凝聚态物理中的拓扑不变量

  1. 4月前

    Phantom_Ghost

    1楼 10月21日 数学版主, 物理版主, 优秀回答者
    4月前Phantom_Ghost 重新编辑

    - 2014 -

    最先在物理中出现的拓扑不变量来自于Berry相位,例如AB效应里面波函数出现一个不可积相位。 下面首先来对Berry相位进行一下回顾。

    一般对于绝热缓变并且复归(这点很重要)系统:$|\mathbf{n}(T)\rangle\to e^{i\alpha}|\mathbf{n}(0)\rangle=|\mathbf{m}(T)\rangle$, 那么Schrödinger方程就写为 $H(t)|\mathbf{n}(t)\rangle=E_n|\mathbf{n}(t)\rangle$
    对Hilbert空间中的态矢模去总相位因子之后得到射线空间中的态就是 $|{\mathbf{n}}(T)\rangle=|\mathbf{n}(0)\rangle$,这个最典型的例子是自旋二态系统,我们会在下面以此模型为例来说明。
    一个复归周期$T$过后态矢就得到一整个相位,其中除去动力学相位的不可被规范变换吸收掉的部分就叫几何相位(绝热相位或Berry相位)。因此在系统动力学演化过程就会有所谓动力学相位以及几何相位两部分相因子:
    \begin{align*}
    \alpha&=\delta+\gamma\\
    \delta&=-\frac{1}{\hbar}\int_0^T dt\;\langle\mathbf{m}(t)|H(t)|\mathbf{m}(t)\rangle\\
    \gamma&=i\int_0^T dt\;\Big\langle\mathbf{n}(t)\Big|\frac{d}{dt}\Big|\mathbf{n}(t)\Big\rangle
    \end{align*}
    因此几何相位随着时间演化的运动方程为
    \begin{align*}
    \frac{d\gamma_n}{dt}(t)&=i\left\langle\mathbf{n}(t)\Bigg|\frac{d\mathbf{n}(t)}{dt}\right\rangle\\
     &=i\langle\mathbf{n}(t)\left|\right.\nabla_t \mathbf{n}(t)\rangle
    \end{align*}
    可以明显看到,决定了$\gamma_n(T)\neq\gamma_n(0)$的就是右边的这个项
    \begin{align*}
    \gamma_n(T)-\gamma_n(0)=\gamma_n(C)&=\int_0^T dt\;\dot{\gamma}_n(t)\\
    &=i\int_0^T dt\;\langle\mathbf{n}(t)|\nabla_t \mathbf{n}(t)\rangle\\
    &=i\oint dt\;\langle\mathbf{n}(t)|\nabla_t \mathbf{n}(t)\rangle
    \end{align*}
    于是利用Stokes公式
    \begin{align*}
    \gamma_n(C)&=i\oint_C dt\;\mathbf{A}_n(t)\\
    &=\iint_S dS\;\nabla\times\mathbf{A}_n(t)
    \end{align*}
    于是类比于电磁场,这个矢势 $\mathbf{A}_n(t)=i\langle\mathbf{n}(t)|\nabla_t|\mathbf{n}(t)\rangle$ 就称为 Berry联络;则 $\mathbf{B}_n(t)=\nabla\times\mathbf{A}_n(t)$ 为Berry曲率。

    这里我们需要再次强调复归条件是很重要的,缺少此条件则几何相位就变得可通过规范变换任意调节而平庸地被吸收去掉了。因为我们可以对态矢作规范变换 $|\mathbf{n}(t)\rangle\to e^{i\xi(t)}|\mathbf{n}\rangle$,于是就会对矢势相应造成改变 $\mathbf{A}_n\to\mathbf{A}_n+i\nabla$,然而 $\nabla\times\nabla\xi=0$,因此对复归系统的Berry相位不会造成影响。也就是说$\gamma_n(C)$是规范不变量,只依赖于闭路径$C$包含区域的几何性质,因此得名为"几何相"。

    举个简单的例子,一个磁场中的自旋系统哈密顿量为$H=\mathbf{B}\cdot\mathbf{S}$,单自旋态矢可用相干态构造出 $\mathbf{n}\cdot\mathbf{S}|\mathbf{n}\rangle=S|\mathbf{n}\rangle$
    \begin{align*}
    &|\mathbf{n}\rangle=(z_1,z_2)^T\\
    &\mathbf{n}=z^\dagger\boldsymbol{\sigma}z\;,\;|z_1|^2+|z_2|^2=1\\
    &z=\left(e^{-i\phi}\cos\frac{\theta}{2},\sin\frac{\theta}{2}\right)^T\\
    &\langle\mathbf{n}_b|\mathbf{n}_a\rangle=z_b^\dagger z_a\;,\;\int\frac{d\mathbf{n}}{2\pi}|\mathbf{n}\rangle\langle\mathbf{n}|=1
    \end{align*}
    这时作用量写为 $\mathcal{S}[\mathbf{n}(t)]=\int dt(i z^\dagger\dot{z}-\mathbf{B}\cdot\mathbf{n}S)$
    那么对于静磁场$\mathbf{B}$,自旋相干态不含时,因此总相位因子就只包含动力学相
    \[
    \langle\mathbf{n}|e^{i\int_0^T dt\;\mathbf{B}\cdot\mathbf{S}}|\mathbf{n}\rangle=e^{-iE_0T}
    \]
    对于绝热变化并复归的磁场$\mathbf{B}(t)$则有
    \begin{align}
    \langle\mathbf{n}|e^{i\mathcal{S}[\mathbf{n}(t)]}|\mathbf{n}\rangle=&\lim_{N\to\infty}\langle\mathbf{n}(T)|U(T,T-\Delta t)|\mathbf{n}(T-\Delta t)\rangle...\\
    &...\langle\mathbf{n}(2\Delta t)|U(2\Delta t,\Delta t)|\mathbf{n}(\Delta t)\rangle\langle\mathbf{n}(\Delta t)|U(\Delta t,0)|\mathbf{n}(0)\rangle\\
    =&\int\mathcal{D}\bigg[\frac{\mathbf{n}(t)}{2\pi}\bigg]e^{i\mathcal{S}[\mathbf{n}(t)]}=e^{-iE_0T}e^{i\int dt\;z^\dagger\dot{z}}
    \end{align}
    可见这就多出了一个不依赖于时间变化的几何相位,并且在$\mathbf{B}\to 0$时也不为零,所以这个几何相位是纯粹的量子效应造成的。

