博资考用调和分析笔记: Littlewood-Paley 理论

  1. 4月前
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          这则笔记为准备我的博士生资格考试而作, 内容是 Littlewood-Paley 理论. 如果以后要讲调和分析导引类的课程, 也可能会用得上. 发到这里一来可以存档, 二来可以共享.

          主要参考文献:
          [Gra1] Grafakos L., Classical Fourier Analysis.
          [Gra2] Grafakos L., Modern Fourier Analysis.
          [Tay] Taylor M., Tools for PDE: Pseudodifferential Operators, Paradifferential Operators, and Layer Potentials.

          这则笔记将选定一个 Littlewood-Paley 分解: 取定径向递减非负函数$\phi\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$, 使$\text{supp}\phi\subset B(0,2)$, 在$B(0,1)$上$\phi=1$; 命$\psi(\xi)=\phi(\xi/2)-\phi(\xi)$, 并对$j\in\mathbb{Z}$定义$\psi_j(\xi)=\psi(\xi/2^j)$; 则频域上有如下的单位分解:$$
    \phi(\xi)+\sum_{j\geq0}\psi_j(\xi)=1\forall\xi\in\mathbb{R}^n;\,\sum_{j\in\mathbb{Z}}\psi_j(\xi)=1,\forall\xi\neq0.
    $$在 Schwartz 分布空间上定义 Littlewood-Paley 构造块算子$P_jf:=\psi_j(D)f$和截断算子$$
    S_0f:=\phi(D/2)f,\,S_kf:=\phi(D)f+\sum_{0\leq j\leq k}P_jf=\phi(D/2^{k+1})f.
    $$则有$f=\phi(D)f+\sum_{j\geq0}P_jf$, 而$f-\sum_{j\in\mathbb{Z}}P_jf$则是多项式. 这就构成了分布$f$的 Littlewood-Paley 分解. 如果$f$由缓增函数代表, 那么每一个构造块$P_jf$和截断算子$S_kf$都可以表示成与 Schwartz 函数的卷积. 分布$f$的正则性反应在上面级数的收敛速度上.

          一般地来说, 每一个构造块$P_jf$对于微分的探测可以讨论如下: 取一函数$\theta\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$使得$\theta$的支集位于圆环$B(0,4)\setminus B(0,1/4)$内, 且在$\psi$的支集上等于1. 则$$
    |D|^sP_jf=2^{sj}(\theta(\xi/2^j)|\xi/2^j|^s)^\vee*P_jf,
    $$而$$
    P_jf=2^{-sj}(\theta(\xi/2^j)|\xi/2^j|^{-s})^\vee*(|D|^sP_jf).
    $$故根据卷积的 Young 不等式容易看出: 任取$p\in[1,\infty]$, 都有$$
    \||D|^sP_jf\|_{L^p}\sim_p 2^{sj}\|P_jf\|_{L^p}.$$

    1. Littlewood-Paley 定理

          固定一个 Schwartz 函数$\eta$, 使得$\eta(0)=0$. 对于任何 Schwartz 分布$f$和任何$j\in\mathbb{Z}$, 定义算子$Q_jf:=(\eta(\xi/2^j)f(\xi))^\vee$. 有下面的 Littlewood-Paley 定理:

          定理 5.3. 对于$1<p<\infty$, 成立不等式$$
    \left\|\left(\sum_{j\in\mathbb{Z}}|Q_jf|^2\right)^{1/2}\right\|_p\leq C_p\|f\|_p.
    $$如果$\sum_{j\in\mathbb{Z}}|\eta(\xi/2^j)|^2=1\,\forall\xi\neq0$或者$\sum_{j\in\mathbb{Z}}\eta(\xi/2^j)=1\,\forall\xi\neq0$, 则还有反向的不等式$$
    \|f\|_p\leq c_p\left\|\left(\sum_{j\in\mathbb{Z}}|Q_jf|^2\right)^{1/2}\right\|_p.$$

          证明. 对于$\xi\neq0$, 由于$\eta(0)=0$, 注意到$$
    \begin{aligned}
    \sum_{j\in\mathbb{Z}}|\eta(\xi/2^j)|^2&=\sum_{2^j<|\xi|}+\sum_{2^j\geq|\xi|}\\
    & \\
    &\leq C\sum_{2^j<|\xi|}\langle\xi/2^j\rangle^{-1}+\sum_{2^j\geq|\xi|}\sup|\nabla\eta|\cdot|\xi/2^j|
    \leq C'.
    \end{aligned}$$
          先来看定理中的第一个不等式. 当$p=2$时, 取平方并积分, 用 Plancherel 定理即得$$
    \left\|\left(\sum_{j\in\mathbb{Z}}|Q_jf|^2\right)^{1/2}\right\|^2_2=\int_{\mathbb{R}^n}\sum_{j\in\mathbb{Z}}|\eta(\xi/2^j)|^2|\hat{f}(\xi)|^2d\xi\leq C'\|f\|^2_2.
    $$当$p\neq2$时, 改变视角, 考虑如下的算子$T$: $$
    T:L^2(\mathbb{R}^n;\mathbb{C})\to L^2(\mathbb{R}^n;l^2),\,Tf(x)=[Q_jf(x)]_{j\in\mathbb{Z}}.
    $$也就是在关于向量值奇异积分的一般讨论 (奇异积分算子 第五节) 中取$\mathfrak{A}=\mathbb{C}$, $\mathfrak{B}=l^2$. 容易看出$T$实际上可以表示为向量值的卷积算子, 其积分核为$$
    K(x-y):=[2^j\check{\eta}(2^j(x-y))]_{j\in\mathbb{Z}},\,K(x-y)f(y)=[2^{nj}\check{\eta}(2^j(x-y))f(y)]_{j\in\mathbb{Z}}.
    $$这样, 为了应用定理 5.1., 只需要验证积分核适合 Hörmander 条件. 由于$\check{\eta}$是 Schwartz 函数, 所以对于$x\neq0$有$$
    \begin{aligned}
    \|\nabla K(x)\|^2_{\mathbb{C}\to l^2}&=\sum_{j\in\mathbb{Z}}2^{2(n+1)j}|(\nabla\check{\eta})(2^jx)|^2\\
    &=\sum_{2^j<1/|x|}+\sum_{2^j\geq1/|x|}\\
    &\leq \sum_{2^j<1/|x|}2^{2(n+1)j}\sup_{|y|\leq1}|\nabla\check{\eta}(y)|^2+C\sum_{2^j\geq1/|x|}2^{2(n+1)j}\langle 2^jx\rangle^{-4(n+1)}\\
    & \\
    &\leq C|x|^{-2(n+1)},
    \end{aligned}
    $$或者$\|\nabla K(x)\|_{\mathbb{C}\to l^2}\leq C/|x|^{n+1}$. 这显然比 Hörmander 条件还强. 由此得到对于一切$p\in(1,\infty)$的正向不等式.

          为了证明第二个不等式, 只需要再度应用对偶推理. 又因为右端的算子是$L^p$有界的, 故只需要对$f$是 Schwartz 函数的情形来证明就够了. 取任意一个 Schwartz 函数$g$. 如果是条件$\sum_{j\in\mathbb{Z}}|\eta(\xi/2^j)|^2=1\,\forall\xi\neq0$, 则$$
    \begin{aligned}
    |\langle f,\bar g\rangle|&=\left|\left\langle \sum_{j\in\mathbb{Z}}\bar Q_jQ_jf,\bar g\right\rangle\right|\\
    &\leq\sum_{j\in\mathbb{Z}}\left|\left\langle Q_jf,\overline{Q_jg}\right\rangle\right|
    \leq
    \int_{\mathbb{R}^n}\sum_{j\in\mathbb{Z}}|Q_jf|\cdot|\overline{Q_jg}|\\
    &\leq \int_{\mathbb{R}^n}\left(\sum_{j\in\mathbb{Z}}|Q_jf|^2\right)^{1/2}\left(\sum_{j\in\mathbb{Z}}|\overline{Q_jg}|^2\right)^{1/2}\\
    &\leq \left\|\left(\sum_{j\in\mathbb{Z}}|Q_jf|^2\right)^{1/2}\right\|_p
    \left\|\left(\sum_{j\in\mathbb{Z}}|\overline{Q_jg}|^2\right)^{1/2}\right\|_{p'}\\
    &\leq C_{p'}\left\|\left(\sum_{j\in\mathbb{Z}}|Q_jf|^2\right)^{1/2}\right\|_p\|\bar g\|_{p'}.
    \end{aligned}
    $$让$g$跑遍所有的 Schwartz 函数就得到反向的不等式了. 如果是条件$\sum_{j\in\mathbb{Z}}\eta(\xi/2^j)=1\,\forall\xi\neq0$, 则
    $$
    \begin{aligned}
    |\langle f,\bar g\rangle|&=\left|\left\langle \sum_{j\in\mathbb{Z}}Q_jf,\sum_{k\in\mathbb{Z}}Q_k\bar g\right\rangle\right|
    \leq\sum_{j\in\mathbb{Z}}\sum_{k\in\mathbb{Z}}\left| \left\langle Q_jf,Q_k\bar g\right\rangle \right|\\
    &\leq\sum_{j\in\mathbb{Z}}\sum_{k:|k-j|\leq1}\left|\left\langle Q_jf,Q_k\bar g\right\rangle\right|
    \leq
    \int_{\mathbb{R}^n}\sum_{j\in\mathbb{Z}}\sum_{k:|k-j|\leq1}\left|Q_jfQ_k\bar g\right|\\
    &\leq 3
    \int_{\mathbb{R}^n}\left(\sum_{j\in\mathbb{Z}}|Q_jf|^2\right)^{1/2}\left(\sum_{k\in\mathbb{Z}}|Q_k\bar g|^2\right)^{1/2}\\
    &\leq 3\left\|\left(\sum_{j\in\mathbb{Z}}|Q_jf|^2\right)^{1/2}\right\|_p
    \left\|\left(\sum_{k\in\mathbb{Z}}|{Q_k\bar g}|^2\right)^{1/2}\right\|_{p'}\\
    &\leq C_{p'}\left\|\left(\sum_{j\in\mathbb{Z}}|Q_jf|^2\right)^{1/2}\right\|_p\|\bar g\|_{p'}.
    \end{aligned}
    $$让$g$跑遍所有的 Schwartz 函数就得到反向的不等式了. Q. E. D.

          在能够实现逆向不等式的条件下, 对于任何 Schwartz 分布$f$, $f-\sum_{k\in\mathbb{Z}}Q_kf$的 Fourier 变换的支集都是$\{0\}$, 所以它是个多项式. 重复上面的证明, 可见如果$\left(\sum_{j\in\mathbb{Z}}|Q_jf|^2\right)^{1/2}\in L^p$, 则存在一多项式$J$使得$$
    \|f-J\|_p\leq c_p\left\|\left(\sum_{j\in\mathbb{Z}}|Q_jf|^2\right)^{1/2}\right\|_p.
    $$显然 Littlewood-Paley 定理用 Fourier 变换刻画了$L^p$空间. 这是非常有用的.

