矢量场平移

  1. 3月前
    3月前西行妖杉 重新编辑

    在梁灿彬的《微分几何入门与广义相对论》中,有对矢量场沿曲线平移的定义:

    设\(v^{a}\)是沿着曲线\(C(t)\)的矢量场。\(v^{a}\)称为沿\(C(t)\)平移的,如果满足\(T^{b}\bigtriangledown_{b}v^{a}=0\),其中\(T^{a}\equiv ( \frac{\partial }{\partial t} )^{a}\)是曲线的切矢场。

    如果按照欧式空间来看,矢量场沿着曲线平移就是沿着某点切矢量的方向进行平移这不废话吗但是在这里看来,这个式子实在特别抽象看不懂,无法理解.jpg主要有下面四个问题:
    1.此处按照抽象指标记号,协变导数应该和切矢缩并。缩并的结果应当是一个零阶张量场,也就是标量场;此时的标量场是应该被后面的矢量作用,还是单纯地数乘?
    2.接上,这个\(T^{b}\bigtriangledown_{b}v^{a}=0\)是一个标量等式还是一个矢量等式?也就是说,右边的0是零矢量还是标量?
    3.如果说按照切矢量进行平移来看,这个式子应该要表述的是向量场沿着切矢方向保持不变。如何从这个式子中看出这个结论?
    4.接上,如何把这个式子的数学意义从一般流形退化到欧式空间……
    感谢各位orz

    1.应该是导数算符作用于右边的矢量得出一个(1, 1)阶张量,然后这个张量再跟前面的切矢缩并。导数算符先跟切矢缩并是什么鬼?
    2.显然是矢量等式。
    3.不知道。
    4.退化到欧氏空间,直接把这条式子用(3维)欧几里得空间里的矢量和直角坐标系下普通导数算符来写不行吗?如\(0=\frac{\partial x^i}{\partial s}\frac{\partial v^j}{\partial x^i}=\frac{\partial v^j}{\partial s}.\)
    s是该曲线的仿射参数,此即矢量场在曲线上的各点的矢量,的各个分量均不随s变化——矢量沿曲线平移。

  2. 蹑履思登

    2楼 10月25日 被采纳
    3月前蹑履思登 重新编辑

    1.应该是导数算符作用于右边的矢量得出一个(1, 1)阶张量,然后这个张量再跟前面的切矢缩并。导数算符先跟切矢缩并是什么鬼?
    2.显然是矢量等式。
    3.不知道。
    4.退化到欧氏空间,直接把这条式子用(3维)欧几里得空间里的矢量和直角坐标系下普通导数算符来写不行吗?如\(0=\frac{\partial x^i}{\partial s}\frac{\partial v^j}{\partial x^i}=\frac{\partial v^j}{\partial s}.\)
    s是该曲线的仿射参数,此即矢量场在曲线上的各点的矢量,的各个分量均不随s变化——矢量沿曲线平移。

  3. 谢谢,大致明白了。
    感觉矢量式不加声明就等于0有点奇怪 /asnowwolf-tear

 

后才能发言