    将Hilbert空间映射到仅用$\mathbf{n}(t)(\theta,\phi)$刻画的$\mathbb{S}^2$Bloch球空间
    $|\mathbf{n}(\theta,\phi)\rangle=\left(\begin{array}{c}
    \cos\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}\\
    \sin\frac{\theta}{2}
    \end{array}\right)$

    p23738711.jpg

    Berry曲率即为
    \begin{align*}
    \nabla\times\langle\mathbf{n}|\nabla\mathbf{n}\rangle&=\left(\frac{1}{r}\partial_\phi\mathbf{e}_\phi+\frac{1}{r\sin\phi}\partial_\theta\mathbf{e}_\theta\right)\times z^\dagger\left(\frac{1}{r}\partial_\phi\mathbf{e}_\phi+\frac{1}{r\sin\phi}\partial_\theta\mathbf{e}_\theta\right) z\\
    &=\frac{i}{2r^2}\mathbf{e}_r
    \end{align*}
    可清晰地看见几何相位正是Bloch球面上闭回路面积对应的立体角(和乐群元)。
    \begin{align*}
    \gamma(C)&=-\frac{1}{2}\int\frac{1}{r^2}\mathbf{e}_r\cdot dS\\
     &=-\frac{1}{2}\int d\Omega=-\frac{1}{2}\Omega
    \end{align*}
    p23738888.jpg

    因此根据此几何图像,作用量可完全用$\mathbf{n}$表示
    \[
    \mathcal{S}[\mathbf{n}(t)]=-\oint_{\partial D} dt\;\mathbf{B}\cdot\mathbf{n}S+\int_D dt_1dt_2\;S\mathbf{n}\cdot\left(\frac{d\mathbf{n}}{dt_1}\times\frac{d\mathbf{n}}{dt_2}\right)
    \]
    除了动力学部分外,还有一个拓扑项,从这个拓扑项可得到自旋的运动方程:
    \[\frac{\delta S}{\delta\mathbf{n}(t)}=0\Rightarrow \dot{\mathbf{n}}(t)=\mathbf{B}\times\mathbf{n}(t)\]
    自旋系统的这种$O(3)$规范对称的(Wess-Zumino)拓扑项在一些磁性系统里面可以产生类似skyrmion的拓扑激发;在拓扑超导系统中则可以产生Majorana零模激发。这些是后话。

  2. Phantom_Ghost

    2楼 10月21日 数学版主, 物理版主, 优秀回答者

    量子Hall效应
    作用一个晶格空间变化磁场在二维电子气体(2DEG) 上,电子会将绝热地随着局部磁场方向运动。那么在电子自身参考系看来就相当于有一个随时间绝热演化的磁场,因此也就会如同上面的模型那样造成Berry相位。下面我们来将此模型映射成垂直于晶格的有效磁场,那么这也就意味着Hall效应的出现,而Berry相位则带来拓扑Hall效应。
    首先二维磁场晶格系统中电子运动的哈密顿量写为
    \[
    H=-\frac{\hbar^2}{2m^*}\nabla^2-g\boldsymbol{M}(r)\cdot\boldsymbol\sigma
    \]
    $\boldsymbol{M}(r)$是在晶格中分布的磁场,若强度恒定则可表达为$\boldsymbol{M}(r)=M\boldsymbol{n}(r)$,$\boldsymbol{n}(r)$为磁化强度的单位矢量。紧束缚近似下哈密顿量为($i,j$标记格点,$\alpha,\beta$为自旋指标)
    \[
    H=-t\sum_{\langle ij\rangle}\sum_\alpha |i\alpha\rangle\langle j\alpha|-gM\sum_i\sum_{\alpha,\beta}|i\alpha\rangle\boldsymbol{\sigma}_{\alpha\beta}\cdot\boldsymbol{n}_i\langle i\beta|
    \]
    可定义基矢$\{|i,\pm\rangle\}$,$+,-$为$i$格点上占据电子自旋与磁场平行、反平行状态,同上面的自旋相干态:
    \[
    |i,+\rangle=\left(
    \begin{array}{c}
    \cos\frac{\theta_i}{2}e^{-i\phi_i} \\
    \sin\frac{\theta_i}{2} \\
    \end{array}
    \right)\;\;,\;\;
    |i,-\rangle=\left(
    \begin{array}{c}
    -\sin\frac{\theta_i}{2} \\
    \cos\frac{\theta_i}{2}e^{i\phi_i} \\
    \end{array}
    \right)
    \]
    接着可定义投影算符 $\mathcal{P}_\pm=\sum_i|i,\pm\rangle\langle i,\pm|$,将整个系统投影到自旋上、下基矢张成的两个子空间中去:
    \begin{align*}
    \mathcal{H}&=H_+\oplus H_-=(\mathcal{P}_+ +\mathcal{P}_-)H(\mathcal{P}_+ +\mathcal{P}_-)\\
    &=\mathcal{P}_+H\mathcal{P}_++\mathcal{P}_-H\mathcal{P}_++\mathcal{P}_+H\mathcal{P}_-+\mathcal{P}_-H\mathcal{P}_-
    \end{align*}
    当Zeeman分裂能$\Delta=2gM$足够大时,上自旋态便处于低能级,占据了几乎所有电子,而下自旋态则全空。电子自旋会绝热地跟随着晶格中局部磁场的方向而演化。
    \begin{align*}
    H&=\left(
    \begin{array}{cc}
    A & T \\
    T^\dagger & A \\
    \end{array}
    \right)\\
    A&=\Delta\left(
    \begin{array}{cc}
    -\frac{1}{2} & 0 \\
    0 & \frac{1}{2} \\
    \end{array}
    \right)
    \end{align*}
    $T=$
    $-t\left(
    \begin{array}{cc}
    \sin\frac{\theta_1}{2}\sin\frac{\theta_2}{2}+\cos\frac{\theta_1}{2}\cos\frac{\theta_2}{2}e^{i(\phi_1-\phi_2)} & \sin\frac{\theta_1}{2}\sin\frac{\theta_2}{2}e^{i\phi_2}-\cos\frac{\theta_1}{2}\sin\frac{\theta_2}{2}e^{i\phi_1} \\
    \sin\frac{\theta_1}{2}\sin\frac{\theta_2}{2}e^{-i\phi_1}-\cos\frac{\theta_1}{2}\sin\frac{\theta_2}{2}e^{-i\phi_2} & \sin\frac{\theta_1}{2}\sin\frac{\theta_2}{2}+\cos\frac{\theta_1}{2}\cos\frac{\theta_2}{2}e^{-i(\phi_1-\phi_2)} \\
    \end{array}
    \right)$