          以此为基础, 便可以证明二进方体的 Littlewood-Paley 定理:

          定理 1.2. 对$j\in\mathbb{Z}$, 定义二进区间: $I_j=(-2^{j+1},-2^j]\cup[2^j,2^{j+1})$. 对$\mathbf{j}=(j_1,...,j_n)\in\mathbb{Z}^n$, 命$R_\mathbf{j}=I_{j_1}\times...\times I_{j_n}$, $S_\mathbf{j}f:=(\chi_{R_\mathbf{j}}\hat f)^\vee$. 则$$
    c_p\|f\|_{L^p}\leq\left\|\left(\sum_{\mathbf{j}\in\mathbb{Z}^n}|S_\mathbf{j}f|^2\right)^{1/2}\right\|_{L^p}\leq C_p\|f\|_{L^p}.
    $$

          证明. 由于$S_\mathbf{j}$是有界自伴的投影, 故应用对偶推理, 显然只需要证明右半边不等式. 对于一维情形, 在定理 1.1. 中选取$\eta$为在区间$(-2,-1]\cup[1,2)$上等于 1, 在原点某邻域等于零的紧支光滑函数, 则$R_jf=R_j(Q_jf)$, 于是根据部分和算子的估计 (见 奇异积分算子 第五节), $$
    \begin{aligned}
    \left\|\left(\sum_{j\in\mathbb{Z}}|R_jf|^2\right)^{1/2}\right\|_{L^p}
    &=\left\|\left(\sum_{j\in\mathbb{Z}}|R_j(Q_jf)|^2\right)^{1/2}\right\|_{L^p}\\
    &\leq C\left\|\left(\sum_{j\in\mathbb{Z}}|Q_jf|^2\right)^{1/2}\right\|_{L^p}\\
    & \\
    &\leq C\|f\|_{L^p}.
    \end{aligned}
    $$由$S_\mathbf{j}=S_{j_1}...S_{j_n}$, 可见例如在二维情形有$$
    \begin{aligned}
    \int_{\mathbb{R}^2}&\left(\sum_{(j_1,j_2)\in\mathbb{Z}^2}|S_{j_1}S_{j_2}f(x_1,x_2)|^2\right)^{p/2}dx_1dx_2\\
    &=\int_{\mathbb{R}}\left[\int_{\mathbb{R}}\left(\sum_{j_1\in\mathbb{Z}}\sum_{j_2\in\mathbb{Z}}|S_{j_1}S_{j_2}f(x_1,x_2)|^2\right)^{p/2}dx_1\right]dx_2\\
    &\leq C_p\int_{\mathbb{R}}\left[\int_{\mathbb{R}}\left(\sum_{j_2\in\mathbb{Z}}|S_{j_2}f(x_1,x_2)|^2\right)^{p/2}dx_1\right]dx_2\\
    & \\
    &\leq...
    \end{aligned}
    $$也就是说高维情形可以通过 Fubini 定理约化到一维情形. Q. E. D.

          二进方体的 Littlewood-Paley 定理可以用来估计二进极大算子.

          推论 1.3. 设$m$在原点附近连续可微, $|\xi|\to\infty$时$m(\xi)=O(|\xi|^{-\epsilon})$. 命$T_kf:=(m(\xi/2^k)\hat f(\xi))^\vee$. 则有估计$\|\sup_{k\in\mathbb{Z}}|T_kf|\|_{L^2}\leq C_n\|f\|_{L^2}$. 如果$m=\chi_Q$, 其中$Q$是内含原点的方体, 那么更有$\|\sup_{k\in\mathbb{Z}}|T_kf|\|_{L^p}\leq C_{n,p}\|f\|_{L^p}$.

          证明. 对于 Schwartz 函数$\eta$, 命$\eta_k(\xi)=\eta(\xi/2^k)$, 注意到$$
    \begin{aligned}
    \sup_{k}|T_kf|&\leq|T_kf-\check\eta_{k}*f|+\sup_k|\check\eta_{k}*f|\\
    &\leq\left(\sum_{k}|T_kf-\check\eta_{k}*f|^2\right)^{1/2}+Mf.
    \end{aligned}
    $$在第一种情形下, 命$\eta$适合$\eta(0)=m(0)$. 则根据条件有$\sum_k|m(\xi/2^k)-\eta(\xi/2^k)|^2\leq C$, 故由 Plancherel 定理, $$
    \left\|\left(\sum_{k}|T_kf-\check\eta_{k}*f|^2\right)^{1/2}\right\|_{L^2}\leq C\|f\|_{L^2}.
    $$在第二种情形下, 取$\theta$为在$\partial Q$附近等于 1, 在原点附近等于零的紧支光滑函数, 则$\eta:=(1-\theta)\chi_Q$是紧支光滑函数, 在原点附近等于 1 (比第一种情形的要求更精细). 显然$T_kf-\check\eta_{k}*f=(\chi_{2^kQ}\theta_k\hat f)^\vee$, 则根据部分和算子的估计和定理 1.1., 有$$
    \left\|\left(\sum_{k}|T_kf-\check\eta_{k}*f|^2\right)^{1/2}\right\|_{L^p}\leq\left\|\left(\sum_{k}|\check\theta_k*f|^2\right)^{1/2}\right\|_{L^p}\leq C\|f\|_{L^p}.
    $$再附加 Hardy-Littlewood 极大函数的性质即得结论. Q. E. D.

          特别地, 成立着下面缺项 (lacunary) 版本的 Carleson-Hunt 定理:

          设$U$是任何包含原点的有界开集, 则对于$f\in L^2$, 当$k\to\infty$时$(\chi_{2^k U}\hat f)^\vee$几乎处处收敛至$f$. 如果$U$是内含原点的方体, 则上述结论可以推广到$f\in L^p$, $1<p<\infty$.

          由于多面体的特征函数的乘子范数并不一致有界, 因此这个定理并不能推广至球体或者一般的凸多面体.

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    2. Mihlin-Hörmander 与 Marcinkiewicz 乘子定理

          Littlewood-Paley 理论可以被用来证明两个重要的乘子定理.

          定理 2.1. (Mihlin-Hörmander 乘子定理) 设整数$k=[n/2]+1$, $m\in C^k(\mathbb{R}^n\setminus\{0\})$. 假定$$
    \sum_{|\beta|\leq k}\sup_{R>0} R^{2|\beta|-n}\int_{R<|\xi|<2R}|\partial^\beta m(\xi)|^2d\xi=A<\infty.
    $$则对于$1<p<\infty$, $m$是$L^p$乘子.

          
          证明. 注意到条件显示$m$是有界的, 于是它是$L^2$乘子. 命$m_j=\psi_jm$, $K_j=\check m_j$. 考虑向量值的卷积算子$T:L^2(\mathbb{R}^n)\to L^2(\mathbb{R}^n;l^2)$, 定义为$$
    Tf(x)=[T_jf(x)]_{j\in\mathbb{Z}}=[(K_j*f)(x)]_{j\in\mathbb{Z}}.
    $$算子$T$积分核显然可以逐点表示为$l^2$的元素$\mathfrak{K}(x-y):=[K_j(x-y)]_{j\in\mathbb{Z}}$. 来验证它满足 Hörmander 条件. 对于长度不大于$k$的重指标$\gamma$, 有$$
    \begin{aligned}
    \int_{|x|>|y|}|K_j(x)|dx&\leq\left(\int_{|x|>|y|}|x|^{-2k}dx\right)^{1/2}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|x|^{2k}|K_j(x)|^2dx\right)^{1/2}\\
    &\leq C|y|^{n/2-k}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|\nabla^km_j(\xi)|^2d\xi\right)^{1/2}\\
    &\leq C\|\psi\|_{C^k}|y|^{n/2-k}\sum_{|\gamma+\delta|=k}
    2^{-|\delta| j}\left(\int_{2^{j}\leq|\xi|\leq2^{j+2}}|D^\gamma m(\xi)|^2d\xi\right)^{1/2}\\
    &\leq CA|y|^{n/2-k}\sum_{|\gamma+\delta|=k}2^{-|\delta| j}2^{(n/2-|\gamma|)j}\\
    &=CA|y|^{n/2-k}2^{(n/2-k)j}.
    \end{aligned}
    $$同样地有$$
    \int_{|x|>|y|}|\nabla K_j(x)|dx\leq CA|y|^{n/2-k}2^{(n/2-k+1)j}.
    $$于是$$
    \int_{|x|>2|y|}|K_j(x-y)-K_j(x)|dx\leq CA|y|^{n/2-k+1}2^{(n/2-k+1)j}.
    $$故可算出$$
    \begin{aligned}
    \int_{|x|>2|y|}&\|\mathfrak{K}(x-y)-\mathfrak{K}(x)\|_{l^2}dx\\
    &=\int_{|x|>2|y|}\left(\sum_{j\in\mathbb{Z}}|K_j(x-y)-K_j(x)|^2\right)^{1/2}dx\\
    &\leq\int_{|x|>2|y|}\sum_{j\in\mathbb{Z}}|K_j(x-y)-K_j(x)|dx\\
    &=\sum_{2^j<1/|y|}\int_{|x|>2|y|}+\sum_{2^j\geq1/|y|}\int_{|x|>2|y|}\\
    &\leq CA\sum_{2^j<1/|y|}|y|^{n/2-k}2^{(n/2-k)j}+CA\sum_{2^j\geq1/|y|}|y|^{n/2-k+1}2^{(n/2-k+1)j}\\
    &\leq CA.
    \end{aligned}
    $$从而算子$T:L^p(\mathbb{R}^n)\to L^p(\mathbb{R}^n;l^2)$. 由于$K_j*f=P_j(m\hat f)^\vee$, 故根据 Littlewood-Paley 定理, 这也就证明了所要的结论. Q. E. D.

          显然 Mihlin-Hörmander 乘子定理可以用来证明常系数椭圆微分算子的$L^p$估计.

          另一个乘子定理是 Marcinkiewicz 乘子定理.

          定理 2.1. 设$m$是$\mathbb{R}^n$上的有界连续函数, 满足如下条件: $$
    \sup_{1\leq k\leq n}\sup_{\substack{1\leq i_1<...<i_k\leq n \\(j_1,...,j_k)\in\mathbb{Z}^k }}\int_{I_{j_1}\times...\times I_{j_k}}\left|\frac{\partial^km}{\partial \xi^{i_1}...\partial\xi^{i_k}}\right|d\xi^{i_1}...d\xi^{i_k}\leq A<\infty,
    $$其中$I_{j}=(−2^{j+1},−2^j]∪[2^j,2^{j+1})$. 则对于$p\in(1,\infty)$, $m$是$L^p$乘子.

          证明. 为简便计, 只证明二维情形; 高维情形是完全类似的. 由于四个象限中的情况完全对称, 所以可以只考虑第一象限; 稍稍改变一下记号, 写$I_j=[2^j,2^{j+1})$. 这时的条件是$$
    \sup_{i\in\mathbb{Z}}\int_{I_i}\left|\frac{\partial m}{\partial\xi^1}\right|d\xi^1\leq A, \,\sup_{i\in\mathbb{Z}}\int_{I_i}\left|\frac{\partial m}{\partial\xi^2}\right|d\xi^2\leq A,
    $$ $$
    \sup_{i,j\in\mathbb{Z}}\int_{I_i}\int_{I_j}\left|\frac{\partial^2 m}{\partial\xi^1\partial\xi^2}\right|d\xi^1d\xi^2\leq A.
    $$固定$I_i\times I_j$, 设$\xi\in I_i\times I_j$, 命$T_{ij}f:=(m\chi_{I_j\times I_j}\hat f)^\vee$. 由于$T_{ij}f$的 Fourier 变换支撑在方体$I_i\times I_j$内, 由二进方体的 Littlewood-Paley 定理得$$
    \|Tf\|_{L^p}\leq C\left\|\left(\sum_{i,j\in\mathbb{Z}}|T_{ij}f|^2\right)^{1/2}\right\|_{L^p}.
    $$于是只需要估计$\left(\sum_{i,j\in\mathbb{Z}}|T_{ij}f|^2\right)^{1/2}$的$L^p$范数就够了.

