=\sum_{i=1}^mE_{i,n}(t),
$$则$E_n(t)$的图像可以用如下从陶哲轩的原始论文中摘录的图像来示意:

      由于构造块$X_{i,n}(t)$的能量对应于波数大致为$(1+\varepsilon_0)^n$的部分的能量, 因此对应于空间尺度大致为$(1+\varepsilon_0)^{-n}$的部分的能量, 以上的描述可以被赋予如下的物理意义:

      能量从大小大致为$(1+\varepsilon_0)^{-n}$的漩涡向大小大致为$(1+\varepsilon_0)^{-n-1}$的漩涡传递, 传递时间大致是$(1+\varepsilon_0)^{-5n/2}$, 而传递的比率大致是$(1+\varepsilon_0)^{5n/2}$.

      如果初值选取得合适, 这个过程便不会停止.

      由此立即可以得到, 黏性耗散率在有限的时间$T\sim\sum_{n}(1+\varepsilon_0)^{-5n/2}$内便会爆破. 黏性项并不会对这个爆破现象造成本质的影响. 实际上, 黏性耗散率有如下的近似表达式:$$
\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u(x,t)|^2dx\simeq\sum_{n\in\mathbb{Z}}\sum_{i=1}^m |X_{i,n}(t)|^2(1+\varepsilon_0)^{4n/5}.
$$根据以上的推理, 这个量显然会因为能量积累而走向爆破.

      看起来, 陶哲轩似乎并不十分了解 Kolmogorov 的湍流理论; 不论是在他的论文还是博客里, 他甚至都没有提到 Kolmogorov 的名字. 他并没有将自己发现的现象用物理语言概括, 而是选择将其命名为自动复制的 von Neumann 机 (self-reproductive von Neumann machine), 或者流体计算 (fluid computing), 并使用了如下的流程图来示意这个过程:

      总而言之, 陶哲轩以一种严格的数学的方式重新得到了 Kolmogorov 理论, 尽管他自己甚至都没有意识到这一点. 显然, 这一突破将会对 Navier-Stokes 方程的研究产生很大的影响. 如陶哲轩本人所说, 这一构造讨论的是平均化的 Navier-Stokes 方程, 而这种构造方式很可能可以在经过仔细的修正之后应用于真正的 Navier-Stokes 方程.

结语

      物理学一直在启发着数学, 但对于尚且没有准备好的数学家来说, 这种启迪总是很难参透. 自然界的基本规律用无声的语言向我们诉说, 而我们仍旧需要作出相当的努力去理解它.

参考文献

[Bur] Burgers, Johannes Martinus. A mathematical model illustrating the theory of turbulence. Advances in applied mechanics. Vol. 1. Elsevier, 1948. 171-199.

[CKN] Caffarelli L., Kohn R., Nirenberg L., Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations. Communications on pure and applied mathematics 35.6 (1982): 771-831.

[CDGM] Cappell S., DeTurck D., Gluck H., Miller E., Cohomology of harmonic forms on Riemannian manifolds with boundary. Forum Mathematicum. Vol. 18. No. 6. Walter de Gruyter, 2006.

[Caz] Cazenave T., Cazenave, Thierry. Semilinear Schrödinger equations. Vol. 10. Amer. Math. Soc., 2003.

[Hopf] Hopf E., Über die Aufanswertaufgabe für die hydrodynamischen Grundgleichungen. Math. Nachr. 4, 213–31.

[Kato] Kato T., Strong $L^p$-solutions of the Navier-Stokes equation in $\mathbb{R}^m$, with applications to weak solutions. Math. Z. 187.4 (1984): 471-480.

[KP] Kato T., Ponce G., Commutator estimates and the Euler and Navier-Stokes equations. Communications on Pure and Applied Mathematics 41.7 (1988): 891-907.

[KT] Koch H., Tataru D., Well-posedness for the Navier-Stokes equations, Advances in Mathematics 157.1 (2001): 22-35.

[Kol] Kolmogorov A., The Local structure of turbulence in incompressible viscous fluid for very large Reynolds numbers, Proc. R. Soc. Loud. A (1991) 434, 9-13; first published in Russian in Dokl. Akad. Nauk SSSR (1941) 30(4), paper received 28 December 1940, translated by V. Levin.

[La] Ladyzhenskaya, Olga A., The mathematical theory of viscous incompressible flow. Vol. 76. New York: Gordon and Breach, 1969.

[Leray] Leray J., Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace, Acta Math., Volume 63 (1934), 193-248.

[Mand] Mandelbrot B., Intermittent turbulence and fractal dimension: kurtosis and the spectral exponent $5/3+ B$, from Turbulence and Navier-Stokes equations. Springer, Berlin, Heidelberg, 1976. 121-145.

[Morrey] Morrey C., Multiple integrals in the calculus of variations. Springer Science and Business Media, 2009.

[Ja] Jackson A., Interview with Louis Nirenberg, Notices of the AMS, Volume 49, No. 4 (2002), 441-449.

[Sche1]Scheffer V., Turbulence and Hausdorff dimension. in Turbulence and the Navier-Stokes Equations, Lecture Notes in Math., No. 565, Springer-Verlag, 1976, pp. 94-112.

[Sche2] Scheffer V., Partial regularity of solutions to the Naoier-Stokes equations. Pacific J. Math. 66 (1976), 535-552.

[Sche3] Scheffer V., Hausdorff measure and the Navier-Stokes equations, Comm. Math. Phys. 55 (1977), 97-112.

[Sche4] Scheffer V., The Navier-Stokes equations in space dimension four, Comm. Math. Phys. 61 (1978), 41-68.

[Sche5] Scheffer V., The Navier-Stokes equations on a bounded domain, Comm. Math. Phys. 73, (1980), 1-42.

[Tao] Tao T., Finite time blow-up for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation, Amer. Math. Soc. 29 (2016), 601-674.

翻译成中文居然还是这么长...我打赌我的老师是不会认真看除了最后一节的内容的...