    如果分裂能无穷大则可略去$T$,得到两个个二重简并能级,分别代表电子在格点1、2两个位置并自旋平行排列。对有限的$\Delta$则$T$的对角元会使得二能级间产生耦合,使得同自旋态的子能带之间跃迁。在微扰理论中效果就是对跃迁能量$t$修正。$T$非对角元耦合两个不同自旋的子能带间耦合,给出二级微扰修正 $\frac{t^2}{\Delta}\sin\theta_{12}\approx\frac{t^2}{\Delta}\theta_{12}\ll t$,大$\Delta$下可忽略。也就是说在此极限下,上下自旋子能带几乎退耦并分离得很开。于是我们可以约化哈密顿量到上自旋子空间而略去其余部分,这就得到有效哈密顿量
    \begin{align*}
    \mathcal{H}_\text{eff}&=\mathcal{P}_+H\mathcal{P}_+=-\sum_{\langle ij\rangle}t_{ij}^\text{eff}|i,+\rangle\langle j,+|-\frac{\Delta}{2}\\
    t^\text{eff}_{ij}&=t\cos\frac{\theta_{ij}}{2}e^{i\gamma_{ij}}
    \end{align*}
    于是这就将在晶格分布的磁场中运动的自旋电子映射成无自旋电子在磁通量分布的晶格中运动模型。晶格的跃迁能量则重整化了,依赖于$i,j$格点间磁化强度方向夹角。而其中便演生出不可积的绝热相位因子$e^{i\gamma_{ij}}$。我们来看看其来源:电子绕着单位晶格原胞一圈,其自旋随着磁场分布变化而绝热变化。绕一周下来就得到沿着回路的磁场划出一个立体角$\Omega$,其一半便是Berry相位。另一角度,一个原胞含有磁通量为$\Phi=Ba^2$,电子绕着磁通转一圈也就会得到相位$2\pi\Phi/\Phi_0\;\;(\Phi_0=h/e)$(A-B相位)。所以绕着一个原胞得到的Berry相位就正好是穿透此原胞的磁通量大小 $\Phi/\Phi_0=\Omega/4\pi$。

    p24111444.jpg

    因此在加磁场的晶格中人们就发明了所谓Peierls扣除来记入重整跃迁常数 $t_{ij}\to t e^{-ie/\hbar\int_i^j\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{l}}$,相因子就是磁矢势$\boldsymbol{A}$在晶格中形成的通量相位。于是Berry相位可由此计算
     \[\gamma_{ij}=-\frac{e}{\hbar}\int_i^j\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{l}\]
    对矢势做好规范固定后就得到唯一的$\gamma_{ij}$,例如我们讨论晶格上的磁通管,选择了规范后磁通管所有顶点形成的跃迁相位 $t\to te^{i2\pi\Phi/\Phi_0}=te^{i\Omega/2}$。
    p24112605.jpg

    接着还是用几何立体角直观地考察Berry相位,由于$|\mathbf{n}_i\rangle=|i,+\rangle$,故$t_{ij}^\text{eff}=t\langle\mathbf{n}_i|\mathbf{n}_j\rangle$,易知计算$\gamma_{ij}$值就是计算此内积。也由此可见$\gamma_{ij}$并不是规范不变量,因为对态矢乘以相位因子会导致不同的结果。因此若固定$|\mathbf{n}_i\rangle$的相位然后作平移操作得到$|\mathbf{n}_j\rangle$,那么在球面上这意味着将$|\mathbf{n}_i\rangle$绕着轴$\mathbf{n}_i\times\mathbf{n}_j$旋转来得到$|\mathbf{n}_j\rangle$。不难知道这样的规范选择下内积$\langle\mathbf{n}_i|\mathbf{n}_j\rangle$为实数,$\gamma_{ij}$即为零。
    也就是说局部的$i,j$之间的$\gamma_{ij}$总是零,那是否球面上处处都如此?答案是否定的,因为规范平移操作只是局部的,并不能全局定义(球面上整体规范场有奇性)。那么如果我们选择三点来画一个回路$1\to 2\to 3\to 1$,沿着此路径则三点的磁场方向就会决定相位:
    p24114358.jpg

    $\text{arg}\left(\langle\mathbf{n}_1|\mathbf{n}_2\rangle\langle\mathbf{n}_2|\mathbf{n}_3\rangle\langle\mathbf{n}_3|\mathbf{n}_1\rangle\right)=\text{arg}\langle\mathbf{n}_1|\mathbf{n}_2\rangle+\text{arg}\langle\mathbf{n}_2|\mathbf{n}_3\rangle+\text{arg}\langle\mathbf{n}_3|\mathbf{n}_1\rangle$