          写$$
    \begin{aligned}
    m(\xi^1,\xi^2)&=\int_{2^i}^{\xi^1}\int_{2^j}^{\xi^2}\frac{\partial^2 m}{\partial t_1\partial t_2}(t_1,t_2)dt_1dt_2\\
    &\quad +\int_{2^i}^{\xi^1}\frac{\partial m}{\partial t_1}(t_1,2^j)dt_1+\int_{2^j}^{\xi^2}\frac{\partial m}{\partial t_2}(2^i,t_2)dt_2+m(2^i,2^j)
    \end{aligned}
    $$命$S^{k}_{i}f:=(\chi_{I_i}(\xi^k)\hat f(\xi))^\vee$, $S^k_{t_k,2^i}f=(\chi_{[t_k,2^i]}\hat f)^\vee$, 则显然$$
    \begin{aligned}
    T_{ij}f&=T_{ij}S^1_iS^2_jf\\
    &=\int_{I_i}\int_{I_j}\frac{\partial^2 m}{\partial t_1\partial t_2}(t_1,t_2)[S^1_{t_1,2^i}S^2_{t_2,2^j}S^1_iS^2_jf]dt_1dt_2\\
    &\quad+\int_{I_i}\frac{\partial m}{\partial t_1}(t_1,2^j)[S^1_{t_1,2^i}S^1_iS^2_jf]dt_1+\int_{I_j}\frac{\partial m}{\partial t_2}(2^i,t_2)[S^2_{t_2,2^j}S^1_iS^2_jf]dt_2\\
    & \\
    &\quad+m(2^i,2^j)[S^1_iS^2_jf].
    \end{aligned}
    $$于是利用 Cauchy-Schwarz 不等式 (关于正测度$|\partial m/\partial...|dt$) 得到$$
    \begin{aligned}
    \sum_{i,j\in\mathbb{Z}}&|T_{ij}S^1_iS^2_jf|^2\\
    &\leq CA\sum_{i,j\in\mathbb{Z}}\int_{I_i}\int_{I_j}\left|\frac{\partial^2 m}{\partial t_1\partial t_2}(t_1,t_2)\right|\cdot|S^1_{t_1,2^i}S^2_{t_2,2^j}S^1_iS^2_jf|^2dt_1dt_2\\
    &\quad+CA\sum_{i,j\in\mathbb{Z}}\int_{I_i}\left|\frac{\partial m}{\partial t_1}(t_1,t_2)\right|\cdot|S^1_{t_1,2^i}S^1_iS^2_jf|^2dt_1\\
    &\quad+CA\sum_{i,j\in\mathbb{Z}}\int_{I_j}\left|\frac{\partial m}{\partial t_2}(2^i,t_2)\right|\cdot|S^2_{t_2,2^j}S^1_iS^2_jf|^2dt_2\\
    &\quad+CA\sum_{i,j\in\mathbb{Z}}|S^1_iS^2_jf|^2.
    \end{aligned}
    $$上式右端四个求和项的估计完全类似, 兹以第一个为例. 引用向量值部分和算子的估计: 在 奇异积分算子 第五节定理 5.2. 中取$\Gamma$为第一象限与$\mathbb{Z}^2$的直积, 对于$\gamma=(t,i,j)$, 定义$f_\gamma:=S^1_iS^2_jf$ (与$t$无关); 测度$$d\mu(\gamma)
    =\chi_{I_i\times I_j}(t)\left|\frac{\partial^2 m}{\partial t_1\partial t_2}(t_1,t_2)\right|dt_1dt_2\otimes 1_{ij},
    $$其中$1_{ij}$是$\mathbb{Z}^2$上的计数测度. 当$t\in I_i\times I_j$时定义$I_\gamma:=(t_1,2^{i+1}]\times(t_2,2^{j+1}]$, 否则定义为空集. 利用向量值部分和算子的估计和二进方体的 Littlewood-Paley 定理, 得到$$
    \begin{aligned}
    &\left\|\left(\sum_{i,j\in\mathbb{Z}}\int_{I_i}\int_{I_j}\left|\frac{\partial^2 m}{\partial t_1\partial t_2}(t_1,t_2)\right|\cdot|S^1_{t_1,2^i}S^2_{t_2,2^j}S^1_iS^2_jf(x)|^2dt_1dt_2\right)^{1/2}\right\|_{L_x^p}\\
    &\quad=\left\|\left(\int_{\Gamma}|S_{I_\gamma}f_\gamma(x)|^2d\mu(\gamma)\right)^{1/2}\right\|_{L_x^p}\\
    &\quad\leq C\left\|\int_{\mathbb{R}^2}\left(\int_{\Gamma}|f_\gamma(x)|^2d\mu(\gamma)\right)^{1/2}\right\|_{L^p_x}\\
    &\quad=C\left\|\left(\sum_{i,j\in\mathbb{Z}}\int_{I_i}\int_{I_j}\left|\frac{\partial^2 m}{\partial t_1\partial t_2}(t_1,t_2)\right|\cdot|S^1_iS^2_jf(x)|^2dt_1dt_2\right)^{1/2}\right\|_{L^p_x}\\
    &\quad\leq CA\left\|\left(\sum_{i,j\in\mathbb{Z}}|S^1_iS^2_jf(x)|^2\right)^{1/2}\right\|_{L^p_x}\\
    & \\
    &\quad\leq CA\|f\|_{L^p}.
    \end{aligned}
    $$其它三个和式的估计是一样的. Q. E. D.

          Marcinkiewicz 乘子定理可以用来导出齐次型乘子 (即满足$m(r_1\xi^1,...,r_n\xi^n)=m(\xi)$的乘子$m$) 的$L^p$估计. 一个典型的例子是相应于热方程的乘子$$
    m(\tau,\xi)=\frac{(\tau,\xi\otimes\xi)}{i\tau-|\xi|^2};
    $$它满足$m(r^2\tau,r\xi)=m(\tau,\xi)$. 由此立即得出热方程的$L^p$估计.

          在一维情形 Mihlin-Hörmander 乘子定理比 Marcinkiewicz 乘子定理要弱, 但在高维情形, 两者没有强弱之分.

  3. 3月前DTSIo 重新编辑

    3. Bochner-Riesz 乘子; "粗糙的"奇异积分算子

          从某些方面来说, Mihlin-Hörmander 与 Marcinkiewicz 乘子定理并不令人满意: 它们对乘子本身的正则性要求较高. Calderón-Zygmund 奇异积分算子的经典理论也有类似的问题: 它对奇异积分核的正则性要求较高. 然而借助于二进分解方法, 却可以得到一些对正则性要求很低的结论.

          第一个结论是关于 Bochner-Riesz 乘子的. 指数为$a>0$的 Bochner-Riesz 乘子$T^a$定义为$T^af=((1-|\xi|^2)_+^a\hat f(\xi))$. 显然这个乘子函数仅仅是 Lipschitz 连续的. 利用 Bessel 函数, 容易将它表示为卷积算子, 其核为 $$
    K^a(x)=\Gamma(1+a)|x|^{-n/2-a}J_{n/2+a}(|x|).
    $$卷积核的正则性当然很高 (因为乘子函数本身是紧支的), 可是衰减性却不很好: 根据 Bessel 函数的渐近公式, 当$|x|$很大时, 估计$K^a(x)=O(|x|^{-(n+1)/2-a})$已经是最优的了. 如果$a\geq(n-1)/2$, 那么 Calderón-Zygmund 理论显示$\|T^af\|_{L^p}\leq C_p\|f\|_{L^p}$, $1<p<\infty$. 但对于较小的$a$, 则需要借助二进分解来研究这个乘子. 有如下定理:

          定理 3.1. 如果$a>(n-1)/2$, 则$T^a$是$L^p$乘子, 其中$1\leq p\leq\infty$. 如果$0<a\leq (n-1)/2$, 则当$$
    \left|\frac{1}{p}-\frac{1}{2}\right|<\frac{a}{n-1}
    $$时$T^a$是$L^p$乘子; 当$$
    \left|\frac{1}{p}-\frac{1}{2}\right|\geq\frac{2a+1}{2n}
    $$时$T^a$不是$L^p$乘子.

          证明. 因为乘子$((1-|\xi|^2)_+^a$的奇异支集是单位圆周, 所以要考虑的二进分解集中在单位圆周附近. 具体说来, 就像 Littlewood-Paley 分解那样取一族$\mathbb{R}^n$上的径向紧支光滑函数$\{\zeta_k\}$, 使得$0\leq\zeta\leq1$, $\sum_{k=1}^\infty\zeta_k(\xi)=1$对$|\xi|\in[1/2,1]$成立, 且$\text{supp}\zeta_k\subset(1-2^{-k+1},1-2^{-k-1})$. 正如 Littlewood-Paley 分解那样, 可设个$\zeta_k$都是$\zeta_1$经过比例为$2^{k}$的尺度变换得到的; 则$|D^\beta\phi_k|\leq C_\beta2^{|\beta|k}.$ 又命$\zeta_0=1-\sum_{k=1}^\infty\zeta_k$, 则$\zeta_0$的支集在$B(0,1/2)$内. 写$$
    (1-|\xi|^2)_+^a=\sum_{k=0}^\infty(1-|\xi|^2)_+^a\zeta_k(\xi).
    $$由于当$\xi$在$\zeta_k$的支集内时$(1-|\xi|^2)\sim 2^{-k}$, 故定义$\lambda_k(\xi):=2^{ka}(1-|\xi|^2)_+^a\zeta_k(\xi)$; 于是命$T_k$为相应于$\lambda_k$的乘子, 并写$$
    (1-|\xi|^2)_+^a=\sum_{k=0}^\infty2^{-ka}\lambda_k(\xi),\,T^a=\sum_{k=0}^\infty2^{-ka}T_k.
    $$注意到$0\leq\lambda_k\leq1$, 而立得$$
    \|\langle D\rangle^s\lambda_k\|_{L^2}\leq C2^{k(s+1/2)}.
    $$命$s=n/2+\epsilon$, 则根据 Cauchy-Schwartz 不等式和 Plancherel 定理立得$$
    \|\check\lambda_k\|_{L^1}\leq C_\epsilon2^{k((n-1)/2+\epsilon)}.
    $$利用卷积的 Young 不等式并在$L^1,L^2,L^\infty$之间插值即得$$
    \|T_kf\|_{L^p}\leq C_\epsilon2^{k(n-1+2\epsilon)|1/p-1/2|}\|f\|_{L^p}.
    $$于是$$
    \|T^af\|_{L^p}\leq\sum_{k=0}^\infty2^{-ka}\|T_kf\|_{L^p}\leq C_\epsilon2^{k(n-1+2\epsilon)|1/p-1/2|-ka}\|f\|_{L^p}.
    $$由此立刻看出$a\geq(n-1)/2$时的结论.