    可计算得到非零的$\gamma$,从几何关系看正是立体角的一半$\frac{\Omega}{2}$,因此饶了一周回到原点后态矢比原来多了一个不可约的相位 $|\mathbf{n}_1\rangle=e^{i\Omega/2}|\mathbf{n}'_1\rangle$。
    这里立体角可从图中计算出来 $3\pi-\sum_{i}\alpha_i=2\pi-\Omega$,$\Omega=\sum_i\alpha_i-\pi$。

    p24114420.jpg

    这实际上就是Gauss-Bonnet定理的一个特例。

  3. Phantom_Ghost

    3楼 10月21日 数学版主, 物理版主, 优秀回答者

    二维石墨烯(honeycomb)晶格
    这时候Berry联络、曲率都是对Bloch的$U(1)$丛而言,Berry相位是与选取的闭合路径有关的几何性相位角,如果该区域包含的是几何的整体那这个Berry相位就反映整个流形(或丛)的拓扑性质;我们选取局部的闭合路径,那么就是反映该局部区域的几何性质。如前面的模型一样,几何上直观理解就再把这个系统从二维Brillouin流形$\mathbb{T}^2$映射到Bloch球流形$\mathbb{S}^2$:
    \begin{align*}
    H&=v_F\left(
    \begin{array}{cc}
    0 & k_1-i k_2 \\
    k_1+i k_2 & 0 \\
    \end{array}
    \right)\\
    &=v_F k\left(
    \begin{array}{cc}
    0 & e^{-i\theta_k} \\
    e^{i\theta_k} & 0 \\
    \end{array}
    \right)
    \end{align*}
    解出Bloch态矢为
    \[
    |u^+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(
    \begin{array}{c}
    e^{-i\theta_k} \\
    1 \\
    \end{array}
    \right)
    \;\;\;,\;\;\;
    |u^-\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(
    \begin{array}{c}
    -e^{-i\theta_k} \\
    1 \\
    \end{array}
    \right)
    \]
    由此计算出Berry联络
    \[
    a^+_k=-i\left\langle u^+\left|\partial_k\right|u^+\right\rangle=0
    \]
    \[
    a^+_{\theta_k}=-i\left\langle u^+\left|k^{-1}\partial_{\theta_k}\right|u^+\right\rangle=-\frac{1}{2k}
    \]
    这个Berry曲率就是含有非平庸的“磁单极”势 (演生拓扑缺陷)
    \[
    b=\partial_k a_{\theta_k}-\partial_{\theta_k}a_k=\frac{1}{2k^2}
    \]
    Berry相位是绝热复归系统一圈演化后得到的不可约的相位,复归遍及整个区域则(图可见:http://www.guokr.com/blog/768273/) ,积分路径包含这个拓扑非平庸的奇性区域则Berry相位为
    \[
    \gamma_C=\iint_S b\;d^2k=\oint_C \boldsymbol{a}\cdot d\boldsymbol{k}=\int_0^{2\pi} a_{\theta_k}k\;d\theta_k=-\pi
    \]
    这样 子整体Berry相位就是等同于第一陈数(TKNN对IQHE提出的拓扑不变量就是基于此) $C_1=\frac{1}{2\pi}\iint_S b\;d^2k=\gamma_C/2\pi=-\frac{1}{2}$

    \[\]\[\]

    Kane-Mele模型
    映射后的$SU(2)$哈密顿量写为
    \begin{align}
    H(k)&=k_x\sigma^x+k_y\sigma^y+m\sigma^z\\
    &=d_i\sigma^i
    \end{align}
    那么极化矢量$d_i(k)$单位化后得到Bloch矢 $\hat{d}_i(k)=\frac{d_i(k)}{\sqrt{d_i d^i}}$
    对角化此哈密顿量,解出Bloch态矢是
    \[
    |u^-\rangle=\left(
    \begin{array}{c}
    -\frac{k e^{-i \theta _k}}{\sqrt{k^2+\left(m+E_k\right)^2}} \\
    \frac{E_k+m}{\sqrt{k^2+\left(E_k+m\right)^2}} \\
    \end{array}
    \right)
    \]
    同样代入Berry曲率中计算出一个Burilouin区内的Berry相位,这就是第一陈数的Berry曲率表达形式。