          在$0<a<(n-1)/2$时, 设$T^a$对于某个$p$在$L^p$上有界, 则取 Schwartz 函数$f$使得$\hat f$在$B(0,2)$上等于 1 且具有紧支集; 则$$
    [(1-|\xi|^2)_+^a\hat f(\xi)]^\vee=[(1-|\xi|^2)_+^a]^\vee=K^a\in L^p.$$
    但根据渐近公式, 如果$$
    \left|\frac{1}{p}-\frac{1}{2}\right|\geq\frac{2a+1}{2n},
    $$那就决不可能有$K^a\in L^p$. Q. E. D.

          接下来的定理描述的是具有"粗糙的"核函数的奇异积分算子:

          定理 3.2. 设$\mu$是$\mathbb{R}^n$上有限的紧支 Borel 测度, 对于某个$a>0$满足$$
    \mu(\mathbb{R}^n)=0,\,\hat\mu(\xi)=O(|\xi|^{-a}),\,|\xi|\to\infty.
    $$定义测度$\mu_j:=[\hat\mu(2^{j}\xi)]^\vee$. 则算子$$
    f\to Tf:=\sum_{j\in\mathbb{Z}}\mu_j*f
    $$对于$1<p<\infty$是$L^p$有界的.

          证明. 不妨设$0<a\leq1$, $\text{supp}\mu\subset B(0,1)$. 首先注意到$|\hat\mu(\xi)|\leq C\min(|\xi|^{-a},|\xi|)$. 将每一个$\mu_j$做 Littlewood-Paley 分解: $\mu_j=\sum_{k\in\mathbb{Z}}P_{k+j}\mu_j$. 因为$\hat\mu_j$是实解析的, 所以这个分解确实在分布的意义下成立. 将算子$T$进行分解如下: $$
    Tf=\sum_{j,k\in\mathbb{Z}}(P_{j+k}\mu_j)*f=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\left(\sum_{j\in\mathbb{Z}}P_{j+k}\mu_j\right)*f=:\sum_{k\in\mathbb{Z}}T_kf.
    $$将要证明每一个$T_k$都可以使用标准的 Calderón-Zygmund 理论来控制.
          
          首先来看$\|T_kf\|_{L^2}$: 由 Plancherel 定理和几乎正交性, $$
    \begin{aligned}
    \|T_kf\|_{L^2}^2&=\int_{\mathbb{R}^n}\left|\sum_{j\in\mathbb{Z}}\psi_{j+k}\hat\mu_j\right|^2|\hat f|^2d\xi\\
    &\leq\int_{\mathbb{R}^n}\sum_{j\in\mathbb{Z}}\sum_{|l-j|\leq1}|\psi_{j+k}\psi_{l+k}||\hat\mu_j\hat\mu_l||\hat f|^2d\xi\\
    &\leq C\sum_{j\in\mathbb{Z}}\int_{|\xi|\sim2^{j+k}}\min(2^{-2ak},2^{2k})|\hat f(\xi)|^2d\xi\\
    &\leq C\sum_{j\in\mathbb{Z}}2^{-2a|k|}\int_{|\xi|\sim2^{j+k}}|\hat f(\xi)|^2d\xi\\
    &\leq C2^{-2a|k|}\|f\|_{L^2}^2.
    \end{aligned}
    $$而后来看$\|T_kf\|_{L^{1,\infty}}$. 来证明积分核$\sum_{j\in\mathbb{Z}}P_{j+k}\mu_j$适合 Hörmander 条件. 实际上, $$
    \begin{aligned}
    \int_{|x|>2|y|}&\left|\sum_{j\in\mathbb{Z}}P_{j+k}\mu_j(x-y)-P_{j+k}\mu_j(x)\right|dx\\
    &\leq \sum_{j\in\mathbb{Z}}\int_{|x|>2^{1-j}|y|}|P_k\mu(x-2^{-j}y)-P_k\mu(x)|dx\\
    &= \sum_{j\in\mathbb{Z}}\int_{|x|>2^{1-j}|y|}|(\psi_k*\mu)(x-2^{-j}y)-(\psi_k*\mu)(x)|dx\\
    &=:\sum_{j\in\mathbb{Z}}I_j(y).
    \end{aligned}
    $$注意到这个和式在尺度变换$y\to2y$之下是不变的如下的, 因为$I_j(2y)=I_{j-1}(y)$, 于是不妨假定$1/4\leq|y|\leq1/2$. 如下估计都是明显的: $$
    \begin{aligned}
    I_j(y)&\leq \int_{\mathbb{R}_z^n}\int_{\mathbb{R}_x^n}|\psi_k(x-2^{-j}y-z)-\psi_k(x-z)|dxd|\mu|(z)\\
    &\leq C\|\mu\|\min\left(2^{k-j},1\right);
    \end{aligned}
    $$如果$j<0$, 则对于$|z|<1$和$|x|>2^{k-j}$, 有$|x-2^{k-j}y-2^kz|\geq2^{k-j-2}$, 故$$
    \begin{aligned}
    I_j(y)&\leq \int_{|z|<1}\int_{|x|>2^{k-j}}(|\psi(x-2^{k-j}y-2^kz)|+|\psi(x-2^kz)|)dxd|\mu|(z)\\
    &\leq 2\|\mu\|\int_{|x|>2^{k-j-2}}|\psi(x)|dx\\
    &\leq C\|\mu\|2^{j-k}.
    \end{aligned}
    $$综合起来, $I_j(y)\leq C\min(1,2^{k-j},2^{j-k})$, 于是若$k\leq0$, 则$$
    \sum_{j\in\mathbb{Z}}I_j(y)\leq C\sum_{j\leq k}2^{j-k}+C\sum_{j>k}2^{k-j}\leq C;
    $$若$k>0$, 则$$
    \sum_{j\in\mathbb{Z}}I_j(y)\leq C\sum_{j\leq 0}2^{j-k}+C\sum_{j=1}^k1+\sum_{j>k}2^{k-j}\leq C(1+k).
    $$于是最终得到$$
    \int_{|x|>2|y|}\left|\sum_{j\in\mathbb{Z}}P_{j+k}\mu_j(x-y)-P_{j+k}\mu_j(x)\right|dx\leq C(1+|k|).
    $$根据标准的 Calderón-Zygmund 理论得到$\|T_kf\|_{L^{1,\infty}}\leq C(1+|k|)\|f\|_{L^1}$. 于是利用插值即可看出$$
    \|T_kf\|_{L^p}\leq C_p2^{-2a\theta|k|}(1+|k|)^{1-\theta}\|f\|_{L^p},\,\frac{1}{p}=\frac{\theta}{2}+1-\theta;
    $$对$k$求和并利用对偶推理即得到对一切$p\in(1,\infty)$的结论. Q. E. D.

          一个直接的应用是取$d\mu(x)=\Omega(x)/|x|^n\chi_{1\leq|x|<2}dx$, 其中$\Omega$是$S^{n-1}$上的零均值偶函数. 如果$\Omega\in L^q(S^{n-1})$, $q>1$, 那么$\hat\mu(\xi)=O(|\xi|^{-1/(2q')})$. 这样, 通过 Littlewood-Paley 理论, 可以在较强的假设下 (显然比$L\log L$强) 得到齐次奇异积分算子的强$(p,p)$型不等式的一个较简洁的证明.

  4. 3月前DTSIo 重新编辑

    4. Sobolev 空间: 基本结论

          Sobolev 空间是非常重要的函数空间.

          对于$s\in\mathbb{R}$, $p\in(1,\infty)$, $\mathbb{R}^n$上的非齐次 Sobolev 空间是满足$\langle D\rangle^s f\in L^p(\mathbb{R}^n)$的 Schwartz 分布$f$组成的线性空间, 记作$L^p_s(\mathbb{R}^n)$, $H^{s,p}(\mathbb{R}^n)$或$W^{s,p}(\mathbb{R}^n)$. 齐次 Sobolev 空间是满足$|D|^s f\in L^p(\mathbb{R}^n)$的 Schwartz 分布$f$组成的线性空间, 记作$\dot L^p_s(\mathbb{R}^n)$, $\dot H^{s,p}(\mathbb{R}^n)$或$\dot W^{s,p}(\mathbb{R}^n)$; 由于$|\xi|^s$在原点处有奇异性, 故齐次的 Sobolev 空间是在模去多项式的意义下定义的.

          如果$s$是正整数, 那么$L_s^p(\mathbb{R}^n)$与通常的利用广义导数定义的 Sobolev 空间是重合的: 对于长度不大于$s$的重指标$\alpha$, $$
    [D^\alpha f]^\wedge(\xi)=(i\xi)^\alpha\hat f(\xi)=\frac{(i\xi)^\alpha}{\langle\xi\rangle^s}\cdot\langle\xi\rangle^s\hat f(\xi).
    $$如果$f\in L_s^p(\mathbb{R}^n)$, 根据 Hörmander 乘子定理, 当然有$D^\alpha f\in L^p$; 反过来, 容易写出$$
    \langle\xi\rangle^s=\frac{\langle\xi\rangle^{2s}}{\langle\xi\rangle^s}=\sum_{|\alpha|\leq s}c_\alpha\frac{\xi^\alpha}{\langle\xi\rangle^{s}}\cdot \xi^\alpha,
    $$如果对所有长度不大于$s$的重指标$\alpha$都有$D^\alpha f\in L^p$, 那么仍旧根据 Hörmander 乘子定理可得$\langle D\rangle^sf\in L^p$.

          更一般地, 对于任何实数$s$, 都可以得出$L^p_s\subset L^p_\sigma$, $\sigma<s$; 如果$s>0$, $0\leq\sigma\leq s$, 则 Hörmander 乘子定理显示函数${|\xi|^\sigma}/{\langle\xi\rangle^s}$是$L^p$乘子. 于是若$0\leq\sigma\leq s$, 则$L^p_s\subset \dot{L}^p_\sigma$. 特别地, 有如下的范数等价: $$
    \|(1+|D|^s)f\|_{L^p}\sim\|f\|_{L^p_s}.$$

          Sobolev 空间当然与势论有密切的关系. 固定$0<s\leq n$, 则熟知$(|\xi|^s)^\vee(x)=C_s|x|^{s-n}$; 利用恒等式$$
    \langle\xi\rangle^{-s}=\frac{1}{\Gamma(s/2)}\int_0^\infty e^{-t(1+|\xi|^2)}t^{s/2-1}dt,
    $$则可得$$
    G_s(x):=(\langle\xi\rangle^{-s})^\vee(x)= C_s\int_0^\infty e^{-t-|x|^2/4t}t^{(s-n)/2-1}dt.
    $$这个等式对一切$s>0$都有意义. 于是$(\langle\xi\rangle^s)^\vee$也总是正的, 在$x\neq0$时是光滑的偶函数; 利用渐近展开作估计, 还可以进一步知道, 如果$|x|>1$, 则$|G_s(x)|$及其各阶导数都按指数规律衰减, 而如果$|x|\leq1$, 则当$s<n$时$|G_s(x)|\leq C_s|x|^{s-n}$, $s=n$时$|G_s(x)|\leq C_s\log|x|^{-1}$, $s>n$时$G_s(x)=O(1)$. 定义 Riesz 势算子$I_s$和 Bessel 势算子$J_s$如下: $$
    (I_sf)(x):=|D|^{-s}f(x)=\int_{\mathbb{R}}\frac{f(y)}{|y-x|^{n-s}}dy,$$ $$
    (J_sf)(x):=\langle D\rangle^{-s}f(x)=\int_{\mathbb{R}}f(y)G_s(y-x)dy.
    $$由此显然有$L_s^p=J_s[L^p]$. 由于$G_s$的特性, 容易看出$|J_sf|\leq C_sI_s(|f|)$. 进行 Taylor 展开又可以得到$$
    \left[\frac{|\xi|^s}{\langle\xi\rangle^s}\right]^\vee(x)=\delta(x)+\left(\sum_{k=1}^\infty\binom sk G_{2k}(x)\right)dx,\,s>0.
    $$即乘子${|\xi|^s}/{\langle\xi\rangle^s}$实际上是一个正 Borel 测度的 Fourier 变换. 又有如下的定理:

           定理 4.1. 对于$0<s<n$, $p\in(1,\infty)$, 若$sp<n$, 则有 Hardy-Littlewood-Sobolev (HLS) 不等式$$
    \|I_sf\|_{q}\leq C_{s,n,p}\|f\|_p,\,q=\frac{np}{n-sp}.
    $$
    若$sp=n$, 则$$
    [|I_s f|]_{BMO}\leq C\|f\|_p;
    $$若$n<sp<n+p$, 则$$
    [|I_sf|]_{\gamma}\leq C\|f\|_p,\,\gamma=s-\frac{p}{n}.
    $$

          证明. (1) 当$sp<n$时, 将积分分解为$|y-x|>\delta$和$|y-x|\leq\delta$两部分. 对第一部分应用指标为$p,p'$的 Hölder 不等式得$$
    \left|\int_{|y-x|>\delta}\frac{f(y)}{|y-x|^{n-s}}dy\right|\leq C_{s,n,p}\|f\|_p\delta^{-n/p+s};
    $$而第二部分则可估算为$$
    \begin{aligned}
    \left|\int_{|y-x|\leq\delta}\frac{f(y)}{|y-x|^{n-s}}dy\right|
    &\leq\sum_{k=0}^\infty\int_{2^{-(k+1)}\delta\leq|y-x|\leq 2^{-k}\delta}\frac{|f(y)|}{|y-x|^{n-s}}dy\\
    &\leq C\sum_{k=0}^\infty\frac{2^{-ks}\delta^s}{(2^{-k}\delta)^n}\int_{|y-x|\leq 2^{-k}\delta}|f(y)|dy \\
    &\leq C_{s,n}\delta^sMf(x).
    \end{aligned}
    $$取$\delta=\|f\|_p^{p/n}Mf(x)^{-p/n}$得$$
    |(I_sf)(x)|\leq C_{s,n,p}\|f\|_{p}^{1-p(1/p-s/n)}Mf(x)^{p(1/p-s/n)}.$$由于$1/q=1/p-s/n$, 故根据 Hardy-Littlewood 极大函数的强$(p,p)$性质即得$\|I_sf\|_{q}\leq C_{s,p}\|f\|_p$.

          (2) 当$sp=n$时, 证明与验证奇异积分算子的相应性质很接近. 首先要明确$I_sf$的含义. 设$f\in L^{n/s}$. 对于任何一个中心在原点的方体$Q$, 命$Q^*$是其二倍扩张, 又命$$
    I_{s;Q}f(x):=I_s(f\chi_{Q^*})(x)+\int_{\mathbb{R}^n\setminus Q^*}\left[\frac{1}{|y-x|^{n-s}}-\frac{1}{|y|^{n-s}}\right]f(1-\chi_{Q^*})(y)dy.
    $$易见后一积分收敛. 如果$Q'$是包含$Q$的中心在原点的方体, 则$I_{s;Q}f$同$I_{s;Q'}f$在$Q$上只差一常数. 从而上面的式子定义了$BMO$的一个元素.

          现在任取方体$Q$, 并作分解$f=f\chi_{Q^*}+(1-\chi_{Q^*})f=f_1+f_2$. 命$a=I_sf_2(c_Q)$. 在$Q$上$I_sf$可以被确定到相差一个常数加项. 任取$q<n/s$, 命$q^*=nq/(n-sq)$, 则$$
    \begin{aligned}
    \frac{1}{|Q|}&\int_Q|I_sf(x)-a|dx\\
    &\leq\frac{1}{|Q|}\int_Q|I_sf_1(x)|+\frac{1}{|Q|}\int_Q|I_sf_2(x)-I_sf_2(c_Q)|\\
    &\leq \frac{1}{|Q|^{1/q^*}}\|I_sf_1\|_{L^{q^*}}\\
    &\quad+\frac{1}{|Q|}\int_Qdx\int_{\mathbb{R}^n\setminus Q^*}\left|\frac{1}{|y-x|^{n-s}}-\frac{1}{|y-c_Q|^{n-s}}\right|\cdot|f(y)|dy\\
    &\leq \frac{C}{|Q|^{1/q^*}}\|f_1\|_{L^q}\\
    &\quad+\frac{\|f\|_{n/s}}{|Q|}\int_Q\left(\int_{\mathbb{R}^n\setminus Q^*}\left|\frac{1}{|y-x|^{n-s}}-\frac{1}{|y-c_Q|^{n-s}}\right|^{n/(n-s)}dy\right)^{1-s/n}dx\\
    &\leq \frac{C}{|Q|^{1/q^*}}\|f_1\|_{L^q}\\
    &\quad+C\cdot\frac{\|f\|_{n/s}}{|Q|}\int_Q\left(\int_{\mathbb{R}^n\setminus Q^*}\frac{1}{|y-c_Q|^{n+n/(n-s)}}dy\right)^{1-s/n}|x-c_Q|dx\\
    &\leq C\|f\|_{L^{n/s}}.
    \end{aligned}
    $$于是$[|I_sf|]_{BMO}\leq C\|f\|_{L^p}$.

          (3) 当$sp>n$时, 为了简洁, 只讨论$n/p<s<1+n/p$的情形; 一般情形可以通过研究导数而得到. 任取两点$x_1,x_2$, 命$x_0$为线段$[x_1,x_2]$的中点, $\delta=2|x_1-x_2|$. 写$$
    \begin{aligned}
    I_sf(x_1)&-I_sf(x_2)\\
    &=\int_{B(x_0,\delta)}\frac{f(y-x_1)-f(y-x_2)}{|y|^{n-s}}dy\\
    &\quad+\int_{|y-x_0|>\delta}\left[\frac{1}{|y-x_1|^{n-s}}-\frac{1}{|y-x_2|^{n-s}}\right]f(y)dy\\
    &=:J+L.
    \end{aligned}
    $$由初等几何, 容易看出, 对于$\alpha>0$, 函数$y\to|y|^{-\alpha}$在球$B(x_0,\delta)$的积分不大于在球$B(0,\delta)$上的积分. 对$J$应用指标为$p,p'$的 Hölder 不等式得$|J|\leq C_{s,n,p}\|f\|_p\delta^{s-n/p}$.又由有限增量定理知当$|y-x_0|>\delta$时$$
    \left|\frac{1}{|y-x_1|^{n-s}}-\frac{1}{|y-x_2|^{n-s}}\right|\leq \sup_{x'\in[x_1,x_2]}\frac{C|x_1-x_2|}{|y-x'|^{n-s+1}}\leq \frac{C\delta}{|y-x_0|^{n-s+1}}.
    $$对$L$应用指标为$p,p'$的 Hölder 不等式得$|L|\leq C_{s,n,p}\|f\|_p\delta^{s-n/p}$. 故$$
    |f(x_1)-f(x_2)|\leq|J|+|L|\leq C\|f\|_{p}|x_1-x_2|^{s-n/p},
    $$即$[|I_sf|]_{\gamma}\leq C\|f\|_p$. Q. E. D.

          注意, 在第三种情形中, 常数$C_{s,n,p}$在$s$接近于$1+n/p$时趋于无穷, 所以无法给出$s=1+n/p$时的 Lipschitz 连续性.

          由此定理可推出 Sobolev 嵌入定理:

          推论 4.2. Sobolev空间有如下的嵌入定理: 若$sp<n$, 则$$
    L^p_s(\mathbb{R}^n)\hookrightarrow L^{q}(\mathbb{R}^n),\,q=\frac{np}{n-sp};
    $$若$sp=n$, 则$$
    L^p_s(\mathbb{R}^n)\hookrightarrow BMO(\mathbb{R}^n);
    $$若$sp>n$, 则$$
    L^p_s(\mathbb{R}^n)\hookrightarrow C^\gamma(\mathbb{R}^n),\,\gamma=1-\frac{n}{sp}.
    $$

          证明. 第一种情形可以由$|J_sf|\leq C_sI_s(|f|)$得出. 对于后两种情形, 只需要将$G_s(x)$在原点附近展开成 Puiseux 级数$G_s(x)=\varphi(x)[c_1|x|^{-n+s}+...]$并逐项应用 Riesz 势的相关结果, 其中$\varphi$是原点附近的截断函数; 容易知道负幂项只有有限多个, 而余下的部分是光滑的, 且其各阶导数在无穷远处都指数衰减. Q. E. D.

          关于分数阶导数还有稍微精细一些的刻画. 设$0<s<n$, $\phi$是紧支光滑函数. 来研究$u(x)=|x|^s\phi(x)$的性质. 显然对于任何长度不超过$n$的重指标$\alpha$, $D^\alpha u(x)$在原点附近的奇异性都不超过$|x|^{s-n}$, 于是$u\in W^{n,p}$, 只要$p<n/(n-s)$. 但实际上能得到的比这更多. 由于$|x|^{s-n}\phi(x)\in L^1$, 故可见$\xi^\alpha\hat u(\xi)$有界, 于是对于大的$|\xi|$, $\hat u(\xi)=O(|\xi|^{-n})$; 进一步地, 容易看出$D^{\alpha}(|x|^{s})\phi(x)$的 Fourier 变换的性质相当于卷积$\check\phi*|\xi|^{-s}$, 但后者可以估计如下: 对于大的$\xi$, $$
    \begin{aligned}
    \int_{\mathbb{R}^n}\frac{\check\phi(\xi-\eta)}{|\eta|^s}d\eta&=\int_{|\eta|\leq|\xi|/2}+\int_{|\eta|>|\xi|/2}\\
    &\leq \sup_{|\eta|\leq|\xi|/2}\langle \xi-\eta\rangle^{-N}+\frac{2^s}{|\xi|^s}\int_{\mathbb{R}^n}\langle \xi-\eta\rangle^{-N}d\eta\\
    &=O(|\xi|^{-s}).
    \end{aligned}
    $$因此最终得到$\hat u(\xi)=O(|\xi|^{-n-s})$, 因而也就得到$\hat u\in L^1$. 将频域和时域对调一下即看出: 如果$\phi$是 Schwartz 函数, 则对于$0<s<n$, 有$|D|^s\phi\in L^1$.

  5. 3月前
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    5. 函数空间的 Littlewood-Paley 刻画

          Sobolev 空间和 Hölder 空间都有非常简洁的 Littlewood-Paley 刻画. 由 Littlewood-Paley 定理立即得到:

          定理 5.1. 设$s\in\mathbb{R}$, $1<p<\infty$. 对于非齐次 Sobolev 空间$L^p_s$, 有如下的范数等价:$$
    \|f\|_{L^p_s}\sim\left\|\left(|\phi(D)f|^2+\sum_{j\geq1}2^{2sj}|P_kf|^2\right)^{1/2}\right\|_p.
    $$对于齐次的 Sobolev 空间$\dot L^p_s$, 有如下的范数等价:$$
    \|f\|_{\dot L^p_s}\sim\left\|\left(\sum_{j\in\mathbb{Z}}2^{2sj}|P_kf|^2\right)^{1/2}\right\|_p.
    $$

          实际上还能得到一些更精细的结论: 设 Schwartz 函数$\eta$在原点的某邻域里等于零, 命$\eta_j(\xi)=\eta(\xi/2^j)$, 则根据 Littlewood-Paley 定理, 若$s\geq0$, 则$$
    \begin{aligned}
    &\left\|\left(\sum_{j\geq0}2^{2sj}|\eta_j(D)f|^2\right)^{1/2}\right\|_p\\
    &\quad\leq\left\|\left(\sum_{j\geq0}|\langle2^{-j}D\rangle^{-s}\eta_j(D)\langle D\rangle^sf|^2\right)^{1/2}\right\|_p\\
    &\quad\leq C\|\langle D\rangle^sf\|_{p}=\|f\|_{L^p_s}.
    \end{aligned}
    $$

          通过稍微精细一些的计算, 则可以得到:

          定理 5.2. 设$\gamma\in(0,1)$. 对于非齐次 Hölder 空间有如下的范数等价:$$
    \|f\|_{C^\gamma}\sim \|\phi(D)f\|_\infty+\sup_{j\geq1}2^{\gamma j}\|P_jf\|_\infty.
    $$对于齐次 Hölder 空间有如下的范数等价:$$
    \|f\|_{\dot C^\gamma}\sim \sup_{j\in\mathbb{Z}}2^{\gamma j}\|P_jf\|_\infty.
    $$

          证明. 只证明齐次情形, 非齐次情形是完全类似的. 如果$[|f|]_{\dot C^\gamma}<\infty$, 则$f$的增长不超过多项式, 故由$\int\check\psi=0$有$$
    P_jf(x)=\int_{\mathbb{R}^n}2^{nj}\check{\psi}(2^j(x-z))f(z)dz=\int_{\mathbb{R}^n}2^{nj}\check{\psi}(2^j(x-z))[f(z)-f(x)]dz.
    $$于是$$
    |P_jf(x)|\leq[|f|]_{\dot C^\gamma}\int_{\mathbb{R}^n}2^{nj}\check{\psi}(2^j(x-z))|x-z|^\gamma dz=C2^{-\gamma j}[|f|]_{\dot C^\gamma}.
    $$反过来, 设$\sup_{j\in\mathbb{Z}}2^{\gamma j}\|P_jf\|_\infty=A<\infty$. 任取整数$N<N'$, 可以对部分和$S_N^{N'}f:=\sum_{N\leq j\leq N'}P_jf$的连续模估计如下:$$
    \begin{aligned}
    |&S_N^{N'}f(x)-S_N^{N'}f(y)|\\
    &\leq\sum_{N\leq j\leq N'}|P_jf(x)-P_jf(y)|\\
    &\leq\sum_{2^j\leq1/|x-y|}|P_jf(x)-P_jf(y)|+2\sum_{2^j>1/|x-y|}2^{\gamma j}\|P_jf\|_\infty\cdot 2^{-\gamma j}\\
    &\leq \sum_{2^j\leq1/|x-y|}\|[\xi{\psi}(\xi/2^j)\hat f(\xi)]^\vee\|_\infty\cdot|x-y|+2A\sum_{2^j>1/|x-y|} 2^{-\gamma j}\\
    &\leq CA\sum_{2^j\leq1/|x-y|}2^{(1-\gamma)j}|x-y|+CA\sum_{2^j>1/|x-y|} 2^{-\gamma j}\\
    &\leq CA|x-y|^\gamma.
    \end{aligned}
    $$命$N\to-\infty$, $N'\to\infty$即得到$[|f|]_{\dot C^\gamma}\leq CA$. Q. E. D.

          借此可以给出$sp>n$时的 Sobolev 嵌入定理一个非常简洁的证明: 设$f\in \dot L_s^p$, $\gamma=s-n/p$, 则对所有$j\in\mathbb{Z}$, 都可以应用卷积的 Young 不等式得到$$
    \begin{aligned}
    2^{\gamma j}\|P_jf\|_\infty&=2^{\gamma j}\||D|^{-s}\psi_j(D)|D|^sf\|_\infty\\
    &\leq 2^{\gamma j}\||D|^{-s}\check\psi_j\|_{p'}\||D|^sf\|_p\\
    &\leq C\|f\|_{\dot L^p_s}.
    \end{aligned}
    $$由 Hölder 空间的 Littlewood-Paley 刻画立刻得到结论.

          一个更有趣的应用是常系数椭圆微分算子的 Schauder 估计. 设重指标集$A,B$满足$|\alpha+\beta|=m$, $\forall\alpha\in A\,\forall\beta\in B$. 设$$
    P:=\sum_{\alpha\in A,\beta\in B}a_{\alpha\beta}D^{\alpha+\beta}
    $$是$m$阶齐次椭圆微分算子, 即存在$c>0$使得其主象征$p(\xi)=\sum_{\alpha\in A,\beta\in B}a_{\alpha\beta}(i\xi)^{\alpha+\beta}$满足$$
    \left|\sum_{\alpha\in A,\beta\in B}a_{\alpha\beta}(i\xi)^{\alpha+\beta}\right|\geq c|\xi|^m.
    $$则有下述的 Schauder 估计:

          定理 5.3. 设 Schwartz 分布$u$满足方程$Pu=\sum_{\beta\in B}D^\beta f_\beta$, 其中每一个$f_\beta$都是连续函数. 设$\omega(\rho):=\sum_{\beta\in B}\sup_{|x-y|\leq \rho}|f_\beta(x)-f_\beta(y)|$. 则对于任意$\alpha\in A$, 都存在多项式$Q_\alpha$使得$$
    \begin{aligned}
    |[D^\alpha u(x)-Q_\alpha(x)]&+[D^\alpha u(y)-Q_\alpha(y)]|\\
    &\leq C\left(\int_0^{|x-y|}\frac{\omega(\rho)}{\rho}d\rho+|x-y|\int_{|x-y|}^\infty\frac{\omega(\rho)}{\rho^2}d\rho\right),
    \end{aligned}
    $$只要右边有意义. 特别地, 只要右边在$|x-y|$趋于零时也趋于零, 则$D^\alpha u$便由缓增连续函数代表.

          证明. 取 Fourier 变换得$$
    \sum_{\alpha\in A,\beta\in B}a_{\alpha\beta}(i\xi)^{\alpha+\beta}\hat u(\xi)=\sum_{\beta\in B}(i\xi)^{\beta}\hat f_\beta(\xi),
    $$或者$$
    (D^\alpha u)^\wedge(\xi)=\sum_{\alpha\in A,\beta\in B}\frac{(i\xi)^{\alpha+\beta}}{p(\xi)}\hat f_\beta(\xi)=:\sum_{\alpha\in A,\beta\in B}m_{\alpha\beta}(\xi)\hat f_\beta(\xi).
    $$显然每一个$m_{\alpha\beta}$都是原点外光滑的零次齐次函数. 于是要证明的就归结为下面的命题: 设$m$是原点外光滑的零次齐次函数, $\omega$是连续函数$f$的连续模, 则存在多项式$Q$使得$u=(m\hat f)^\vee$满足$$
    \begin{aligned}
    |[u(x)-Q(x)]&+[u(y)-Q(y)]|\\
    &\leq C\left(\int_0^{|x-y|}\frac{\omega(\rho)}{\rho}d\rho+|x-y|\int_{|x-y|}^\infty\frac{\omega(\rho)}{\rho^2}d\rho\right),
    \end{aligned}
    $$ 证明仍旧是通过 Littlewood-Paley 分解. 命$K=(\psi m)^\vee$, $K_j=(\psi_j m_j)^\vee$. 显然$K_j$都是经由$K$经过尺度变换得到的, 且都是 Shcwartz 函数. 设$L$是一维速降函数, 满足$|K(z)|\leq L(|z|)$. 则对于任何$x$有$$
    \begin{aligned}
    |P_ju(x)|&\leq\int_{\mathbb{R}^n}|K_j(z)|\cdot|f(x-z)-f(x)|dz\\
    &\leq \int_{\mathbb{R}^n}|K(z)|\omega(2^{-j}|z|)dz\\
    &\leq C\int_{0}^\infty|L(r)|\omega(2^{-j}r)r^{n-1}dr,
    \end{aligned}
    $$同理得$$
    |DP_ju(x)|\leq C2^j\int_{0}^\infty|L(r)|\omega(2^{-j}r)r^{n-1}dr.
    $$于是$$
    \begin{aligned}
    &\left|\sum_{N\leq j\leq N'}[P_j(x)-P_j(y)]\right|\\
    &\quad\leq C\sum_{j\in\mathbb{Z}}\min(2\|P_ju\|_{L^\infty},\|DP_ju\|_{L^\infty}|x-y|)\\
    &\quad\leq C\sum_{j\in\mathbb{Z}}\min(1,2^j|x-y|)\int_{0}^\infty|L(r)|\omega(2^{-j}r)r^{n-1}dr\\
    &\quad\leq C\int_{0}^\infty L(r)r^{n-1}\sum_{2^j>|x-y|^{-1}}\omega(2^{-j}r)dr\\
    &\quad\quad+C\int_{0}^\infty L(r)r^{n-1}\sum_{2^j\leq|x-y|^{-1}}2^j|x-y|\omega(2^{-j}r)dr.
    \end{aligned}
    $$由于$\omega$是非降函数, 故得到$$
    \begin{aligned}
    &\left|\sum_{N\leq j\leq N'}[P_j(x)-P_j(y)]\right|\\
    &\quad\leq C\int_{0}^\infty L(r)r^{n-1}\int_0^{|x-y|r}\frac{\omega(\rho)}{\rho}d\rho dr\\
    &\quad\quad+C\int_{0}^\infty L(r)r^{n}|x-y|\int_{|x-y|r}^\infty\frac{\omega(\rho)}{\rho^2}d\rho dr\\
    &\quad=C\int_{0}^\infty \frac{\omega(\rho)}{\rho}\int_{|x-y|^{-1}\rho}^\infty L(r)r^{n-1}drd\rho\\
    &\quad\quad+C|x-y|\int_{0}^\infty \frac{\omega(\rho)}{\rho^2}\int_0^{|x-y|^{-1}\rho}L(r)r^{n}drd\rho.
    \end{aligned}
    $$将外层对$\rho$的积分拆成$\int_0^{|x-y|}$和$\int_{|x-y|}^\infty$两段即得$$
    \left|\sum_{N\leq j\leq N'}[P_j(x)-P_j(y)]\right|\leq C\left(\int_0^{|x-y|}\frac{\omega(\rho)}{\rho}d\rho+|x-y|\int_{|x-y|}^\infty\frac{\omega(\rho)}{\rho^2}d\rho\right).
    $$命$N\to-\infty$, $N'\to\infty$即得结论. Q. E. D.