    我们已经知道如果对系统的哈密顿量作规范变换,那么Berry相位不会变化,那Berry曲率(联络)方面会如何表现?接下来我们考虑一个幺正变换 $O(k)$, 令$H'=OHO^\dagger$,显然$H'$和$H$的能谱是一样的,现在能量为$E(k)$的态变成$|u'(k)\rangle=O(k)|u(k)\rangle$。现在Berry 联络变了,和原来相差$a'_i(k)-a_i(k)=-i\langle u'(k)| \left(\partial_{k_i} O(k)\right) O^\dagger(k)|u'(k) \rangle$(注意它不是一个pure gauge,也就意味着Berry 曲率发生改变)
    具体地来对Kane-Mele模型$H=k_1\sigma^1+k_2\sigma^2+m\sigma^3$计算,考虑能量为$E_-(k)=-\sqrt{|k|^2+m^2}$的态
    \[
    |u_-\rangle=\left(
    \begin{array}{c}
    -\frac{k e^{-i \theta _k}}{\sqrt{k^2+\left(m+E_k\right)^2}} \\
    \frac{E_k+m}{\sqrt{k^2+\left(E_k+m\right)^2}} \\
    \end{array}
    \right)
    \]
    令$O=e^{-ick_2 \sigma^3}$,作用幺正变换$O(k)=e^{ic k_2\sigma^3}$后$|u'^-\rangle=O(k)|u^-\rangle$
    \[
    |u'_-\rangle=
    \left(
    \begin{array}{c}
     -\frac{e^{i c k_2-i \theta _k} k}{\sqrt{k^2+\left(m+E_k\right){}^2}} \\
     \frac{e^{-i c k_2} \left(m+E_k\right)}{\sqrt{k^2+\left(m+E_k\right){}^2}} \\
    \end{array}
    \right)
    \]
    相当于把第一个分量的波函数在$x_2$方向平移$c$,第二个分量的波函数在$x_2$方向平移$-c$。 令$H'=OHO^\dagger$,得到额外的Berry联络是
    \begin{align*}
    \delta a_i&=a'_i-a_i\\
    &=-i\left[\langle u'^-(k)|\partial_{k_i}|u'^-(k)\rangle-\langle u^-(k)|\partial_{k_i}|u^-(k)\rangle\right]\\
    &=-i\langle u'^-(k)|\left(\partial_{k_2} O(k)\right) O^\dagger(k)|u'^-(k)\rangle\\
    \delta a_1&=0\\
    \delta a_2&=-\langle u'^-(k)|c\sigma^3|u'^-(k)\rangle\\
    &=\frac{c\left(E_k+m\right){}^2}{k^2+\left(E_k+m\right){}^2}-\frac{ck^2}{k^2+\left(E_k+m\right){}^2}
    \end{align*}
    那么额外Berry曲率为
    \[
    \delta b_{12}=\partial_{k_1}\delta a_2-\partial_{k_2}\delta a_1=-\frac{cmk_1}{E_k^{3/2}}
    \]
    而此$\delta b_{12}$对整体Berry相位是没有贡献的
    \[
    \delta\gamma_C=\iint_S\delta b_{12}\;d^2k\sim\int_{-\infty}^{+\infty}dk_2\int_{-\infty}^{+\infty}dk_1\;k_1=0
    \]
    理解这个问题,我们来看看这个操作过程中发生了什么。$H(k)=d_i(k) \sigma^i$ Bloch矢形式是$k\in \mathbb{T}^2$到$\hat{d}_i \in \mathbb{S}^2$的映射。在$k\in \mathbb{T}^2$中的某个闭合路径的Berry相位,其实就是该路径经过此映射后在$\hat{d}_i\in S^2$中形成的闭合路径的立体角大小(刻画拓扑性质的陈数就是这个映射的像所环绕$S^2$的次数)。那么,原先该映射是$d_{1,2}=k_{1,2}, d_3=m$,经过$H\rightarrow H'=OHO^\dagger$,$O=e^{-ick_2\sigma^3}$的幺正变换后,$k\rightarrow d_i$的映射变成了一个新的映射$k\rightarrow d'_i$,所以在$k\in \mathbb{T}^2$中的同一个闭合路径,分别映射到$\hat{d}_i\in \mathbb{S}^2$和$\hat{d}'_i\in \mathbb{S}^2$以后,变成了$\mathbb{S}^2$中不同的闭合路径,划过立体角不同,也就是Berry相位也不同。 计算Berry相位同样是选取一个闭合积分路径,比如我们说的变换前后两个路径之间部分围成的面积,那么也就是说得到额外的局部Berry相角是反映这两个路径之间几何上的差异。当然整体上我们可以预想到必有另外一半符号相反的局部Berry角与之抵消使得对整体Berry相位(陈数)没有贡献。
    一个不含时系统的演化,是由哈密顿量的谱决定的(上面这个$SU(2)$幺正变换$e^{ick_2\sigma^3}$刚好就是相当于对两个个能级各做$U(1)$规范变换而没改变能谱),也就是,对角化$H=UDU^\dagger$之后,由$D$决定。而$H$含时的话,则还要关心不同时间的$H$的本征态之间如何重叠,也就是跟$U$随时间的变化有关(具体地,$U^\dagger(t+dt) U(t)-\mathbf{I}$的对角分量给出了每个能级的Berry联络)。上面的变换操作把$U$变成了$OU$,所以其随时间变化的方式也就改变了。

    \[\]\[\]

    拓扑不变量的Green函数形式
    刻画拓扑相的拓扑不变量有多种等价表达方式,相对于用哈密顿量计算Berry相位,G. Volovik 提出用Green函数更方便分类拓扑物态(类比于SDW/CDW序的刻画就使用零频Green函数,因为其实际上就等于序参量)。实际上我们目前讨论的简单拓扑绝缘体以及石墨烯等系统的都是还不具有相互作用的自由费米子系统,而包含相互作用后的费米子系统的拓扑不变量再去用简单的Berry联络的陈数就不那么有效地刻画出拓扑序了,这时候用Green函数方法构造拓扑不变量却能很好地推广到相互作用系统中(乃至强关联系统)。

    对于三维拓扑绝缘体的Dirac哈密顿量
    \[
    H=v\;p\cdot\alpha+(mv^2-Bp^2)\beta
    \]
    Matsubara Green函数为
    \[
    G(i\omega_n,p)=\frac{1}{i\omega_n-H}=-\frac{i\omega_n+vp\cdot\alpha+(mv^2-Bp^2)\beta}{\omega_n^2+h^2(p)}
    \]
    $h^2(p)=H^2=v^2p^2+(mv^2-Bp^2)^2$,$\omega_n=(2n+1)\pi/\beta$( 费米子Matsubara频率)