          由此可得, 例如, Laplace 算子的 log-Lipschitz 估计, 即由$\Delta u$的 Lipschitz 连续性可推出$Du$的连续模的阶是$O(r\log r)$.

  6. 3月前DTSIo 重新编辑

    6. 仿积与乘积

          最能显示 Littlewood-Paley 理论威力的是关于函数的乘积与复合的估计.

          改变一下记号: 对于频域的 Littlewood-Paley 分解$\phi(\xi)+\sum_{j\geq0}\psi_j(\xi)=1$, 定义$$
    P_0f=\phi(D/2)f=S_0f,\,P_jf=\psi_j(D)f,\,S_jf=\sum_{0\leq k\leq j}P_jf;
    $$引入函数$u$对函数$f$的仿积 (paraproduct) 如下:$$
    T_uf:=\sum_{k\geq5}P_ku\cdot S_{k-5}f.
    $$这个定义显示, 要考虑的频率越高, $T_fu$与$fu$就越接近. 有如下的分解:$$
    \begin{aligned}
    fu&=\sum_{j,k\geq0}P_jf\cdot P_ku\\
    &=\sum_{k\geq0}\sum_{0\leq j\leq k-5}P_jf\cdot P_ku+\sum_{j\geq0}\sum_{0\leq k\leq j-5}P_ku\cdot P_jf+\sum_{|j-k|<5}P_jf\cdot P_ku.\\
    &=T_fu+T_uf+R(f,u).
    \end{aligned}
    $$注意$T_uf$关于$(f,u)$并不对称, 但$R(f,u)$关于$(f,u)$对称. 显然$P_kuS_{k-5}f$的 Fourier 变换支撑在圆环$B(0,C2^k)\setminus B(0,c2^k)$之内, 所以仿积$T_uf$也具有某种几乎正交性质. 利用这个构造, 便容易证明下面看似不易得到的分数阶导数的 Leibniz 法则:

          定理 6.1. 设$s\geq0$, $1<p<\infty$, 而$q_1,q_2,r_1,r_2$满足$$
    \frac{1}{p}=\frac{1}{q_1}+\frac{1}{q_2}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2},\,q_1,r_1\in(1,\infty],\,q_2,r_2\in(1,\infty).
    $$则$$
    \|fu\|_{L_s^p}\leq C(\|f\|_{L^{q_1}}\|u\|_{L_s^{q_2}}+\|u\|_{L^{r_1}}\|f\|_{L_s^{r_2}}).
    $$

          证明. 显然只要对 Schwartz 函数来证明就够了. 根据 Hardy-Littlewood 极大函数的均值性质, 很显然有$|S_kf|\leq\|\check\phi\|_{L^1}Mf$; 由于$P_kuS_{k-5}f$的 Fourier 变换支撑在圆环$B(0,C2^k)\setminus B(0,c2^k)$之内, 于是根据 Sobolev 空间的刻画有$$
    \begin{aligned}
    \|T_uf\|_{L_s^p}&\leq\left\|\left(\sum_{k\geq0}2^{2ks}|S_{k-5}f|^2|P_ku|^2\right)^{1/2}\right\|_{L^p}\\
    &\leq \|\check\phi\|_{L^1}\left\|\left(\sum_{k\geq0}2^{2ks}|Mf|^2|P_ku|^2\right)^{1/2}\right\|_{L^p}\\
    &=\|\check\phi\|_{L^1}\left\|Mf\cdot\left(\sum_{k\geq0}2^{2ks}|P_ku|^2\right)^{1/2}\right\|_{L^p}\\
    &\leq C\|Mf\|_{L^{q_1}}\left\|\left(\sum_{k\geq0}2^{ks}|P_ku|^2\right)^{1/2}\right\|_{L^{q_2}}\\
    &\sim C\|f\|_{L^{q_1}}\|u\|_{L_s^{q_2}}.
    \end{aligned}
    $$同理有$$
    \|T_fu\|_{L_s^p}\leq C\|f\|_{L^{r_1}}\|u\|_{L_s^{r_2}}.
    $$余项可按照同样的办法估计如下:$$
    \begin{aligned}
    \|R(f,u)\|_{L_s^p}&\leq C\left\|\left(\sum_{|j-k|<5}2^{2ks}|P_jf|^2\cdot |P_ku|^2\right)^{1/2}\right\|_{L^p}\\
    &\leq C\left\|Mf\cdot\left(\sum_{k\geq0}2^{2ks}|P_ku|^2\right)^{1/2}\right\|_{L^p}\\
    &\leq C\|f\|_{L^{q_1}}\|u\|_{L_s^{q_2}}.
    \end{aligned}
    $$综合起来就得到了结论. Q. E. D.

          还可以借助仿积对分数阶导数的 Leibniz 律进行更为精细的刻画:

          定理 6.2. 设$s\in(0,1)$, $p\in(1,\infty)$. 则对于$f,u\in L^p_s$, $$
    \|| D|^s(fu)-f| D|^su\|_{L^p}\leq C\|u\|_{L^\infty}\|f\|_{L^p_s}.
    $$粗略地说, 这表示$| D|^s(fu)$"差不多等于"$f| D|^su+u| D|^sf$.

          为了证明此定理, 先要叙述几个辅助命题:

          辅助命题 6A. 若$s<1$, 则有$$
    \sum_{j\in\mathbb{Z}}2^{2sj}\left|\sum_{k<j}2^{k-j}a_k\right|^2\leq C\sum_{k\in\mathbb{Z}}2^{2sk}|a_k|^2.
    $$若$s>0$, 则有$$
    \sum_{j\in\mathbb{Z}}2^{2sj}\left|\sum_{k\geq j}a_k\right|^2\leq C\sum_{k\in\mathbb{Z}}2^{2sk}|a_k|^2.
    $$

          证明. 对于第一部分, 命$b_k=2^{sk}a_k$, 则$$
    \begin{aligned}
    \sum_{j\in\mathbb{Z}}2^{2sj}\left|\sum_{k< j}2^{k-j}a_k\right|^2
    &=\sum_{j\in\mathbb{Z}}\sum_{k<j}\sum_{l<j}2^{2sj}2^{-sk}2^{-sl}2^{k-j}2^{l-j}b_k\bar b_l\\
    &=\sum_{k,l\in\mathbb{Z}}2^{(1-s)(k+l)}\sum_{j>\max(k,l)}2^{2(s-1)j}b_k\bar b_l\\
    &=\frac{1}{1-2^{2(1-s)}}\sum_{k,l\in\mathbb{Z}}2^{-(1-s)|k-l|}b_k\bar b_l\\
    &=\frac{1}{1-2^{-2s}}\sum_{m\geq0}2^{-(1-s)m}\sum_{k\in\mathbb{Z}}(b_{k}\bar b_{k+m}+b_{k}\bar b_{k-m})\\
    &\leq \frac{2}{1-2^{-2s}}\sum_{m\geq0}2^{-(1-s)m}\cdot\sum_{k\in\mathbb{Z}}|b_k|^2.
    \end{aligned}
    $$显然右边不大于$C_s\sum_{k\in\mathbb{Z}}|b_k|^2=C_s\sum_{k\in\mathbb{Z}}2^{2sk}|a_k|^2$.

          对于第二部分, 仍命$b_k=2^{sk}a_k$, 则完全类似的计算给出$$
    \begin{aligned}
    \sum_{j\in\mathbb{Z}}2^{2sj}\left|\sum_{k\geq j}a_k\right|^2
    &=\frac{1}{1-2^{-2s}}\sum_{m\geq0}2^{-sm}\sum_{k\in\mathbb{Z}}(b_{k}\bar b_{k+m}+b_{k}\bar b_{k-m})\\
    &\leq \frac{2}{1-2^{-2s}}\sum_{m\geq0}2^{-sm}\cdot\sum_{k\in\mathbb{Z}}|b_k|^2.
    \end{aligned}
    $$显然右边不大于$C_s\sum_{k\in\mathbb{Z}}|b_k|^2=C_s\sum_{k\in\mathbb{Z}}2^{2sk}|a_k|^2$. Q. E. D.

          定理 6.2. 的证明. 注意到$$
    | D|^s(fu)=| D|^sT_fu+| D|^sT_uf+| D|^sR(f,u),$$ $$f| D|^su=T_f| D|^su+T_{| D|^su}f+R(f,| D|^su).
    $$根据已经证明的定理 6.1. 有$$
    \|| D|^sT_fu\|_{L^p}\leq C\|u\|_{L^\infty}\|f\|_{L^p_s},\,\|| D|^sR(f,u)\|_{L^p}\leq C\|u\|_{L^\infty}\|f\|_{L^p_s}.
    $$接下来, 注意到$$
    \begin{aligned}
    T_{f}|D|^su&=\sum_{j\geq5}(\psi_j(D)f)\cdot(\phi_{j-5}(D)|D|^su)\\
    &=\sum_{j\geq5}(|2^{-j}D|^s\phi_{j-5}(D)u)\cdot(2^{sj}\psi_j(D)f).
    \end{aligned}
    $$注意到$|\xi|^s\phi(\xi)$的 Fourier 逆变换$|D|^s\check\phi(x)$按$O(|x|^{-n-s})$衰减, 因此$||2^{-j}D|^s\phi_{j-5}(D)u|\leq Mu$, 故得到$\|T_{f}|D|^su\|_{L^p}\leq C\|u\|_{L^\infty}\|f\|_{L_s^p}$. 同理可得$\|R(f,| D|^su)\|_{L^p}\leq C\|u\|_{L^\infty}\|f\|_{L^p_s}$.

          现在只需要估计$|D|^sT_uf-T_{|D|^su}f$即可. 由于每个${S_{k-5}f}\psi_k(D)u$的 Fourier 变换都支撑在圆环$B(0,C2^k)\setminus B(0,c2^k)$之内, 显然可以得到$$
    \begin{aligned}
    |D|^sT_uf&-T_{|D|^su}f\\
    &=\sum_{k\geq5}|D|^s(S_{k-5}f\cdot\psi_k(D)u)-S_{k-5}f\cdot|D|^s\psi_k(D)u\\
    &=\sum_{k\geq5}\theta_k(D)|D|^s(S_{k-5}f\cdot\psi_k(D)u)-S_{k-5}f\cdot\theta_k(D)|D|^s\psi_k(D)u\\
    &=\sum_{k\geq5}2^{ks}[\psi^\#_k(D),{S_{k-5}f}]\psi_k(D)u.
    \end{aligned}
    $$这里$\theta_k(\xi)=\theta(\xi/2^k)$, $\theta$是在$B(0,C2^k)\setminus B(0,c2^k)$上等于 1, 在原点某邻域等于零的紧支光滑函数函数, 而$\psi^\#_k(\xi)=\psi^\#(\xi/2^k)$, $\psi^\#(\xi)=|\xi|^s\theta(\xi)$. 故$$
    \||D|^sT_uf-T_{|D|^su}f\|_{L^p}\sim\left\|\left(\sum_{k\geq5}2^{ks}|[\psi^\#_k(D),{S_{k-5}f}]\psi_k(D)u|^2\right)^{1/2}\right\|_{L^p}.
    $$每一个求和项满足$$
    \begin{aligned}
    |[\psi^\#_k(D),&{S_{k-5}f}]\psi_k(D)u|\\
    &\leq C\|u\|_{L^\infty}\sum_{0\leq j\leq k-5}\int_{\mathbb{R}^n}|P_jf(x)-P_jf(y)||\psi^\#_k(x-y)|dy.
    \end{aligned}
    $$根据下一节中建立的一个一般的不等式, 可得$$
    |[\psi^\#_k(D),{S_{k-5}f}]\psi_k(D)u|\leq C\|u\|_{L^\infty}\sum_{0\leq j\leq k}2^{j-k}M(\theta_j(D)f).
    $$利用辅助命题 6A 和 Fefferman-Stein 极大不等式得到$$
    \begin{aligned}
    \||D|^sT_uf&-T_{|D|^su}f\|_{L^p}\\
    &\leq C\|u\|_{L^\infty}\left\|\left(\sum_{k\geq5}2^{ks}\left|\sum_{0\leq j\leq k}2^{j-k}M(\theta_j(D)u)\right|^2\right)^{1/2}\right\|_{L^p}\\
    &\leq C\|u\|_{L^\infty}\left\|\left(\sum_{k\geq5}2^{ks}|M(\theta_j(D)u)|^2\right)^{1/2}\right\|_{L^p}\\
    &\leq C\|u\|_{L^\infty}\|f\|_{L_s^p}.
    \end{aligned}
    $$这就完成了证明. Q. E. D.