    拓扑荷定义为一个对全动量空间(或Brillouin区)的积分:
    \[
    \widetilde{N}=\frac{1}{24\pi^2}\varepsilon_{ijk}\text{Tr}\Big[K\int_{i\omega_n=0} dp\;G\partial_{p_i} G^{-1}\;G\partial_{p_j} G^{-1}\;G \partial_{p_k}G^{-1} \Big]
    \]
    对称性算符为$K=\sigma_y\otimes\sigma_0$,经过冗长的代数运算,最后将积分解析延拓到复平面上并利用留数定理可推导得到$\widetilde{N}=sgn(m)+sgn(B)$,当$mB>0\;,\;\widetilde{N}=\pm 2$,这就刻画了拓扑相。设定磁场$B$为正值,存在参数控制的从拓扑平庸相$m<0$到非平庸相 $m>0$之间的量子相变,这与$\mathbb{Z}_2$指标相同。除这两个取值外还有临界拓扑相$\widetilde{N}=\pm 1$ 。对于$B=0$时的自由Dirac费米子,拓扑不变量为$\widetilde{N}=\text{sgn}(m)$,取 +1时候为正质量,-1 则为负质量,差值为$\Delta\widetilde{N}= 2$;其物理上源于带有这两种正负质量的两个系统交界而形成束缚态。在拓扑非平庸相($\widetilde{N}=\pm 2$)与拓扑平庸相(\widetilde{N}=0)中间存在$m=0$的无能隙相态 。在拓扑量子相变临界点,所有这些中间态都是无能隙的,其拓扑不变量如同自由Dirac费米子一样值为+1或者-1。

    除了拓扑绝缘体外,反铁磁体系统也存在拓扑非平庸相(如同KT相变),这时产生的不是拓扑边缘态,而是拓扑涡旋激发态——Skyrmions(斯格明子)

    p41879329.jpg

    此图为动量空间中斯格明子的位形分布。人们利用上面进一步从推迟Green函数出发推导定义的拓扑荷(又称为skyrmion缠绕数)来表征其拓扑性:
    \begin{align*}
    N_3&=\frac{1}{24\pi^2}\;\mathrm{Tr}\int {G\;dG^{-1} \wedge G\; dG^{-1}\wedge G\;dG^{-1}}\\
    &=\frac{1}{24\pi^2}\epsilon^{\mu\nu\lambda} \int {d\omega d^2k\;\mathrm{Tr}[G\;\partial_{k_{\mu}}G^{-1}\;G\; \partial_{k_{\nu}}G^{-1}\;G\;\partial_{k_{\lambda}}G^{-1}]}
    \end{align*}
    可证明其变分为零,因此是受拓扑保护的:
    \begin{align*}
    G&\to G+\delta G\\
    \delta N_3&=\frac{1}{24\pi^2}\;\mathrm{Tr}\int {G^{-1}\;\delta G \wedge dG^{-1}\;G\wedge dG^{-1}}\;G\\
    &=\frac{1}{24\pi^2}\epsilon^{\mu\nu\lambda} \int {d\omega d^2k\;\mathrm{Tr}[(G^{-1}\delta G)( \partial_{k_{\nu}}G^{-1}\;G)(\partial_{k_{\lambda}}G^{-1}\;G)]}=0
    \end{align*}
    积分在三维动量空间$k^{\mu}=(\omega,k)$,单粒子Green函数$G(\omega,k)=[\omega+i0^+-H(k)]^{-1}$,对于斯格明子场位形分布可得$N_3=-1$。可证明对于低能带系统, $N_3$与Berry规范场表达的第一陈数 $C_1$一致:
    对于石墨烯的$2\times 2$Bloch矢哈密顿量$H(k)=\sum_a {d_a(k)\sigma^a}$
    \[
    N_3=-\frac{1}{4\pi}\int{d^2k\epsilon_{\mu\nu\lambda}\frac{\partial\hat{d}_{\mu}}{\partial k_x}\frac{\partial{\hat{d_{\nu}}}}{\partial{k_y}}\hat{d}_{\lambda}}=\frac{1}{4\pi}\int dk_x dk_y\;\hat{d}\cdot \Big(\frac{\partial\hat{d}}{\partial k_x}\times \frac{\partial\hat{d}}{\partial k_y}\Big)=C_1
    \]
    此即为二能级系统第一陈数。

    因此等价地可用Green函数计算陈数
    \begin{align*}
     N_2&=\frac{\varepsilon^{\mu\nu\rho}}{24\pi^2}\int d\omega d^2k\text{Tr}[G\partial_\nu G^{-1}\;G\partial_\nu G^{-1}\;G\partial_\rho G^{-1}]\\
     G(i\omega,k)&=\frac{1}{i\omega-H(k)}\;,\;(k_0,k_1,k_2)=(\omega,k_x,k_y)
    \end{align*}
    积掉频率分量可得到Bloch矢表达的Berry曲率,从而计算Kane-Mele模型的陈数
    \begin{align*}
     N_2&=\frac{1}{8\pi}\int d^2k\;\varepsilon_{\mu\nu}\boldsymbol{d}\cdot[\partial_{k_\mu}\boldsymbol{d}\times\partial_{k_\nu}\boldsymbol{d}]=-\frac{1}{2}\text{sgn}(m)\\
     &\lim_{|k|\to\infty}\boldsymbol{d}(k)\to (0,0,0)\;\;,\;\;\lim_{|k|\to 0}\boldsymbol{d}(k)\to \left(0,0,\text{sgn}(m)\right)
    \end{align*}
    进一步还可将Green函数谱分解形式变成使用投影算符 $P=|u_j\rangle\langle u_j|$(第j能带的投影算符$\sum_j P_j=1\;,\;P_jP_l=\delta_{jl}P_{j}$)
    \begin{align*}
    C_j&=\frac{i\varepsilon_{\mu\nu}}{2\pi}\int_{\mathbb{BZ}}d^2k\;\text{Tr}[(1-P_j)\partial_{k_\mu}P_j\partial_{k_\nu}P_j]\\
    a_{j,\nu}&=i\text{Tr}[\partial_{k_\nu}P_j]\\
    b_{j,\mu\nu}&=\partial_{k_\mu}\mathcal{A}_{j,\nu}-\partial_{k_\nu}\mathcal{A}_{j,\mu}
    \end{align*}

    \[\]\[\]