          这两个定理显然都说明了$f\in L^p_s$是一种局部性质: 即便乘上一个紧支光滑函数也不会改变之.

  7. 3月前DTSIo 重新编辑

    7. 复合估计

          比乘积估计更加不平凡的结果是复合函数分数阶导数的链式法则. 它最初是由 Moser 得到的, 后来经由 Staffilani 和 Kato 在研究非线性色散方程的时候作出了推广. 这个结果对演化方程的重要性一望便知:

          定理 7.1. 固定$s\in(0,1],p\in(1,\infty)$, 并设$q_1,q_2$满足$$
    \frac{1}{p}=\frac{1}{q_1}+\frac{1}{q_2},\,q_1\in(1,\infty],\,q_2\in(1,\infty).
    $$设$F\in C^1$满足$F(0)=0$, 且存在$\mu\in L^1[0,1]$和函数$G>0$使得$$
    \|F'(\tau z+(1-\tau)w)\|\leq\mu(\tau)(G(z)+G(w)).
    $$则$$
    \|F\circ u\|_{L_s^p}\leq C_\mu\|G\circ u\|_{L^{q_1}}\|u\|_{L_s^{q_2}}.
    $$

          显然当$s=1$, $q_1=\infty$, $\mu\equiv1$, $G(z)=\sup_z\|F'(z)\|$时这就是 Sobolev 函数与$C^1$映射复合后的链式法则. 但对于分数阶导数的情形则必须借助 Littlewood-Paley 理论.

          定理 7.1. 的证明. 不妨设$u$是 Schwartz 函数. 只需证明$s<1$的情形. 先来研究$F\circ u$的每一个构造块. 命$j\geq0$, $H=G\circ u$, 则根据$\int\check\psi_j\equiv0$有$$
    \begin{aligned}
    |P_j[F\circ u](x)|&=\left|\int_{\mathbb{R}^n}\check{\psi}_j(x-y)F(u(y))dy\right|\\
    &\leq\int_{\mathbb{R}^n}|\check{\psi}_j(x-y)|\cdot|F(u(y))-F(u(x))|dy\\
    &\leq C\|\mu\|_{L^1}\int_{\mathbb{R}^n}|\check{\psi}_j(x-y)|\cdot[H(x)+H(y)]\cdot|u(x)-u(y)|dy\\
    &\leq CH(x)\int_{\mathbb{R}^n}|\check{\psi}_j(x-y)|\cdot|\phi(D)u(x)-\phi(D)u(y)|dy\\
    &\quad+C\int_{\mathbb{R}^n}|\check{\psi}_j(x-y)|\cdot|\phi(D)u(x)-\phi(D)u(y)|\cdot H(y)dy\\
    &\quad+CH(x)\sum_{k\geq0}\int_{\mathbb{R}^n}|\check{\psi}_j(x-y)|\cdot|P_ku(x)-P_ku(y)|dy\\
    &\quad+C\sum_{k\geq0}\int_{\mathbb{R}^n}|\check{\psi}_j(x-y)|\cdot|P_ku(x)-P_ku(y)|\cdot H(y)dy.
    \end{aligned}
    $$
    右边头两项的估计是平凡的, 所以仅需研究右边的两个和.

          先来看第一个和. 取函数$\theta\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$使得$\text{supp}\theta\subset B(0,4)\setminus B(0,1/4)$, 且在$\text{supp}\psi$上$\theta=1$, 并命$\theta_k(\xi)=\theta(\xi/2^k)$. 显然$$
    \begin{aligned}
    |P_ku(x)-P_ku(y)|&=|P_k\theta_k(D)u(x)-P_k\theta_k(D)u(y)|\\
    &\leq\int_{\mathbb{R}^n}\int_0^1|\theta_k(D)u(z)||D\check\psi_k(tx+(1-t)y-z)|dtdz\cdot|x-y|.
    \end{aligned}
    $$若$|x-y|\leq 2^{-k}$, 则$$
    \int_0^1|D\check\psi_k(tx+(1-t)y-z)-D\check\psi_k(x-z)|dt\leq 2^{(n+1)k}|D^2\check\psi(2^k(x-z))|,
    $$于是得到: 当$|x-y|\leq2^{-k}$时$$
    |P_ku(x)-P_ku(y)|\leq C2^kM(\theta_k(D)u)(x)|x-y|.
    $$故当$k<j$时$$
    \begin{aligned}
    \int_{\mathbb{R}^n}&|\check{\psi}_j(x-y)|\cdot|P_ku(x)-P_ku(y)|dy=\int_{|x-y|\leq 2^{-k}}+\int_{|x-y|\geq2^{-k}}\\
    &\leq C2^kM(\theta_k(D)u)(x)\int_{\mathbb{R}^n}|\check{\psi}_j(x-y)||x-y|dy\\
    &\quad+C_n\int_{|x-y|\geq2^{-k}}|P_k\theta_k(D)u(x)-P_k\theta_k(D)u(y)|\frac{2^{nj}}{(1+2^j|x-y|)^{n+2}}dy\\
    & \\
    &\leq C2^{k-j}M(\theta_k(D)u)(x).
    \end{aligned}
    $$这里用到了$|f|\leq Mf$, 以及$|x-y|\geq 2^{-k}$时$(1+2^j|x-y|)^{-(n+2)}\leq2^{k-j}(1+2^j|x-y|)^{-(n+1)}$. 而$k\geq j$时则显然有$$
    \int_{\mathbb{R}^n}|\check{\psi}_j(x-y)|\cdot|P_ku(x)-P_ku(y)|dy\leq CM(\theta_k(D)u)(x).
    $$

          再来看第二个和. 每一求和项与第一个和唯一的区别就是积分中多了权重$H(y)$, 于是可以直接重复上面的计算得到: 当$k<j$时$$
    \begin{aligned}
    \int_{\mathbb{R}^n}&|\check{\psi}_j(x-y)|\cdot|P_ku(x)-P_ku(y)|\cdot H(y)dy\\
    &\leq C2^{k-j}M(\theta_k(D)u)(x)H(x)+C2^{k-j}M(|\theta_k(D)u|H)(x).
    \end{aligned}
    $$而$k\geq j$时则有$$
    \begin{aligned}
    \int_{\mathbb{R}^n}|\check{\psi}_j(x-y)|&\cdot|P_ku(x)-P_ku(y)|\cdot H(y)dy\\
    &\leq C|P_ku(x)|MH(x)+CM(|P_ku|H)(x)\\
    &\leq CM(\theta_k(D)u)(x)\cdot MH(x)+CM(|P_ku|H)(x)
    \end{aligned}
    $$

          最后把每个构造块合起来: 忽略对应于乘子$\phi(D)$的构造块, 并利用辅助命题 6A 得到$$
    \begin{aligned}
    \sum_{j\geq0}&2^{2sj}|P_j[F\circ u](x)|^2\\
    &\leq CH(x)^2\sum_{j\geq0}2^{2sj}\left(\sum_{0\leq k<j}2^{k-j}M(\theta_k(D)u)(x)\right)^2\\
    &\quad+CMH(x)^2\sum_{j\geq0}2^{2sj}\left(\sum_{k\geq j}M(\theta_k(D)u)(x)\right)^2\\
    &\quad+C\sum_{j\geq0}2^{2sj}\left(\sum_{0\leq k<j}2^{k-j}M(|\theta_k(D)u|H)(x)\right)^2\\
    &\quad+C\sum_{j\geq0}2^{2sj}\left(\sum_{k\geq j}M(|P_ku|H)(x)\right)^2\\
    & \\
    &\leq CMH(x)^2\sum_{k\geq0}2^{2sk}M(\theta_k(D)u)(x)^2\\
    &\quad+\sum_{k\geq0}2^{2sk}M(|\theta_k(D)u|H)(x)^2+\sum_{k\geq0}2^{2sk}M(|P_ku|H)(x)^2.
    \end{aligned}
    $$两边取$L^p$范数, 并应用 Fefferman-Stein 极大不等式得$$
    \begin{aligned}
    \|F\circ u\|_{L_s^p}&\sim\left\|MH(x)\left(\sum_{k\geq0}2^{2sk}M(\theta_k(D)u)(x)^2\right)^{1/2}\right\|_{L^p}\\
    &\quad+\left\|\left(\sum_{k\geq0}2^{2sk}M(|\theta_k(D)u|H)(x)^2\right)^{1/2}\right\|_{L^p}\\
    &\quad+\left\|\left(\sum_{k\geq0}2^{2sk}M(|P_ku|H)(x)^2\right)^{1/2}\right\|_{L^p}\\
    & \\
    &\leq\|H(x)\|_{L^{q_1}}\left\|\left(\sum_{k\geq0}2^{2sk}(\theta_k(D)u)(x)^2\right)^{1/2}\right\|_{L^{q_2}}\\
    &\quad+\left\|H(x)\left(\sum_{k\geq0}2^{2sk}|\theta_k(D)u|(x)^2\right)^{1/2}\right\|_{L^{p}}\\
    &\quad+\left\|H(x)\left(\sum_{k\geq0}2^{2sk}|P_ku|(x)^2\right)^{1/2}\right\|_{L^p}\\
    & \\
    &\leq C\|H\|_{L^{q_1}}\|u\|_{L_s^{q_2}}.
    \end{aligned}
    $$再加上对$\phi(D)[F\circ u]$的估计即完成证明. Q. E. D.

          对$s$的整数部分进行归纳, 立刻得到最初版本的 Moser 定理:

          设$F$是光滑函数, $F(0)=0$. 对于一切$s\geq 0$, $1<p<\infty$, 若$u\in L^\infty\cap L_s^p$, 则$$
    \|F(u)\|_{L^p_s}\leq \Gamma^s_F(\|u\|_{L^\infty})\|u\|_{L^p_s},
    $$其中$\Gamma^s_F$是依赖于指标$s$和$F$ (的各阶导数) 的单调增函数.

  8. 3月前DTSIo 删除了
 

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