    $\textbf{Zero modes and Chern number}$

    零模个数和Chern数的关系

    1. 在量子Hall态中Chern数等于边缘激发态的支数。这点可以从Laughlin的flux insertion argument得到。这个关系对一般的时间反演破缺的绝缘体(包括超导体)也成立。
    2. 超导体中vortex的零模个数。因为电荷共轭(或者叫粒子-空穴)对称性的关系,vortex的零模个数由Chern数模2给出。类似的是一维超导体两端的零模。可以用dimensional reduction从2维的Z分类得到一维的 分类。见Qi, Hughes, Zhang的文章。

    References:
    [1].Counting Majorana zero modes in superconductors(arxiv1011.1007)
    Luiz Santos, Yusuke Nishida, Claudio Chamon, Christopher Mudry
    [2].Topological Majorana and Dirac Zero Modes in Superconducting Vortex Cores(PhysRevLett.105.186401)
    Rahul Roy
    [3].$Z_2$ index theorem for Majorana zero modes in a class D topological superconductor(arxiv1009.2582)
    T. Fukui, T. Fujiwara

  4. Phantom_Ghost

    4楼 10月21日 数学版主, 物理版主, 优秀回答者
    4月前Phantom_Ghost 重新编辑

    拓扑绝缘体(TI)和$\mathbb{Z}_2$拓扑不变量

    $\mathbb{Z}_2$不变量这个概念还可以推广到时间反演不变的三维系统——拓扑绝缘体。 这时需要用4个$Z_2$拓扑数——1个强拓扑数3个弱拓扑数$(\nu_0,\nu_1,\nu_2,\nu_3)$来描述系统的拓扑性质。按照这种分类方法三维时间反演不变绝缘体系统可以分为平凡的普通绝缘体弱拓扑绝缘体和强拓扑绝缘体三类。其中强拓扑绝缘体由于在所有方向的表面上都有Dirac色散形式的表面态,这在理论和实验上都引起了广泛关注。确定一个具有时间反演对称性的绝缘体系统是否具有非平庸的拓扑性质最直接的方法是计算系统的$\mathbb{Z}_2$拓扑不变量。我们已知对于自旋1/2,时间反演对称算符为$\Theta=\exp(i\pi S_y/\hbar)\mathcal{K}$,其中$\mathcal{K}$是取复共轭操作算符;\Theta^2=-1 。时间反演对称的Bloch Hamiltonian须满足:$\Theta H(k)\Theta^{-1}=H(-k)$

    在这一约束下存在一个只有两个取值的不变量$\nu=0,1$,可标志两个拓扑类,这个$\nu$就是$\mathbb{Z}_2$拓扑不变量(而之所以称为$\mathbb{Z}_2$是因为$\mathbb{Z}_2$群是二阶循环群,只含有两个元素,对应着绝缘体系统的两种相)。现在定义一个幺正矩阵$w_{mn}(k)=\langle u_m(k)|\Theta|u_n(-k)\rangle$。L.Fu和C.L.Kane提出了用时间反演极化定义$\mathbb{Z}_2$拓扑不变量的方法,在体 二维Brillouin区中存在四个特殊时间反演不变点$\Lambda_a$ 。

    p41879298.jpg

    定义$\delta_a=\frac{\text{Pf}[w(\Lambda_a)]}{\sqrt{\det[w(\Lambda_a)]}}$,$\delta_a=\pm 1$;$\text{Pf}[w(\Lambda_a)]$为对反对称矩阵的Paffian,其定义为
    \[
    \text{Pf}[w]=\frac{1}{2^N N!}\sum_{P} \text{sgn}(P)w_{P(1)P(2)}w_{P(3)P(4)}...w_{P(2N-1)P(2N)}
    \]
    $P$代表$(1,2,...,2N-1,2N)$的置换群元,$\text{sgn}(P)=\pm 1$(负、正号代表置换奇偶次数)。$Z_2$拓扑绝缘体中$\mathbb{Z}_2$拓扑不变量计算公式为:$(-1)^{\nu}=\prod_{a=1}^{4}\delta_a$;若在二维系统在垂直方向的自旋$s_z$守恒,则有:$n_{\delta}=(n_{\uparrow}-n_{\downarrow})/2$。陈类积分中$n_{\uparrow}\,,\,n_{\downarrow}$相互独立,其差值定义了量子Hall电导。这样下来,$\mathbb{Z}_2$不变量就简化为$\nu=n_{\sigma}\,\text{mod}\,2$。

    下面就两个有代表性的情况进行讨论

    p41879307.jpg

    三维拓扑绝缘体表面中的晶格动量$(k_x,k_y)$张成二维Brillouin区,其中有四个时间反演对称点$(\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3,\Gamma_4)$,这些点上形成的表面态必为Krames简并态。远离这些高对称点时,自旋轨道耦合将解除简并;这些Krames点也形成二维能带中的Dirac点结构。最为容易想到的三维拓扑绝缘体的构造方式是通过堆垒二维的拓扑绝缘体材料形成三维材,各层的螺旋边缘态变成具有各向异性的表面态,从而与三位整数量子Hall态结构相似。在纵向堆叠,层之间弱耦合形成Ferimi面为
    p41879311.jpg

    一个独立的表面带与Fermi面(包含了四个对称点)相交,出现了特殊通道。这种类型被称为弱拓扑绝缘体。对应的四个对称点中$\nu_0=0$,决定于边缘态中Krames点个数的奇偶性;$(\nu_1,\nu_2,\nu_3)=(h,k,l)$描述的是层的取向。这种系统的表面态没有时间反演对称性保护。 $\nu_0=1$则是强拓扑绝缘体,不能由二维拓扑绝缘体堆成。Fermi面与边缘态形成的Fermi环包含奇数个Krames简并的Dirac点,例如下面包含一个。在强拓扑绝缘体的表面上会形成一个具有通道的二维拓扑金属态,其Fermi面上每个点都有上下自旋分量,且表面态不出现自旋简并。由于时间反演对称性,动量$k$和$-k$态的自旋相反,在Fermi环附近自旋方向随动量$k$旋转。
    p41879313.jpg

    电子绕着Fermi环转得到Berry相位为$\pi$,而根据费米子加倍定理,具有时间反演对称的孤立二维晶格系统必须有偶数个Dirac点,也即不可能有 Berry相位。实际上,三维拓扑绝缘体的另一个Dirac就在对面的表面上。所以这种拓扑绝缘金属相相当于普通金属系统的一半(二维半金属)。

    这里顺便提及一下Weyl半金属这另一种新拓扑相,它相当于三维石墨烯系统。而与石墨烯不同的是Weyl半金属同时具有时间空间反演对称性。高对称点附近具有三维的Dirac线性能谱,低能激发就是满足Weyl方程$\partial\!\!\!/ \psi=0$的Weyl费米子,且由于手征守恒能态还对平移对称的作用势具有鲁棒性不受其背向散射,所以只有同时耦合作用到一对手征性相反的Weyl费米子才会破坏这种能态从而使得能谱打开能隙 。我们知道在3+1维时空里的无质量Dirac方程(Weyl方程)的四分量Dirac旋量解可以分解为两个二分量手征Weyl旋量。通过矩阵,可以得到左右手征Weyl费米子:$\psi_L=\frac{1+\gamma^5}{2}\,,\,\psi_R=\frac{1-\gamma^5}{2}\psi$(这两个算符即为手征算符)。值得注意,二维空间中石墨烯低能激发是零质量Dirac费米子并不是Weyl费米子(虽然都是无质量费米子),因为二维的无质量Dirac方程里面,Feynman符号是$\partial\!\!\!/=\gamma^{0}\partial_0+\gamma^{1}\partial_1+\gamma^{2}\partial_2$,方程在能动量空间里写成矩阵就是
    \[
    \left( \begin{array}{cccc}
       0 & \hat{p}_{-} &0 &0 \\
        \hat{p}_{+} & 0 &0&0 \\
       0 & 0 &0& \hat{p}_{+}\\
       0&0&\hat{p}_{-}&0\\
        \end{array}\right)
    \left( \begin{array}{c}
    \phi^K_{A} \\
    \phi^K_{B} \\
    \phi^{K'}_A\\
    \phi^{K'}_B\\
     \end{array}\right)
    =E
    \left( \begin{array}{c}
    \phi^K_{A} \\
    \phi^K_{B} \\
    \phi^{K'}_A\\
    \phi^{K'}_B\\
     \end{array}\right)
    \]
    $\gamma$矩阵只有$\gamma^0,\gamma^1,\gamma^2$,无法定义出Lorentz不变的$\gamma^5=i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$(严格来说,Weyl表示是$\gamma^{d+1}$的对角表示,Clifford代数只有在奇数空间维度才有一个有定义的$\gamma^{d+1}$),也给不出自旋投影算符$P(s)=\frac{1+\gamma^5 s\!\!\!/}{2}$和手征变换算符$e^{i\gamma^5\theta}$,因此群表示上这两个是不同的概念。不过石墨烯中的无质量Dirac费米子可以定义螺旋度,对于边缘态因为时间反演对称也可以给出手征性,这些在前面已经提过。
    在石墨烯中一个Brillouin区里面有两个Dirac点,加上自旋简并一共四个Weyl费米子态;而强拓扑绝缘体表面只有一个Dirac点,是Krames简并的。因此强拓扑绝缘体又相当于1/4石墨烯。

    p41879316.jpg p41879317.jpg

  5. 3月前

    蔡家麒

    5楼 11月6日 物理版主
    3月前蔡家麒 重新编辑

    我想指出一些事情,是从龚明老师在科大开的拓扑在凝聚态物理中的应用一课中领悟到的。
    我们最常见的一类模型如下(一大类模型可以化作这个模型):
    \(H = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
      0&{{q^\dagger }} \\
      q&0
    \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
      0&{p + m\left( x \right)} \\
      {p + m\left( x \right)}&0
    \end{array}} \right)\)
    其中\(m(x)\)在x<0区域是负数,在x>0区域是正数。
    根据我们在SUSY Quantum Mechanics里的经验,看到我们就会想去平方,就会拿到:
    \({H^\dagger }H = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
      {{q^\dagger }q}&0 \\
      0&{{q^\dagger }q}
    \end{array}} \right) = I\left( {{p^2} + mp + pm + {m^2}} \right) = I\left( {{{\tilde p}^2} + \delta \left( x \right)} \right)\)

    我们熟知,在delta函数势下的薛定谔方程具有一个Bound state的解,这个本征解恰好对应了上面模型的edge state.

    进一步的,
    \(\begin{gathered}
      H = Q + {Q^\dagger } \hfill \\
      {H^2}Q = Q{H^2} = Q{Q^\dagger }Q \hfill \\
       \to \left[ {{H^2},Q} \right] = 0 \hfill \\
       \to {H^2}\psi = {\lambda ^2}\psi ,{H^2}Q\psi = {\lambda ^2}Q\psi \hfill \\
    \end{gathered} \)
    进而我们发现,如果\(\psi =(\psi_1,\psi_2)^T\)是一个零模,就会有\(q\psi_1=q^\dagger\psi_2=0, Q\psi = Q^\dagger \psi =0\)于是,具有SUSY的\(H^2\)的基态保持SUSY的条件是基态能量为0.

    而h也能给出我们熟知的winding number.

    这可能会导致一些深刻的后果;我还在想。

    此外,还有一些个high-order的模型可以通过这种办法(H^n)构造出一个low-order的模型进而被拓扑分类。
    我现在觉得winding number: \(W={1 \over {C_{2n+1}}} \int (GdG^{-1})^{2n+1}\) 会很基本。

 

后才能发言